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数学兴趣小组的活动开始了.Z老师开门见山提出问题：如图1是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……按此规律搭n条“金鱼”需要火柴______根.（2005年泰州市中考试题）
与生活联系密切，童年时谁没做过搭火柴棒的游戏呀！同学们的注意力一下子被吸引住了.
小清说：1条金鱼用火柴8根；2条金鱼用火柴14根，增加了6根火柴；3条金鱼，金鱼数增加1，火柴又增加6根.因此每增加1条金鱼就增加6根火柴.这就是本题的规律. n条金鱼与1条比，增加了(n-1)条，因此火柴数增加了6(n-1)根;再加上第1条金鱼用了8根火柴，共用了6(n-1) 8=6n 2根火柴.
小清刚讲完，S同学说：我想对第1条金鱼作个分解，以左边两根火柴为基础，加上6根火柴就搭成第1条金鱼，以后每增加6根火柴，金鱼就增加1条.列表如下：
Z老师说：两位同学从实际操作中探索搭金鱼的规律，分析得很透彻.小清的方法易为大家理解,而S同学的方法更简明些.请同学们再看一道题：用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
(1)第4个图案中有白色纸片______张；
（2）第n个图案中有白色纸片______张. （2006年南昌市中考试题）
W同学说：从第二个图形起，每个图形比前一个图形增加1张黑纸片和3张白纸片，因此第4个图形中有白纸片10 3=13张.采用S同学的方法，第1个图形的白纸片有4张，可看成1 3，所以第n个图形有白纸片（1 3n）张.
Z老师说：这是2006年哈尔滨市的中考试题：观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，照此规律，第8个图形共有______枚五角星.（我们将第8个改成第n个.）
H同学说：图形呈“T”字型，为了分散难点，分成横、竖两列分别予以探求.竖列很清楚，第n列有n枚星；横列从第2列起，每列比前1列增加2枚星，又第一列为1 2枚，所以第n列有（1 2n）枚星.因此，第n个图形共有五角星1 2n n=3n 1枚.显见，第8个图形有3×8 1=25枚.
L同学说：从整体看每个“T”字型比前一个“T”字型多3枚星，第一个“T”字型有1 3枚星，因此，第n个图形共有（1 3n）枚星.
Z老师说：再看题：观察下表，填表后再解答问题：（1）完成下列表格；（2）第几个图形中“●”的个数和“☆”的个数相等.
K同学说：显见，第n个图形有“☆”n2个；对于“●”，情况复杂一些，从第2个图形起，正方形每边上“●”的个数增加2，这样每个图形比前一个图形“●”的个数增加8，而第一个图形有“●”8个，于是第n个图形有“●”8n个.解方程n2=8n，得n=8.即第8个图形“☆”与“●”个数相等.
Z老师又出示一道无锡市2005年的中考试题：一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是_____个单位.
Z老师分析说：按跳蚤的运动规律实地操作一下.可借助于数轴.设0点为原点，第1次向右跳1个单位，落点表示数 1；第2次向左跳2个单位，落点表示数-1.这两个落点到0的距离都是1.第3次向右跳3个单位，落点表示数 2；第4次向左跳4个单位，该落点表示数-2.这两点到0的距离都是2.（这时，小清插话说，当它跳第100次落下时，落点在数轴的负方向上，表示数-50，到0点的距离为50.）
再看一道题：如图5，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4.第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算P0到P2001之间的距离.（第八届“华罗庚杯”竞赛试题）
富有情趣的问题，使大家兴趣培增，用圆规在纸上画了起来.S同学高兴地说：老师，电子跳蚤跳动的规律我找到了.由于CP0=BC-BP0=10-4=6，所以第一次跳到P1，有CP1=CP0=6，因此AP1=9-6=3；第二次跳到P2，有AP2=AP1=3，因此BP2=8-3=5；第三次跳到P3，有BP3=BP2=5，因此CP3=10-5=5；类似可得CP4=5，AP5=4，BP6=4.这说明经过6次跳动，电子跳蚤又回到了初始位置P0，它跳动的落点呈周期性重复出现.由于2001=6×333 3，所以P2001与P3重合.因此P0到P2001的距离就是P0到P3的距离.P0P3=BP3-BP0=5-4=1.（如果你还未听懂，请你动动手！）
Z老师说：上面涉及的问题都是给出了一种操作方法或给出利用这种操作方法所得到的某些结果，去探索它的一般规律，这类问题通常称为操作题.操作题贴近生活，趣味性浓，解法灵活，且有利于对能力的考查，已成为中考和竞赛试题中的一个亮点，成为大家关注的一个热点.今天我们对一些较简单的操作题作了探讨.我认为，解决此类问题，首先要勇于实践，自己去操作，同时要做个有心人，在操作的过程中寻求、发现操作所遵循的规律，并将规律用数学形式表示出来.
最后，再看题：一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角α（0°＜α＜180°）.这称为一次操作.若5次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为（）.
（A）72°（B）108°或144°（C）144°（D）72°或144°
（2005年武汉市初中数学竞赛试题）
小清画了个草图(图6)，说：正五边形显然符合题意，∠ABC=108°，所以α=72°.我选（A）.
W同学心存疑虑地说:选择支中还有（D），即α为72°或144°，α可能为144°吗？大家又在纸上画了一阵，小清说：应该有两种情况，当α=144°时遥控赛车走出的一个图形是五角星.（你也去试一试！）
Z老师说：W同学从选择题的特殊性出发，对小清的解答的正确性提出了质疑，很好.但如果是填空题呢？这里我要提一下思维的严谨性，事实上旋转角α的范围已告诉你不能只考虑锐角的情形，显见α=90°不合题意，那么α是钝角时情况会怎样？这也是我们应该考虑的.这样考虑问题就不会遗漏解了.
