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综观近几年全国课改实验区的中考试题,在三角形这部分主要考查的是三角形的性质和概念,包括三角形内角和与外角和,三角形的角平分线,特殊三角形的性质以及三角形全等的性质与判定,现归纳总结如下,供同学们参考.
一、三边关系定理的应用
知 识 链 接
利用三角形三边关系定理及其推理可知:三角形的任何一边都应在其他两边的和与差之间.因此,如果已知三角形的两边,就可求出第三边的取值范围.
利用三角形三边关系定理可以判断三条线段能否组成三角形.最简单的办法是:①若较短的两条线段之和大于较长的线段,就可能组成三角形;②若较长两条线段之差小于第三条,则可能组成三角形.
典 例 列 举
例1 等腰三角形中两条边长分别为11 cm和5 cm,则此三角形的周长是().
A.21 cm B.27 cm
C.21 cm或27 cmD.周长无法确定
解题思维:根据等腰三角形的定义,应考虑两种情况:①当底边为5 cm时,则相应的腰为11 cm; ②当底边为11 cm时,则相应的腰为5 cm。无论是其中的哪一种情况都要用性质“三角形任何两边之和大于第三边”去检验,看其能否构成三角形.
解:根据等腰三角形的定义,可分为:
(1)当等腰三角形的底边c=5 cm,腰a = b=11 cm时,周长为11+11+5=27 cm.
(2)当底边c=11 cm,腰a = b=5 cm时,5+5<11根据三角形两边之和大于第三边的性质可判断,此时不能构成三角形.
例2如图1,△ABC内有一点P,且CP = BC,连接AP、BP.求证:AB>AP.
解题思维:证明边的问题时常应用三角形的三边定理.正确作出辅助线是本题的关键.延长CP交 AB与点D,将AB>AP的问题转化为△BDC与△APD的边的大小问题.
证明:延长CP交于AB于D,在△BDC中,
∵BD +BC > DP + PC
(三角形两边之和大于第三边),
又∵BC = CP,
∴BD > DP,
在△APD中, AD+DP > AP(三角形两边之和大于第三边),
∴ AD+DP+BD>AP+DP,即AB>AP.
二、 角与角间的关系定理及应用
知 识 链 接
三角形有三个内角、三条边,我们也可以把三角形称为三边形.三角形中有关角的计算主要利用内角和定理,但对于特殊的三角形,常利用特殊角的三角形的有关性质,如等腰直角三角形两锐角都等于45,直角三角形两锐角互余.另外,也利用正方形或长方形的每一个角都是90等性质.
典 例 列 举
例1如图2所示,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数.
解题思维:求多个角的和的问题常将问题转化为三角形的内角与外角的问题.本题∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6中,有三对三角形的内角,分别是∠1+∠2,∠3+∠4,∠5+∠6.而每一对内角又可转化为三角形的一个外角,最后归结到同一个三角形中求解.
解析:∵∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9,
而∠7、∠8、∠9是△ABC的三个外角,
∴∠7=∠11+∠12,∠8=∠10+∠12,∠9=∠10+∠11,
∴∠7+∠8+∠9=2(∠10+∠11+∠12)=2×180=360.
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360.
例2 如图3所示,在△ABC中,已知∠B、∠C的角平分线相交于O点,则△BOC是().
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形或钝角三角形
解题思维:判断△BOC是什么三角形,直观地看,该三角形应该是钝角三角形。通过三角形内角和定理可解此题.
解析:∵∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,
∴∠BOC=180-∠B-∠C
=180-(∠B+∠C)
=180-(180-∠A)
=90+∠A>90.
三、全等三角形判定的基本思路
知 识 链 接
全等三角形的判定与性质是学习其他几何图形的基础,许多复杂图形的问题最终都可转化为全等三角形的问题来解决。判定两个三角形全等的基本思路是:
(1)有两边对应相等时,找夹角相等或第三边对应相等.
(2)有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹角的另一边相等.
(3)有两个角对应相等时,找一对应边相等。
在寻求全等条件时,还要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件,如果它们所在的两个三角形不全等,就需要添加辅助线,构造全等三角形.
典 例 列 举
例1 如图4所示,D为等腰直角三角形ABC的BC边延长线上的一点,且CD=CE,BE的延长线交AD于F,求证:BF⊥AD.
解题思路:本题主要利用全等三角形的知识证明垂直关系.要证BF⊥AD,只须证∠1+∠EAF=90而∠1=∠2,∠2+∠EBC=90.所以要证明∠EAF=∠EBC且△ACD≌△BCE.
证明:在△BCE和△ACD中,
∵BC=AC,∠ACB=∠ACD=90,CE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△ACD,
∴∠EBC=∠DAC,即∠EBC=∠EAF,
又∵∠2+∠EBC=90,∠1=∠2,
∴∠1+∠EAF=90,
∴BF⊥AD.
例2如图5所示,在Rt△ABC中,∠C=90, BC=AC,AD平分∠BAC,交BC与D.求证:AB=AC+CD.
解题思路:证明一条线段等于另外两条线段的和(或差),常采用的方法是:①补短法,即延长短线段使其和较长线段相等;②截长法,即在较长线段上取一条线段使其与一条较短线段相等.
证明:延长AC到E,使CE=CD,连接DE.
∵∠ACD=90, AC=BC,CE=CD,
∴∠B=∠BAC=45,∠E=∠CDE= 45,
又∵∠B=∠E,AD平分∠BAC,∠1=∠2,
在△AED和△ABD中,∠B=∠E,∠1=∠2,
∴△AED≌△ABD , ∴AE= AB,
∵AE = AC+CE = AC+CD,
∴ AB = AC+CD.
