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每年中考数学试题有将近30%的题目出自课本中的典型例题、练习题、习题或复习参考题，因此，同学们要做透课本中的典型例题和习题，要善于用联系的观点研究课本中题目的变式，善于在课本中寻找中考题的“影子”，探索试题与课本题目的结合点，必要时再将这些问题做恰当的分解或整合、延伸或拓展，努力使课本知识更加丰富鲜活. 本文从课本的一道习题出发，通过对其变式、探究、推广，做到举一反三，供同学们学习参考.
原题 （苏科版教材九年级下册第八章第2节练习）某班50名同学的身高如下（单位：cm）：
150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.
（1） 计算这50名同学身高的平均数和方差；
（2） 请用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为20的两个样本，并分别计算这两个样本平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？
【解析】（1） 平均数为160.58 cm，方差为40.403 6 cm2；
（2） 用简单随机抽样方法，得到的样本一为：
150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.
平均数为161.05 cm，方差为41.247 5 cm2，大体上与总体一致.
样本二为：
159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.
平均数为160 cm，方差为36.8 cm2，大体上与总体一致.
说明：本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量，抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.
延伸1：数据集中程度
例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：
则这个小组成员年龄的平均数是______，中位数是______.
【解析】本题考查加权平均数和中位数，典型的错误是误认为只有5个数据，从而得到平均数为=（12+13+14+15+16）=14，中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实，本题中共12个数据，正确解法为平均数=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）
=14.5，中位数为第6和第7个数的平均数，即=15.
例2 某公司员工的月工资如下表：
则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.
【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大，不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响，可采用中位数3 000元（反映中等水平）或众数3 000元（反映多数水平）描述这组数据的集中程度.
延伸2：数据离散程度
例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）.
A. 甲比乙的成绩稳定
B. 乙比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定
D. 无法确定谁的成绩更稳定
【解析】选B. 从平均数角度看，甲为9环，乙为9环；从极差角度看，甲为2环，乙为2环；但从方差角度看，甲为0.8环2，乙为0.6环2，所以乙比甲的成绩稳定.
说明：极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小，但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端，而方差反映的是一组数据的平均波动大小，更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大，方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm，方差为41.247 5 cm2；样本二的极差为29 cm，方差为36.8 cm2.
延伸3：合理选取样本
例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.
A. 在某校九年级选取50名女生
B. 在某校九年级选取50名男生
C. 在某校九年级选取50名学生
D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生
【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性，故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生，一个学校的学生不能代表整个城区的学生.
延伸4：样本估计总体
样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响，一般地，容量越大，精度越高.
例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.
【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只，由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本，利用样本估计总体可得=，解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.
例6 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛，李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1） 求被抽取部分学生的人数；
（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
（3） 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.
【解析】（1） 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人；
（2） 正确补全条形统计图：（图略）圆心角度数为360°×（30÷100）=108°.
（3） 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×（1-10%-30%）
=480（人）.
（作者单位：昆山市玉山中学）
原题 （苏科版教材九年级下册第八章第2节练习）某班50名同学的身高如下（单位：cm）：
150，148，159，156，157，163，156，164，156，159，169，163，170，162，163，164，155，162，153，155，177，165，160，161，166，159，161，157，155，167，162，165，159，147，163，172，156，165，157，164，152，156，153，164，165，162，167，151，175，162.
（1） 计算这50名同学身高的平均数和方差；
（2） 请用简单随机抽样方法，分别抽取样本容量为20的两个样本，并分别计算这两个样本平均数和方差，它们的结果一致吗？与总体的结果一致吗？
【解析】（1） 平均数为160.58 cm，方差为40.403 6 cm2；
（2） 用简单随机抽样方法，得到的样本一为：
150，151，160，166，172，167，165，156，153，167，159，164，164，157，175，157，162，161，156，159.
平均数为161.05 cm，方差为41.247 5 cm2，大体上与总体一致.
样本二为：
159，162，165，162，155，148，162，156，177，164，159，156，163，161，165，155，163，153，152，163.