与生活联系密切，童年时谁没做过搭火柴棒的游戏呀！同学们的注意力一下子被吸引住了.
小清说：1条金鱼用火柴8根；2条金鱼用火柴14根，增加了6根火柴；3条金鱼，金鱼数增加1，火柴又增加6根.因此每增加1条金鱼就增加6根火柴.这就是本题的规律. n条金鱼与1条比，增加了(n-1)条，因此火柴数增加了6(n-1)根;再加上第1条金鱼用了8根火柴，共用了6(n-1) 8=6n 2根火柴.
小清刚讲完，S同学说：我想对第1条金鱼作个分解，以左边两根火柴为基础，加上6根火柴就搭成第1条金鱼，以后每增加6根火柴，金鱼就增加1条.列表如下：
Z老师说：两位同学从实际操作中探索搭金鱼的规律，分析得很透彻.小清的方法易为大家理解,而S同学的方法更简明些.请同学们再看一道题：用黑白两种颜色的正方形纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案：
(1)第4个图案中有白色纸片______张；
（2）第n个图案中有白色纸片______张. （2006年南昌市中考试题）
W同学说：从第二个图形起，每个图形比前一个图形增加1张黑纸片和3张白纸片，因此第4个图形中有白纸片10 3=13张.采用S同学的方法，第1个图形的白纸片有4张，可看成1 3，所以第n个图形有白纸片（1 3n）张.
Z老师说：这是2006年哈尔滨市的中考试题：观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，照此规律，第8个图形共有______枚五角星.（我们将第8个改成第n个.）
H同学说：图形呈“T”字型，为了分散难点，分成横、竖两列分别予以探求.竖列很清楚，第n列有n枚星；横列从第2列起，每列比前1列增加2枚星，又第一列为1 2枚，所以第n列有（1 2n）枚星.因此，第n个图形共有五角星1 2n n=3n 1枚.显见，第8个图形有3×8 1=25枚.
L同学说：从整体看每个“T”字型比前一个“T”字型多3枚星，第一个“T”字型有1 3枚星，因此，第n个图形共有（1 3n）枚星.
Z老师说：再看题：观察下表，填表后再解答问题：（1）完成下列表格；（2）第几个图形中“●”的个数和“☆”的个数相等.
K同学说：显见，第n个图形有“☆”n2个；对于“●”，情况复杂一些，从第2个图形起，正方形每边上“●”的个数增加2，这样每个图形比前一个图形“●”的个数增加8，而第一个图形有“●”8个，于是第n个图形有“●”8n个.解方程n2=8n，得n=8.即第8个图形“☆”与“●”个数相等.
Z老师又出示一道无锡市2005年的中考试题：一跳蚤在一直线上从0点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离0点的距离是_____个单位.
Z老师分析说：按跳蚤的运动规律实地操作一下.可借助于数轴.设0点为原点，第1次向右跳1个单位，落点表示数 1；第2次向左跳2个单位，落点表示数-1.这两个落点到0的距离都是1.第3次向右跳3个单位，落点表示数 2；第4次向左跳4个单位，该落点表示数-2.这两点到0的距离都是2.（这时，小清插话说，当它跳第100次落下时，落点在数轴的负方向上，表示数-50，到0点的距离为50.）
再看一道题：如图5，电子跳蚤游戏盘为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4.第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2；…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落点为P2001，请计算P0到P2001之间的距离.（第八届“华罗庚杯”竞赛试题）
富有情趣的问题，使大家兴趣培增，用圆规在纸上画了起来.S同学高兴地说：老师，电子跳蚤跳动的规律我找到了.由于CP0=BC-BP0=10-4=6，所以第一次跳到P1，有CP1=CP0=6，因此AP1=9-6=3；第二次跳到P2，有AP2=AP1=3，因此BP2=8-3=5；第三次跳到P3，有BP3=BP2=5，因此CP3=10-5=5；类似可得CP4=5，AP5=4，BP6=4.这说明经过6次跳动，电子跳蚤又回到了初始位置P0，它跳动的落点呈周期性重复出现.由于2001=6×333 3，所以P2001与P3重合.因此P0到P2001的距离就是P0到P3的距离.P0P3=BP3-BP0=5-4=1.（如果你还未听懂，请你动动手！）
Z老师说：上面涉及的问题都是给出了一种操作方法或给出利用这种操作方法所得到的某些结果，去探索它的一般规律，这类问题通常称为操作题.操作题贴近生活，趣味性浓，解法灵活，且有利于对能力的考查，已成为中考和竞赛试题中的一个亮点，成为大家关注的一个热点.今天我们对一些较简单的操作题作了探讨.我认为，解决此类问题，首先要勇于实践，自己去操作，同时要做个有心人，在操作的过程中寻求、发现操作所遵循的规律，并将规律用数学形式表示出来.
最后，再看题：一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角α（0°＜α＜180°）.这称为一次操作.若5次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为（）.
（A）72°（B）108°或144°（C）144°（D）72°或144°
（2005年武汉市初中数学竞赛试题）
小清画了个草图(图6)，说：正五边形显然符合题意，∠ABC=108°，所以α=72°.我选（A）.
W同学心存疑虑地说:选择支中还有（D），即α为72°或144°，α可能为144°吗？大家又在纸上画了一阵，小清说：应该有两种情况，当α=144°时遥控赛车走出的一个图形是五角星.（你也去试一试！）
Z老师说：W同学从选择题的特殊性出发，对小清的解答的正确性提出了质疑，很好.但如果是填空题呢？这里我要提一下思维的严谨性，事实上旋转角α的范围已告诉你不能只考虑锐角的情形，显见α=90°不合题意，那么α是钝角时情况会怎样？这也是我们应该考虑的.这样考虑问题就不会遗漏解了.