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摘 要：传递系数法是中国建筑边坡工程技术规范中推荐的边坡稳定性计算方法，适用于滑面为结构面的土质边坡和岩质边坡.地震对边坡稳定性有重要影响.规范中只考虑水平地震力的影响，这里研究不同地震力方向的影响.基于传递系数法，可以很方便地将求安全系数问题转换为一个优化问题，通过数值算例表明，安全系数关于地震力的水平方向是对称的.算例还将地震力方向对剩余下滑力的影响可视化地展示出来.
关键词：传递系数法；地震力方向；优化问题；安全系数；剩余下滑力
中图分类号：TU457 文献标志码：A
0 引言
边坡安全对社会和经济活动有重要的影响，每年都要投入大量的人力、物力和财力用在边坡治理上.地震与边坡稳定有很大关系，地震作用下的边坡稳定性分析对边坡是否需要治理及如何治理关系密切.发展中国家如中国、印度、巴西等对边坡治理非常重视，进行了大量的研究，这些工程的建设促进了其理论研究和工程实践.
在中国《建筑边坡工程技术规范》（GB50330-2013）中对传递系数法进行了介绍.这里主要考虑任意地震力方向下的传递系数法.对于滑面为沿结构面的土质边坡和岩质边坡，可采用传递系数法计算边坡稳定性系数.这是个快速、简洁、物理意义明确的方法.
采用解析法和传递系数法，文献[1-10]对边坡进行了分析，结果对工程具有重要指导意义.文献[11]对传递系数法中已提出的不同计算方法进行了分析比较，并提出了适用意见与建议.目前用传递系数法求安全系数主要有试算法和迭代法两种主要解法，文献[12]对这两种解法进行了分析比较.
传递系数法求解时，我们将从优化的角度来计算Fs.另外，地震力方向在规范和大量文献中主要考虑水平指向坡外的方向，任意地震力方向对边坡稳定性的影响缺少研究.本文将在这些方面进行探索.
1 任意地震力方向作用下的传递系数法
这种方法适用于计算沿结构面滑动的边坡稳定性，在我国建筑边坡工程技术规范中明确提出应采用这个方法.图1是考虑地震力任意方向作用下的传递系数法计算示意图.图中标出了第i个土条的受力，共有n个土条.土条编号是从最右端（高的一端）开始，一直到最左端（低的一端）.Wi表示土条i受到的重力.KeWi表示土条受到的地震力，Ke是地震影响系数（在规范中有具体取值），θ是地震力与水平方向的夹角，假定所有土条的地震力方向是相同的.Ti是土条受到的下滑力，由重力和地震力等引起，方向沿土条底部向下.Ri是土条的抗滑力，由粘聚力及重力、地震力等产生的摩擦力引起，方向沿土条底部向上.Pi-1是右侧土条对第i个土条的作用力，如果右侧有土条，则这个作用力假定平行于第i-1个土条的底部斜面方向，即倾角为αi-1；如果右侧没有土条，且右边开裂处没有水的作用，则这个作用力为0；如果右侧没有土条，且右边开裂处有水的作用，则这个作用力应为垂直于水的作用面，大小为水的静水压力.Pi为左侧土条对第i个土条的作用力，如果左侧有土条，则这个作用力假定平行于第i个土条的底部斜面方向，即倾角为αi；如果左侧没有土条，则这个作用力为0.li为土条底部斜面的长度.
计算边坡稳定性系数Fs的一般方法是试算法：先假设Fs=1，然后，从坡顶第1个土条开始，逐个向下求Pi，直至求出最后一个剩余下滑力Pn，Pn若为0就停止计算，对应的Fs值为所求，否则需要重新假定Fs进行试算.还有迭代法也是常采用的方法.
2 数值算例
某边坡1和边坡2如图2、图3所示，结构面如图所示.无地震情况下，其剩余下滑力的绝对值|Pn|与Fs的关系如图4所示.从图4中容易看出两个剩余下滑力绝对值的极小值，均为0，分别对应两个边坡的稳定性系数.
边坡稳定系数的计算方法除了试算法和迭代法，也可以采用最优化的方法.采用优化的方法来计算边坡稳定性系数时，先将边坡稳定性系数的计算转化为一个求最小值的过程，对不考虑地震影响的情况，其数学描述如下：
式中，x=Fs，m=1，f（x）=|Pn|，Fs>0.边坡稳定性系数就是|Pn|=0（即最小值）时对应的Fs.采用优化方法（内点法和遗传算法，可以查阅参考文献[13]，不再赘叙）可以求得两个边坡的稳定性系数分别为Fs1=4.00和Fs2=4.96.内点法是一种经典方法，从某一初始点出发，可以很快找到局部最优点.遗传算法是一种智能算法，从一群初始点出发，经遗传操作，可以找到全局最优点.
