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到了六年级复习阶段，对于“350厘米=______米”这道题，笔者以为学生不应该再出现问题。可事实是，试卷上的这道题还是有好几位同学做错了。讲评试卷时，笔者放慢节奏，请其中一位做错的学生讲述解题思路，剖析产生错误的原因，帮助做错的学生正视已犯的错误，强化正确认识。
【教学实录】
板书题目：350厘米=______米。
师：XXX，这道题你做错了，能告诉大家做错的原因吗？
生1：我不知道要用“350÷100”。
师：那你现在知道为什么用“350÷100”吗？
生1摇头。
师：谁来解释一下？
生2：因为“米”到“厘米”之间的进率是100，“350厘米=______米”是把低级单位的名数改写成高级单位的名数，要除以进率100。
师：你听懂了吗？
生1似懂非懂，生2讲得这么清楚了，生1为何还不会呢？
师：先观察这题两个单位，它们是——
生1：厘米和米。
师：厘米和米之间的进率是——
生1：100。
师：这题是把小单位的名数改写成大单位的名数，还是把大单位的名数改写成小单位的名数？
生1：把小单位的名数改写成大单位的名数。
师：把小单位改写成大单位，要用350除以进率100，现在懂了吗？
从表情上看，生1似乎还不太理解，笔者有些力不从心，这时有学生举手发言。
生3：我觉得做这道题目，难理解的是“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率？”
生1表示赞同。
“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率？”这是四年级学习除法时的教学难点。“350厘米=______米”就是看350厘米中最多有多少个100厘米，还余多少厘米。列式：350÷100。
课后和生1交流，他表示正是因为“包含除”这个基础没打好，因此每次做单位换算都是凭感觉蒙答案。
【案例分析】
1.如此简单的题目，为什么还有为数不少的学生做错？
从与生1的对话中可看出，学生没有理解单位换算的原理，他们解题的思维过程已被简化为两个程序：一是确定进率（100）；二是小单位改写大单位要除以进率。这样解题的优点是能很快得出答案，缺点是它剥夺了学生初次学习时犯错、析错的过程。学生的解题被异化为执行程序、机械套用。当他们对程序“误记”和“遗忘”时，因缺少理解，错误难以自我修复，方法不能重新再生，只能靠“蒙”来解题。
2.为什么教师自认为讲得很清楚，学生却不能理解？
笔者以为最根本的问题是自己忽略了师生之间客观存在的差距。教师作为一个受过专业训练的教学人员，无论是学科知识、思维经验，还是对某个题目的事先准备程度都要比学生充足，因此他们的思维与学生相比具有很大的跳跃性，一些问题甚至是在无意识中进行的。以“350厘米= 米”这题为例，学生要透彻理解这个问题，一般要思考三个小问题：①厘米与米间的进率是多少；②厘米与米这两个单位的大小；③求“350厘米= 米”，就是看350厘米中有多少个100厘米，还余多少厘米。这三个问题中，成人对前两个问题要进行思考，但对第3个问题，他们基本是一种直觉性思维，在无意识间一闪而过。而这个问题恰恰是卡住学生思维的“结点”，教师在教学中，对此环节的忽视正是学生不能理解这道题该怎么解题的根本原因。
学生对“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率的道理”感到难以理解，教师却在其他两个问题上纠缠。这本是个“头疼揉脚”的小事情，但这种类似的小事情，在平时教学中极为普遍。教学中，如果每一位教师在每一节课上都能对这种极为普遍的小事情加以重视，迅速找准思维的“打结”之处，努力将有限的时间和精力用在刀刃上，这将对减轻师生负担，提高课堂效率有着十分重要的价值和现实意义。
【教学反思】
那么教师如何才能避免“头疼揉脚”现象的发生？又如何做到在课堂上找准学生思维的“结点”，并在思维的“打结”处采取针对性措施呢？
1.能“容”错——耐心跟随学生。
