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数学思考和问题解决是《课程标准》中提出的两个课程目标，自然就应当成为数学教学的重心.我们不仅要在学生解决问题的系统过程加以有效帮助，还应让学生在解决问题的过程中体验作为策略的价值，帮助学生把解决问题的一些具体经验上升为数学思考，形成解决问题的策略，进一步提高解决问题的能力.
课例《相似三角形（复习课）》是七年级学生在学习了相似三角形的性质、判定之后的一节复习课.本节课的设计本着创设开放的问题情境的想法，借助动手操作，结合一题多变、一题多解的策略，发挥小组合作的作用，培养学生的问题解决能力.
1 设置开放性问题情境，引导学生归纳总结，为提高问题解决能力打基础（知识回顾）
1. 如图1，在△ABC中，D为AB边上一点.过点D作一直线将△ABC分为两部分，使截得的三角形与△ABC相似，共有几种方法？试一试.归纳：相似三角形的基本图形：
设计意图：这是一个开放性问题，学生在解决此问题的过程中需要回忆三角形相似判定的方法和条件，要求学生把想法在小组内交流，互相分享智慧，最终获得如图2的四种方法，并向大家展示思路，说明理由.在这个过程中，学习对旧知识进行回忆、解决问题的过程，也是对知识进行重组的过程.教师借机引导学生建立知识网络，梳理基本图形，再借助基本图形回顾相似三角形的性质，把本章知识结成网，连成片.经过这样一个过程，学生对相关图形有了进一步的认识，为下一步问题解决能力的提升奠定了基础.
2 设计多样的数学活动，借助一题多变、一题多解，培养学生数学思考和解决问题的能力（灵活运用）
如图3，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合），
∠AEF=90°.观察图形： △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论.
设计意图：这个环节，首先让学生自主解决在三垂直的前提下两三角形相似的问题.在题目中只有角的条件，没有边的条件，所以学生会采用两角对应相等的方法证相似.然后让学生手中的两个直角三角板动手操作，初步感受在∠AEF=90°的前提下，移动点E的位置，两角对应相等的条件不会改变，也就是相似的结论不会改变.
此时，学生对三垂直的图形应用的非常熟练，教师借机提出变式问题：上题中如果没有垂直的条件，但始终保持∠AEF=∠B=∠C，如图4，△ABE 与△ECF 是否相似？
设计意图：设计这两个问题渗透由特殊到一般的思想，让学生学会用类比的方法解决问题.部分学生可能有困难，教师借助几何画板演示，在∠AEF、∠B、∠C三个角相等的前提下，始终有两三角形中两角对应相等的结论，继而有两三角形相似的结论，为学生问题的解决打开思路.这个过程中，学生由动手操作到直观演示，思维过程逐渐清晰，既有了一定的解题策略，也提高了问题解决能力.
为了让学生解决问题的能力有进一步的提升，在上题的基础上再加以变式：
变式练习：如图5，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上的点，BE=2，F是CD上的一个动点，当CF为多少时能使得△ECF与△ABE相似，请简要说明理由.
设计意图：这个问题的给出，是把上题的条件加以改变，让学生把从角的角度考虑相似问题迁移到从边的角度考虑问题，也使得构建的知识网络更加完善.在此题中，通过分类讨论的思想培养了学生发散思维能力，进一步加深了第一个环节的知识回顾，也体现了对知识的灵活运用，增强了学生问题解决的能力.
3 发挥激励作用，借助小组合作，促进学生问题解决能力的提高（能力提升）
如图6，有一块直角三角形ABC木料，∠C=90°，BC=3米，AC=4米.要加工成一张正方形桌子，现有两种设计方案，哪种截法能使桌子的面积最大？（不能拼接）
活动要求：小组分工后先独立解决再合作完成此题；比一比哪个小组敢于克服困难勇夺金牌；比一比哪个小组用时短、方法多.
设计意图：新课改强调归还学生在教学中的主体地位，改变学生的学习方式，而合作学习就成了新课程实现学生学习方式转变的着力点.一旦建立了真正意义上的小组合作学习的机制，学生在小组里面有相同的目标，有各自的分工，小组成员之间相互激励与促进，形成竞争与合作并存的人际关系，在与他人交流思维的结果和过程中，解决问题的能力会逐步提高.在此环节鉴于题目难度，笔者设计了银牌题、金牌题的形式，激励学生勇于克服困难.方案二鼓励学生探索多种方法，拓展思维.在组与组的评价、补充中还初步培养了学生的反思意识，通过这个问题的解决也对学生问题解决能力的提升起到了良好的促进作用.
4 借助评价与反思，加深对问题的理解并获得解决问题的经验（自我检测）
1. 如图7，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：
2. 如图8，在ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC等于
3. 如图9，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=12米，BP=18米，PD=12米， 求古城墙的高度.
设计意图：弗赖登塔尔强调：“反思是数学的重要活动，它是数学活动的核心和动力.”在课堂最后设计了一组难易层度逐渐递进的自我检测题.通过自我检测对学习内容反思，可以加深对问题的理解并获得解决问题的经验.