如果考虑地震力的影响，并假设所有条块的地震力与水平方向夹角均相同，为θ，则剩余下滑力Pn與Fs和θ的关系可以用三维曲面表示.图5是边坡2的剩余下滑力Pn与Fs和θ的曲面，地震影响系数Ke=0.025（根据规范，地震烈度为7度时的地震系数），Pn<0的部分去掉.图6是边坡2的剩余下滑力Pn与Fs和θ的三维曲面与Pn=0平面的交线.
考虑地震的情况下，如果用优化的方法来求边坡稳定性系数，从图5看出其目标函数不能再用无地震情况下的，这时式（6）中，x=[Fs， θ]，m=2，f（x）=100×|Pn|+Fs，Fs>0.边坡稳定性系数就是f为最小值时对应的Fs.采用优化方法（文献[13]）可以求得不同地震影响系数下的边坡稳定性系数及对应的地震力方向，结果见表1.
3 结论
无地震影响时，从图4中可以清晰地看到有一个最小值0，这个点对应的Fs值就是边坡稳定性系数.应用优化的方法可以简便、有效地求解边坡稳定性系数.
当考虑地震影响的情况下，从图5中可以看出，比无地震影响时复杂得多.此时若用优化方法求解边坡稳定性系数，则需要修改无地震影响时的目标函数.
从图5和图6看到图形是关于θ=0对称的.对于边坡2在地震烈度为8度、9度时（Ke取值分别为0.05，0.1），此时对应的曲面与曲线与图5、图6类似.对于边坡1，情况也类似. 参考文献
[1] 郑允，陈从新，朱玺玺，等. 地震作用下岩质边坡倾倒破坏分析[J]. 岩土力学， 2014， 35（4）： 1025-1032.
[2] 郑允，陈从新，刘婷婷，等. 坡顶荷载作用下岩质边坡倾倒破坏分析[J]. 岩土力学， 2015， 36（9）： 2639-2647.
[3] 陈蜀俊，党晓英，曾心传，等. 奉节长江大桥北岸边坡在地震荷载作用下的稳定性分析[J]. 岩石力学与工程学报， 2004， 23（4）： 657-662.
[4] 杨保军，何杰，吉刚，等. 岩质边坡滑动-倾倒组合破坏模式稳定性分析[J]. 岩土力学， 2014， 35（8）： 2335-2341.
[5] 王昱，陈洪凯. 杭州-兰州高速公路杏花村滑坡稳定性分析与防治措施[J]. 公路， 2009 （10）： 121-126.
[6] 杨令强，马静，张社荣. 抗滑桩加固边坡的稳定可靠度分析[J]. 岩土工程学报， 2009， 31（8）： 1299-1302.
[7] 田延哲，徐拴海，孟庄涵. 风化堆积体边坡稳定性分析方法探究[J]. 煤炭技术， 2015， 34（6）： 199-201.
[8] 李亮，褚雪松，李冉，等. 确定多级多层边坡临界滑动面的改进策略[J]. 华中科技大学学报（自然科学版）， 2011， 39（5）： 59-62.
[9] 文奎，王根，晏长根. 地下水与边坡开挖对滑坡稳定性影响的分析[J]. 铁道建筑， 2014 （2）： 80-82.
[10] 周春梅，李先福. 大冶铁矿高陡岩质边坡变形破坏机理分析[J]. 合肥工业大学学报（自然科学版）， 2009， 32（10）： 1577-1580.
[11] 袁兴平，李珂，张顺斌. 差别定义下边坡传递系数法计算差异分析[J]. 地下空间与工程学报， 2014， 10（2）： 347-350.
[12] 张丹，李同春，乐成军. 论传递系数法求边坡稳定安全系数的两种解法[J]. 水利水电科技进展， 2004， 24（2）： 23-25.
[13] 周圆兀，韩晓伟，陈鲍. 基于不平衡推力法的边坡稳定性系数优化计算方法[J]. 广西科技大学学报， 2016， 27（1）： 71-74.
Abstract： The transfer coefficient method is a computation method of slope stability which is recommended by technical code for building slope engineering of China. The method is suitable for soil slope or rock slope which sliding surface is structural plane. The earthquake has important influence on slope stability. The technical code only considers the influence of the horizontal seismic force， but this paper will study the influence of different seismic force direction. Based on the transfer coefficient method， evaluating safety coefficient can easily be transformed into an optimization problem. Numerous examples show that safety coefficient is symmetrical about horizontal seismic force direction. Examples also visually display the influence of earthquake force directions on residual slide force.
