【摘要】运用牛顿运动定律简化质心运动问题求解
　　【关键词】质心运动 牛顿运动定律
　　【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)01(a)-0126-01
　　
　　质心运动问题比单纯的质点运动问题复杂。然而,在解决具体问题时,如果能巧妙地利用牛顿运动定律,可以使问题得到很大程度地简化。本文以一道例题来展示运用牛顿运动定律简化质心运动问题求解。
　　例题 一根长为L,质量均匀的软绳,挂在一半径很小的光滑钉子上,如图1所示。开始时,,试求当时,绳的速率？
　　这道题是典型的质心运动问题,传统解法(见解法一)是先分别求出始末状态的质心坐标,然后运用机械能守恒定律求解绳的速率。
　　解法一 设匀质软绳的质量为m,其线密度为
　　
　　以软绳和小钉为一系统,建立以B点为坐标原点、竖直向下为正方向的一维纵坐标系,则软绳的质心坐标公式可以表示为
　　
　　以光滑钉子为分界,将匀质软绳分为左右两部分。当BC=b时,
　　(1)
　　 (2)
　　绳系的质心为
　　(3)
　　当时,
　　 (4)
　　 (5)
　　绳系的质心为
　　(6)
　　因为整个绳系在运动过程中有机械能守恒,即绳系重力势能增量的负值等于绳系动能的增量。所以有
　　 (7)
　　得
　　
　　绳的速率为
　　(8)
　　即:当时,绳的速率为
　　
　　在该解法中,首先运用了质心公式,分别求出始末状态的绳的质心坐标;然后利用机械能守恒定律,重力势能和动能的相互转化,求得末态绳的速率。本解法思路清晰,属于常规解法。但是步骤繁杂,需要花费大量解题时间,且解题过程中容易出错。
　　解法二 由于可以求出软绳在运动方向上受力,故可运用牛顿运动定律求解此题。
　　设匀质软绳的质量为m,其线密度为
　　
　　牛顿第二定律
　　
　　取一维纵坐标,将数据带入牛顿第二定律,有
　　 (9)
　　得
　　 (10)
　　又因为
　　(11)
　　由公式(9)和公式(10)可得
　　 (12)
　　对公式(11)进行分离变量并积分,有
　　
　　由此求得绳的速率为
　　 (13)
　　对比解法一可以看出,解法二思路清晰,步骤简单,解题过程精练,不仅能够节约解题时间,而且不易出错。由此,可以得到如下结论,遇到质心运动问题,不要急于应用传统解法来求解,因为传统解法往往较为繁琐。如果能通过仔细地分析问题,灵活地运用牛顿运动定律来解决问题,往往可以使问题得到极大的简化。
　　
　　参考文献
　　[1] 程守洙,江之永,普通物理学(第五版),高等教育出版社,1998.