在这节课中，学生不仅会用多种策略解决问题，而且培养了动手操作、语言表达和思维能力，同时学生的探索精神、创新意识和解决问题的能力都得到了进一步的发展.
课例《相似三角形（复习课）》是七年级学生在学习了相似三角形的性质、判定之后的一节复习课.本节课的设计本着创设开放的问题情境的想法，借助动手操作，结合一题多变、一题多解的策略，发挥小组合作的作用，培养学生的问题解决能力.
1 设置开放性问题情境，引导学生归纳总结，为提高问题解决能力打基础（知识回顾）
1. 如图1，在△ABC中，D为AB边上一点.过点D作一直线将△ABC分为两部分，使截得的三角形与△ABC相似，共有几种方法？试一试.归纳：相似三角形的基本图形：
设计意图：这是一个开放性问题，学生在解决此问题的过程中需要回忆三角形相似判定的方法和条件，要求学生把想法在小组内交流，互相分享智慧，最终获得如图2的四种方法，并向大家展示思路，说明理由.在这个过程中，学习对旧知识进行回忆、解决问题的过程，也是对知识进行重组的过程.教师借机引导学生建立知识网络，梳理基本图形，再借助基本图形回顾相似三角形的性质，把本章知识结成网，连成片.经过这样一个过程，学生对相关图形有了进一步的认识，为下一步问题解决能力的提升奠定了基础.
2 设计多样的数学活动，借助一题多变、一题多解，培养学生数学思考和解决问题的能力（灵活运用）
如图3，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合），
∠AEF=90°.观察图形： △ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论.
设计意图：这个环节，首先让学生自主解决在三垂直的前提下两三角形相似的问题.在题目中只有角的条件，没有边的条件，所以学生会采用两角对应相等的方法证相似.然后让学生手中的两个直角三角板动手操作，初步感受在∠AEF=90°的前提下，移动点E的位置，两角对应相等的条件不会改变，也就是相似的结论不会改变.
此时，学生对三垂直的图形应用的非常熟练，教师借机提出变式问题：上题中如果没有垂直的条件，但始终保持∠AEF=∠B=∠C，如图4，△ABE 与△ECF 是否相似？
设计意图：设计这两个问题渗透由特殊到一般的思想，让学生学会用类比的方法解决问题.部分学生可能有困难，教师借助几何画板演示，在∠AEF、∠B、∠C三个角相等的前提下，始终有两三角形中两角对应相等的结论，继而有两三角形相似的结论，为学生问题的解决打开思路.这个过程中，学生由动手操作到直观演示，思维过程逐渐清晰，既有了一定的解题策略，也提高了问题解决能力.
为了让学生解决问题的能力有进一步的提升，在上题的基础上再加以变式：
变式练习：如图5，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上的点，BE=2，F是CD上的一个动点，当CF为多少时能使得△ECF与△ABE相似，请简要说明理由.
设计意图：这个问题的给出，是把上题的条件加以改变，让学生把从角的角度考虑相似问题迁移到从边的角度考虑问题，也使得构建的知识网络更加完善.在此题中，通过分类讨论的思想培养了学生发散思维能力，进一步加深了第一个环节的知识回顾，也体现了对知识的灵活运用，增强了学生问题解决的能力.
3 发挥激励作用，借助小组合作，促进学生问题解决能力的提高（能力提升）
如图6，有一块直角三角形ABC木料，∠C=90°，BC=3米，AC=4米.要加工成一张正方形桌子，现有两种设计方案，哪种截法能使桌子的面积最大？（不能拼接）
活动要求：小组分工后先独立解决再合作完成此题；比一比哪个小组敢于克服困难勇夺金牌；比一比哪个小组用时短、方法多.
设计意图：新课改强调归还学生在教学中的主体地位，改变学生的学习方式，而合作学习就成了新课程实现学生学习方式转变的着力点.一旦建立了真正意义上的小组合作学习的机制，学生在小组里面有相同的目标，有各自的分工，小组成员之间相互激励与促进，形成竞争与合作并存的人际关系，在与他人交流思维的结果和过程中，解决问题的能力会逐步提高.在此环节鉴于题目难度，笔者设计了银牌题、金牌题的形式，激励学生勇于克服困难.方案二鼓励学生探索多种方法，拓展思维.在组与组的评价、补充中还初步培养了学生的反思意识，通过这个问题的解决也对学生问题解决能力的提升起到了良好的促进作用.
4 借助评价与反思，加深对问题的理解并获得解决问题的经验（自我检测）
1. 如图7，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：
2. 如图8，在ABCD中，AE=EB，AF=2，则FC等于
3. 如图9，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=12米，BP=18米，PD=12米， 求古城墙的高度.
设计意图：弗赖登塔尔强调：“反思是数学的重要活动，它是数学活动的核心和动力.”在课堂最后设计了一组难易层度逐渐递进的自我检测题.通过自我检测对学习内容反思，可以加深对问题的理解并获得解决问题的经验.
在这节课中，学生不仅会用多种策略解决问题，而且培养了动手操作、语言表达和思维能力，同时学生的探索精神、创新意识和解决问题的能力都得到了进一步的发展.