Key words： transfer coefficient method； earthquake force directions； optimization problem； safety coefficient； residual slide force
（學科编辑：黎 娅）
关键词：传递系数法；地震力方向；优化问题；安全系数；剩余下滑力
中图分类号：TU457 文献标志码：A
0 引言
边坡安全对社会和经济活动有重要的影响，每年都要投入大量的人力、物力和财力用在边坡治理上.地震与边坡稳定有很大关系，地震作用下的边坡稳定性分析对边坡是否需要治理及如何治理关系密切.发展中国家如中国、印度、巴西等对边坡治理非常重视，进行了大量的研究，这些工程的建设促进了其理论研究和工程实践.
在中国《建筑边坡工程技术规范》（GB50330-2013）中对传递系数法进行了介绍.这里主要考虑任意地震力方向下的传递系数法.对于滑面为沿结构面的土质边坡和岩质边坡，可采用传递系数法计算边坡稳定性系数.这是个快速、简洁、物理意义明确的方法.
采用解析法和传递系数法，文献[1-10]对边坡进行了分析，结果对工程具有重要指导意义.文献[11]对传递系数法中已提出的不同计算方法进行了分析比较，并提出了适用意见与建议.目前用传递系数法求安全系数主要有试算法和迭代法两种主要解法，文献[12]对这两种解法进行了分析比较.
传递系数法求解时，我们将从优化的角度来计算Fs.另外，地震力方向在规范和大量文献中主要考虑水平指向坡外的方向，任意地震力方向对边坡稳定性的影响缺少研究.本文将在这些方面进行探索.
1 任意地震力方向作用下的传递系数法
这种方法适用于计算沿结构面滑动的边坡稳定性，在我国建筑边坡工程技术规范中明确提出应采用这个方法.图1是考虑地震力任意方向作用下的传递系数法计算示意图.图中标出了第i个土条的受力，共有n个土条.土条编号是从最右端（高的一端）开始，一直到最左端（低的一端）.Wi表示土条i受到的重力.KeWi表示土条受到的地震力，Ke是地震影响系数（在规范中有具体取值），θ是地震力与水平方向的夹角，假定所有土条的地震力方向是相同的.Ti是土条受到的下滑力，由重力和地震力等引起，方向沿土条底部向下.Ri是土条的抗滑力，由粘聚力及重力、地震力等产生的摩擦力引起，方向沿土条底部向上.Pi-1是右侧土条对第i个土条的作用力，如果右侧有土条，则这个作用力假定平行于第i-1个土条的底部斜面方向，即倾角为αi-1；如果右侧没有土条，且右边开裂处没有水的作用，则这个作用力为0；如果右侧没有土条，且右边开裂处有水的作用，则这个作用力应为垂直于水的作用面，大小为水的静水压力.Pi为左侧土条对第i个土条的作用力，如果左侧有土条，则这个作用力假定平行于第i个土条的底部斜面方向，即倾角为αi；如果左侧没有土条，则这个作用力为0.li为土条底部斜面的长度.
计算边坡稳定性系数Fs的一般方法是试算法：先假设Fs=1，然后，从坡顶第1个土条开始，逐个向下求Pi，直至求出最后一个剩余下滑力Pn，Pn若为0就停止计算，对应的Fs值为所求，否则需要重新假定Fs进行试算.还有迭代法也是常采用的方法.
2 数值算例
某边坡1和边坡2如图2、图3所示，结构面如图所示.无地震情况下，其剩余下滑力的绝对值|Pn|与Fs的关系如图4所示.从图4中容易看出两个剩余下滑力绝对值的极小值，均为0，分别对应两个边坡的稳定性系数.
边坡稳定系数的计算方法除了试算法和迭代法，也可以采用最优化的方法.采用优化的方法来计算边坡稳定性系数时，先将边坡稳定性系数的计算转化为一个求最小值的过程，对不考虑地震影响的情况，其数学描述如下：
式中，x=Fs，m=1，f（x）=|Pn|，Fs>0.边坡稳定性系数就是|Pn|=0（即最小值）时对应的Fs.采用优化方法（内点法和遗传算法，可以查阅参考文献[13]，不再赘叙）可以求得两个边坡的稳定性系数分别为Fs1=4.00和Fs2=4.96.内点法是一种经典方法，从某一初始点出发，可以很快找到局部最优点.遗传算法是一种智能算法，从一群初始点出发，经遗传操作，可以找到全局最优点.