有人将教师的课堂站位分为三种状态：第一，课堂上教师一讲到底，用自己思维方式、思维角度、思维速度在前面拉着学生一路快跑；第二，与学生一起，参与学生的思维，不时帮学生一把，扶学生一程；第三，跟在学生后面，默默关注，虽然言语很少，但对学生在说什么，想什么，想到了什么程度，什么时候要鼓励一下，什么时候要放慢速度突出强调，什么时候到了真正该帮助的时候等都十分清楚，并有相应、有效、及时的措施。笔者以为第三种状态值得提倡。小学课堂上组织和管理是教师的主要任务之一，一个优秀的课堂管理者不应自己在课堂上忙得晕头转向，学生却无所事事。努力做那种看似“游手好闲，什么事都不做”，实则“大脑飞速转动，什么事都很清楚”的教师。把自己从琐碎、繁复中解放出来，将更多的精力用于跟随学生、审时度势、顺势点拨，让学生在对话、交流、展示中暴露错误、解决难点。
2.善“融”错——充分依赖学生。
如果说“容”错强调的是一种接纳心态，那么“融”错突出的则是一种综合的能力——对学习“半成品”进一步加工的能力；对“次品”修改焕新的能力；对那些看似毫无道理的“错误”，找出其中有用因子，并用到适宜的地方去的能力。
当然这种能力要求我们：平时，要坚持重视错误、收集错误、解读错误；备课时，能将思维的着力点从“应该怎样解题”转向“学生可能怎样解题”，聚焦于“学生可能会遇到什么问题，如何才能对症下药”；上课时，当教师不能读懂学生中出现的问题和错误时，可以倾听其他学生的声音。因为他们年龄相近，思维水平接近，思维角度相似，他们比成人更能了解彼此的语言和想法。学生是一群天生的、值得依赖的“融”错高手，这一点在上面的例子中也得到了很好的证实。
3.真“荣”错——注重发展学生。
华应龙老师的“荣”错教育除了上面提到的“容”错和“融”错外，还包括“荣”错。因为我们教育的最终目的不仅仅是为了获取知识，更重要的是促进学生的身心健康成长。小学数学学习应重视过程，让学生的学习始终伴随着“直观思维”。以“350厘米= 米”为例，学生在解题时，头脑中想的不是程序，而是一组“题目画面”：350厘米长的一根线段，用100厘米即1米的线段去比划，最多有3个，还多了50厘米。用数学式子表达就是：350÷100=3（段）……50（厘米），如下图：
笔者想，如果学生每次思考题目时，头脑中始终伴随着“画面”，那他们在一次次充分的思维操作中，积淀下来的“小单位改写大单位应除以进率”就不再是解题程序和技巧，而是一种数学直觉、一种对数量的感觉。如果学生建立了这样一种数感，那么即便学生不小心犯错，也能借助这种伴随形象的思维过程对错误进行自我修复，对方法进行再生。他们在思维展开中，经历了犯错、析错、纠错、成长的整个过程，从而“悟”到犯了错误后，如果能觉察到错误、找到症结所在、并克服了错误，这是一件光荣且了不得的事情。
（作者单位：江苏省南通经济技术开发区教育教学研究室）
【教学实录】
板书题目：350厘米=______米。
师：XXX，这道题你做错了，能告诉大家做错的原因吗？
生1：我不知道要用“350÷100”。
师：那你现在知道为什么用“350÷100”吗？
生1摇头。
师：谁来解释一下？
生2：因为“米”到“厘米”之间的进率是100，“350厘米=______米”是把低级单位的名数改写成高级单位的名数，要除以进率100。
师：你听懂了吗？
生1似懂非懂，生2讲得这么清楚了，生1为何还不会呢？
师：先观察这题两个单位，它们是——
生1：厘米和米。
师：厘米和米之间的进率是——
生1：100。
师：这题是把小单位的名数改写成大单位的名数，还是把大单位的名数改写成小单位的名数？
生1：把小单位的名数改写成大单位的名数。
师：把小单位改写成大单位，要用350除以进率100，现在懂了吗？
从表情上看，生1似乎还不太理解，笔者有些力不从心，这时有学生举手发言。
生3：我觉得做这道题目，难理解的是“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率？”
生1表示赞同。
“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率？”这是四年级学习除法时的教学难点。“350厘米=______米”就是看350厘米中最多有多少个100厘米，还余多少厘米。列式：350÷100。
课后和生1交流，他表示正是因为“包含除”这个基础没打好，因此每次做单位换算都是凭感觉蒙答案。
【案例分析】
1.如此简单的题目，为什么还有为数不少的学生做错？
从与生1的对话中可看出，学生没有理解单位换算的原理，他们解题的思维过程已被简化为两个程序：一是确定进率（100）；二是小单位改写大单位要除以进率。这样解题的优点是能很快得出答案，缺点是它剥夺了学生初次学习时犯错、析错的过程。学生的解题被异化为执行程序、机械套用。当他们对程序“误记”和“遗忘”时，因缺少理解，错误难以自我修复，方法不能重新再生，只能靠“蒙”来解题。
