论文部分内容阅读
本文主要包含两部分内容：第一部分研究了Cartan型单李代数中W型和S型的李双代数结构的量子化问题，具体确定了它们对应的各种新的量子群结构；第二部分通过B型双参数量子群构造并研究一类有限维点Hopf代数，即限制B型双参数量子群。1．Cartan型单李代数W型和S型的量子化问题在第二章中我们首先构造了具体的Drinfel’d扭，它依赖于经典的Yang-Baxterr矩阵。利用Drinfel’d扭的一般量子化方法给出特征0域上广义Witt代数W上李双代数的具体的量子化。为了研究特征p域的Cartan型限制单李代数W型的量子化，我们首先研究了广义Witt代数W的“正部分”W+（它是特征0域上的无限维单李代数）的Z-形式WZ+在特征0域上的整形式的量子化。在特征p域上，W+商去其极大理想J?（定义见文中引理2．2．2）恰好为Jacobson-Witt代数W（n；（?））（即Cartan型限制单李代数W型）。我们对WZ+在特征0域的整形式的量子化采用模约化技术：模p约化和模“限制”约化，就得到Jacobson-Witt代数W（n；（?））的限制包络代数的有限维量子化，即W（n；（?））的限制包络代数的截断的p多项式变形ut，q（W（n；（?））），这是特征p域上的非交换、非余交换的有限维Hopf代数，其维数为p1+npn（视t为未定元）或pnpn（t∈κ为某p多项式的根）。我们的结果包含了C．Grunspan（[39]，J．Algebra 280（2004），145-161）给出的特征0域上n=1的情形。处理特征p域的情形，我们用到模李代数理论的一些技巧，与C．Grunspan的处理[39]是不同的（事实上，C．Grunspan对特征p域的处理是有根本性错误的）。我们发现两两不同的基本Drinfel’d扭的合成仍然是Drinfel’d扭，以及水平方向的Drinfel’d扭，这些扭给出更多的WZ+在特征0域上的整形式的量子化，通过约化得到更多的Cartan型单李代数W型的量子化。第三章我们用相似的方法通过比较复杂的讨论解决了特征0域上广义Cartan型S李代数及特征p域上特殊李代数S（n；（?））的量子化问题。我们还得到一般性结论，即具有不同长度的扭给出的量子化结果是不同的。特别值得指出的是，我们所得到的这些量子群结构均包含了著名的Radford Hopf代数（D．E．Radford于七十年代中期提出，见[76]）作为其子Hopf代数。2．限制B型双参数量子群第四章我们研究了Bergeron-Gao-Hu[12]定义的双参数量子群Ur，s(so2n+1)在参数r、s均为e次单位根时的e次齐次中心元生成的Hopf理想In，并进而构造（有限维）限制型双参数量子群ur，s(so2n+1)，其维数是e2n2+2n。我们证明了这类Hopf代数是点的，利用ur，s(so2n+1)中的斜本原元性质，确定了两个限制双参数量子群同构的充分必要条件，进一步证明了ur，s(so2n+1)关于其Borel子代数b具有Drinfel’d Double结构。我们还完全确定了b的左右积分元。通过左右积分元及L．H．Kauffman和D．E．Radford[51]的结论给出了这类点Hopf代数存在ribbon元的充分必要条件，即ur，s(so2n+1)有ribbon元当且仅当e是奇数。这类新的点Hopf代数给出的新的ribbon元可以提供重要的扭结不变量。代数闭域上有限维Hopf代数的分类问题至今尚未解决，那么通过各种途径构造有限维Hopf代数的例子是很有意义的。Cartan型李代数的量子化结果和限制B型双参数量子群为我们提供了新的有限维Hopf代数的例子。