如果考虑地震力的影响，并假设所有条块的地震力与水平方向夹角均相同，为θ，则剩余下滑力Pn與Fs和θ的关系可以用三维曲面表示.图5是边坡2的剩余下滑力Pn与Fs和θ的曲面，地震影响系数Ke=0.025（根据规范，地震烈度为7度时的地震系数），Pn<0的部分去掉.图6是边坡2的剩余下滑力Pn与Fs和θ的三维曲面与Pn=0平面的交线.
考虑地震的情况下，如果用优化的方法来求边坡稳定性系数，从图5看出其目标函数不能再用无地震情况下的，这时式（6）中，x=[Fs， θ]，m=2，f（x）=100×|Pn|+Fs，Fs>0.边坡稳定性系数就是f为最小值时对应的Fs.采用优化方法（文献[13]）可以求得不同地震影响系数下的边坡稳定性系数及对应的地震力方向，结果见表1.
3 结论
无地震影响时，从图4中可以清晰地看到有一个最小值0，这个点对应的Fs值就是边坡稳定性系数.应用优化的方法可以简便、有效地求解边坡稳定性系数.
当考虑地震影响的情况下，从图5中可以看出，比无地震影响时复杂得多.此时若用优化方法求解边坡稳定性系数，则需要修改无地震影响时的目标函数.
从图5和图6看到图形是关于θ=0对称的.对于边坡2在地震烈度为8度、9度时（Ke取值分别为0.05，0.1），此时对应的曲面与曲线与图5、图6类似.对于边坡1，情况也类似. 参考文献
[1] 郑允，陈从新，朱玺玺，等. 地震作用下岩质边坡倾倒破坏分析[J]. 岩土力学， 2014， 35（4）： 1025-1032.
[2] 郑允，陈从新，刘婷婷，等. 坡顶荷载作用下岩质边坡倾倒破坏分析[J]. 岩土力学， 2015， 36（9）： 2639-2647.
[3] 陈蜀俊，党晓英，曾心传，等. 奉节长江大桥北岸边坡在地震荷载作用下的稳定性分析[J]. 岩石力学与工程学报， 2004， 23（4）： 657-662.
[4] 杨保军，何杰，吉刚，等. 岩质边坡滑动-倾倒组合破坏模式稳定性分析[J]. 岩土力学， 2014， 35（8）： 2335-2341.
[5] 王昱，陈洪凯. 杭州-兰州高速公路杏花村滑坡稳定性分析与防治措施[J]. 公路， 2009 （10）： 121-126.
[6] 杨令强，马静，张社荣. 抗滑桩加固边坡的稳定可靠度分析[J]. 岩土工程学报， 2009， 31（8）： 1299-1302.
[7] 田延哲，徐拴海，孟庄涵. 风化堆积体边坡稳定性分析方法探究[J]. 煤炭技术， 2015， 34（6）： 199-201.
[8] 李亮，褚雪松，李冉，等. 确定多级多层边坡临界滑动面的改进策略[J]. 华中科技大学学报（自然科学版）， 2011， 39（5）： 59-62.
[9] 文奎，王根，晏长根. 地下水与边坡开挖对滑坡稳定性影响的分析[J]. 铁道建筑， 2014 （2）： 80-82.
[10] 周春梅，李先福. 大冶铁矿高陡岩质边坡变形破坏机理分析[J]. 合肥工业大学学报（自然科学版）， 2009， 32（10）： 1577-1580.
[11] 袁兴平，李珂，张顺斌. 差别定义下边坡传递系数法计算差异分析[J]. 地下空间与工程学报， 2014， 10（2）： 347-350.
[12] 张丹，李同春，乐成军. 论传递系数法求边坡稳定安全系数的两种解法[J]. 水利水电科技进展， 2004， 24（2）： 23-25.
[13] 周圆兀，韩晓伟，陈鲍. 基于不平衡推力法的边坡稳定性系数优化计算方法[J]. 广西科技大学学报， 2016， 27（1）： 71-74.
Abstract： The transfer coefficient method is a computation method of slope stability which is recommended by technical code for building slope engineering of China. The method is suitable for soil slope or rock slope which sliding surface is structural plane. The earthquake has important influence on slope stability. The technical code only considers the influence of the horizontal seismic force， but this paper will study the influence of different seismic force direction. Based on the transfer coefficient method， evaluating safety coefficient can easily be transformed into an optimization problem. Numerous examples show that safety coefficient is symmetrical about horizontal seismic force direction. Examples also visually display the influence of earthquake force directions on residual slide force.
Key words： transfer coefficient method； earthquake force directions； optimization problem； safety coefficient； residual slide force
（學科编辑：黎 娅）