2.为什么教师自认为讲得很清楚，学生却不能理解？
笔者以为最根本的问题是自己忽略了师生之间客观存在的差距。教师作为一个受过专业训练的教学人员，无论是学科知识、思维经验，还是对某个题目的事先准备程度都要比学生充足，因此他们的思维与学生相比具有很大的跳跃性，一些问题甚至是在无意识中进行的。以“350厘米= 米”这题为例，学生要透彻理解这个问题，一般要思考三个小问题：①厘米与米间的进率是多少；②厘米与米这两个单位的大小；③求“350厘米= 米”，就是看350厘米中有多少个100厘米，还余多少厘米。这三个问题中，成人对前两个问题要进行思考，但对第3个问题，他们基本是一种直觉性思维，在无意识间一闪而过。而这个问题恰恰是卡住学生思维的“结点”，教师在教学中，对此环节的忽视正是学生不能理解这道题该怎么解题的根本原因。
学生对“为什么低级单位的名数改写成高级单位的名数要‘除以’进率的道理”感到难以理解，教师却在其他两个问题上纠缠。这本是个“头疼揉脚”的小事情，但这种类似的小事情，在平时教学中极为普遍。教学中，如果每一位教师在每一节课上都能对这种极为普遍的小事情加以重视，迅速找准思维的“打结”之处，努力将有限的时间和精力用在刀刃上，这将对减轻师生负担，提高课堂效率有着十分重要的价值和现实意义。
【教学反思】
那么教师如何才能避免“头疼揉脚”现象的发生？又如何做到在课堂上找准学生思维的“结点”，并在思维的“打结”处采取针对性措施呢？
1.能“容”错——耐心跟随学生。
有人将教师的课堂站位分为三种状态：第一，课堂上教师一讲到底，用自己思维方式、思维角度、思维速度在前面拉着学生一路快跑；第二，与学生一起，参与学生的思维，不时帮学生一把，扶学生一程；第三，跟在学生后面，默默关注，虽然言语很少，但对学生在说什么，想什么，想到了什么程度，什么时候要鼓励一下，什么时候要放慢速度突出强调，什么时候到了真正该帮助的时候等都十分清楚，并有相应、有效、及时的措施。笔者以为第三种状态值得提倡。小学课堂上组织和管理是教师的主要任务之一，一个优秀的课堂管理者不应自己在课堂上忙得晕头转向，学生却无所事事。努力做那种看似“游手好闲，什么事都不做”，实则“大脑飞速转动，什么事都很清楚”的教师。把自己从琐碎、繁复中解放出来，将更多的精力用于跟随学生、审时度势、顺势点拨，让学生在对话、交流、展示中暴露错误、解决难点。
2.善“融”错——充分依赖学生。
如果说“容”错强调的是一种接纳心态，那么“融”错突出的则是一种综合的能力——对学习“半成品”进一步加工的能力；对“次品”修改焕新的能力；对那些看似毫无道理的“错误”，找出其中有用因子，并用到适宜的地方去的能力。
当然这种能力要求我们：平时，要坚持重视错误、收集错误、解读错误；备课时，能将思维的着力点从“应该怎样解题”转向“学生可能怎样解题”，聚焦于“学生可能会遇到什么问题，如何才能对症下药”；上课时，当教师不能读懂学生中出现的问题和错误时，可以倾听其他学生的声音。因为他们年龄相近，思维水平接近，思维角度相似，他们比成人更能了解彼此的语言和想法。学生是一群天生的、值得依赖的“融”错高手，这一点在上面的例子中也得到了很好的证实。
3.真“荣”错——注重发展学生。
华应龙老师的“荣”错教育除了上面提到的“容”错和“融”错外，还包括“荣”错。因为我们教育的最终目的不仅仅是为了获取知识，更重要的是促进学生的身心健康成长。小学数学学习应重视过程，让学生的学习始终伴随着“直观思维”。以“350厘米= 米”为例，学生在解题时，头脑中想的不是程序，而是一组“题目画面”：350厘米长的一根线段，用100厘米即1米的线段去比划，最多有3个，还多了50厘米。用数学式子表达就是：350÷100=3（段）……50（厘米），如下图：
笔者想，如果学生每次思考题目时，头脑中始终伴随着“画面”，那他们在一次次充分的思维操作中，积淀下来的“小单位改写大单位应除以进率”就不再是解题程序和技巧，而是一种数学直觉、一种对数量的感觉。如果学生建立了这样一种数感，那么即便学生不小心犯错，也能借助这种伴随形象的思维过程对错误进行自我修复，对方法进行再生。他们在思维展开中，经历了犯错、析错、纠错、成长的整个过程，从而“悟”到犯了错误后，如果能觉察到错误、找到症结所在、并克服了错误，这是一件光荣且了不得的事情。
（作者单位：江苏省南通经济技术开发区教育教学研究室）