平均数为160 cm，方差为36.8 cm2，大体上与总体一致.
说明：本题是典型的统计知识应用问题. 考查了平均数、方差等反映一组数据集中或离散程度的统计量，抽样的方法和用样本估计总体的统计思想. 下面对本题涉及的相关统计知识作适当的拓展探究.
延伸1：数据集中程度
例1 某中学数学兴趣小组12名成员的年龄情况如下：
则这个小组成员年龄的平均数是______，中位数是______.
【解析】本题考查加权平均数和中位数，典型的错误是误认为只有5个数据，从而得到平均数为=（12+13+14+15+16）=14，中位数为12、13、14、15、16最中间的数14. 其实，本题中共12个数据，正确解法为平均数=（12×1+13×1+14×3+15×5+16×2）
=14.5，中位数为第6和第7个数的平均数，即=15.
例2 某公司员工的月工资如下表：
则这组数据的平均数、众数、中位数中哪个统计量能客观描述该公司员工的总体收入情况.
【解析】这组数据的平均数为5 000元、众数3 000元、中位数3 000元. 由于这组数据中个别数据明显偏大，不宜用平均数5 000元反映这组数据的集中程度. 为了排除个别偏大数据对整组数据的影响，可采用中位数3 000元（反映中等水平）或众数3 000元（反映多数水平）描述这组数据的集中程度.
延伸2：数据离散程度
例3 下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）.
A. 甲比乙的成绩稳定
B. 乙比甲的成绩稳定
C. 甲、乙两人的成绩一样稳定
D. 无法确定谁的成绩更稳定
【解析】选B. 从平均数角度看，甲为9环，乙为9环；从极差角度看，甲为2环，乙为2环；但从方差角度看，甲为0.8环2，乙为0.6环2，所以乙比甲的成绩稳定.
说明：极差和方差虽然都可以反映一组数据的波动大小，但极差仅仅是关注了一组数据中的两个极端，而方差反映的是一组数据的平均波动大小，更能客观描述一组数据的离散程度. 有时极差大，方差可能反而小. 如原题中的样本一的极差为25 cm，方差为41.247 5 cm2；样本二的极差为29 cm，方差为36.8 cm2.
延伸3：合理选取样本
例4 要调查城区九年级8 000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.
A. 在某校九年级选取50名女生
B. 在某校九年级选取50名男生
C. 在某校九年级选取50名学生
D. 在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生
【解析】选D. 样本的选取要有代表性、广泛性和随机性，故应在城区8 000名九年级学生中随机选取部分学生. 男生或女生不能代表所有学生，一个学校的学生不能代表整个城区的学生.
延伸4：样本估计总体
样本估计总体是统计思想的应用. 样本的容量对估计总体的精度有影响，一般地，容量越大，精度越高.
例5 生物工作者为了估计一片山林中雀鸟的数量，设计了如下方案：先捕捉100只雀鸟，给它们做上标记后放回山林；一段时间后，再从中随机捕获500只，其中有标记的雀鸟有5只. 请你帮助工作人员估计这片山林中雀鸟的数量约有______只.
【解析】设这片山林中的所有雀鸟为x只，由于先捕捉的100只雀鸟是这片山林中所有雀鸟的一个样本，利用样本估计总体可得=，解得x=10 000. 即这片山林中的所有雀鸟约为10 000只.
例6 2011年5月19日，中国首个旅游日正式启动，某校组织了由八年级800名学生参加的旅游地理知识竞赛，李老师为了了解学生对旅游地理知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格、不及格4个级别进行统计，并绘制了如图的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1） 求被抽取部分学生的人数；
（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中表示及格的扇形的圆心角度数；
（3） 请估计八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数.
【解析】（1） 被抽取部分学生的人数为10÷10%=100人；
（2） 正确补全条形统计图：（图略）圆心角度数为360°×（30÷100）=108°.
（3） 八年级800名学生中达到良好和优秀的总人数约为800×（1-10%-30%）
=480（人）.
（作者单位：昆山市玉山中学）