一、三边关系定理的应用
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利用三角形三边关系定理及其推理可知:三角形的任何一边都应在其他两边的和与差之间.因此,如果已知三角形的两边,就可求出第三边的取值范围.
利用三角形三边关系定理可以判断三条线段能否组成三角形.最简单的办法是:①若较短的两条线段之和大于较长的线段,就可能组成三角形;②若较长两条线段之差小于第三条,则可能组成三角形.
典 例 列 举
例1 等腰三角形中两条边长分别为11 cm和5 cm,则此三角形的周长是().
A.21 cm B.27 cm
C.21 cm或27 cmD.周长无法确定
解题思维:根据等腰三角形的定义,应考虑两种情况:①当底边为5 cm时,则相应的腰为11 cm; ②当底边为11 cm时,则相应的腰为5 cm。无论是其中的哪一种情况都要用性质“三角形任何两边之和大于第三边”去检验,看其能否构成三角形.
解:根据等腰三角形的定义,可分为:
(1)当等腰三角形的底边c=5 cm,腰a = b=11 cm时,周长为11+11+5=27 cm.
(2)当底边c=11 cm,腰a = b=5 cm时,5+5<11根据三角形两边之和大于第三边的性质可判断,此时不能构成三角形.
例2如图1,△ABC内有一点P,且CP = BC,连接AP、BP.求证:AB>AP.
解题思维:证明边的问题时常应用三角形的三边定理.正确作出辅助线是本题的关键.延长CP交 AB与点D,将AB>AP的问题转化为△BDC与△APD的边的大小问题.
证明:延长CP交于AB于D,在△BDC中,
∵BD +BC > DP + PC
(三角形两边之和大于第三边),
又∵BC = CP,
∴BD > DP,
在△APD中, AD+DP > AP(三角形两边之和大于第三边),
∴ AD+DP+BD>AP+DP,即AB>AP.
二、 角与角间的关系定理及应用
知 识 链 接
三角形有三个内角、三条边,我们也可以把三角形称为三边形.三角形中有关角的计算主要利用内角和定理,但对于特殊的三角形,常利用特殊角的三角形的有关性质,如等腰直角三角形两锐角都等于45,直角三角形两锐角互余.另外,也利用正方形或长方形的每一个角都是90等性质.
典 例 列 举
例1如图2所示,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数.
解题思维:求多个角的和的问题常将问题转化为三角形的内角与外角的问题.本题∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6中,有三对三角形的内角,分别是∠1+∠2,∠3+∠4,∠5+∠6.而每一对内角又可转化为三角形的一个外角,最后归结到同一个三角形中求解.
解析:∵∠7=∠1+∠2,∠8=∠3+∠4,∠9=∠5+∠6,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠7+∠8+∠9,
而∠7、∠8、∠9是△ABC的三个外角,
∴∠7=∠11+∠12,∠8=∠10+∠12,∠9=∠10+∠11,
∴∠7+∠8+∠9=2(∠10+∠11+∠12)=2×180=360.
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360.
例2 如图3所示,在△ABC中,已知∠B、∠C的角平分线相交于O点,则△BOC是().
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形或钝角三角形
解题思维:判断△BOC是什么三角形,直观地看,该三角形应该是钝角三角形。通过三角形内角和定理可解此题.
解析:∵∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,
∴∠BOC=180-∠B-∠C
=180-(∠B+∠C)
=180-(180-∠A)
=90+∠A>90.
三、全等三角形判定的基本思路
知 识 链 接
全等三角形的判定与性质是学习其他几何图形的基础,许多复杂图形的问题最终都可转化为全等三角形的问题来解决。判定两个三角形全等的基本思路是:
(1)有两边对应相等时,找夹角相等或第三边对应相等.
(2)有一边和一角对应相等时,找另一角相等或夹角的另一边相等.
(3)有两个角对应相等时,找一对应边相等。
在寻求全等条件时,还要善于挖掘图形中公共边、公共角、对顶角等隐含条件,如果它们所在的两个三角形不全等,就需要添加辅助线,构造全等三角形.
典 例 列 举
例1 如图4所示,D为等腰直角三角形ABC的BC边延长线上的一点,且CD=CE,BE的延长线交AD于F,求证:BF⊥AD.
解题思路:本题主要利用全等三角形的知识证明垂直关系.要证BF⊥AD,只须证∠1+∠EAF=90而∠1=∠2,∠2+∠EBC=90.所以要证明∠EAF=∠EBC且△ACD≌△BCE.
证明:在△BCE和△ACD中,
∵BC=AC,∠ACB=∠ACD=90,CE=CD,
∴Rt△BCE≌Rt△ACD,
∴∠EBC=∠DAC,即∠EBC=∠EAF,
又∵∠2+∠EBC=90,∠1=∠2,
∴∠1+∠EAF=90,
∴BF⊥AD.
例2如图5所示,在Rt△ABC中,∠C=90, BC=AC,AD平分∠BAC,交BC与D.求证:AB=AC+CD.
解题思路:证明一条线段等于另外两条线段的和(或差),常采用的方法是:①补短法,即延长短线段使其和较长线段相等;②截长法,即在较长线段上取一条线段使其与一条较短线段相等.
证明:延长AC到E,使CE=CD,连接DE.
∵∠ACD=90, AC=BC,CE=CD,
∴∠B=∠BAC=45,∠E=∠CDE= 45,
又∵∠B=∠E,AD平分∠BAC,∠1=∠2,
在△AED和△ABD中,∠B=∠E,∠1=∠2,
∴△AED≌△ABD , ∴AE= AB,
∵AE = AC+CE = AC+CD,
∴ AB = AC+CD.