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摘要：“八省联考”数学卷第20题对学生的空间想象能力和符号抽象能力提出了较高的要求，尤其是考查了学生的探索性思维，包括类比转化、抽象建模、整体思考、归纳猜想、演绎证明等。数学探索性思维是左右脑并用的，兼顾直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎、类比与联想等思维方式的。在数学教学（尤其是解题教学）中培养探索性思维，要特别注意：既关注证明，又关注猜想;既关注运算，又关注思考;既关注动脑，又关注动手。
关键词：八省联考;数学卷;曲率问题;探索性思維
一、“八省联考”数学卷第20题及其考情分析
由教育部考试中心统一命制，江苏等八省市高三学生参加的2021年高考模拟演练的数学卷第20题如下：
北京大兴国际机场（如图1）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π，故其总曲率为4π。
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2。证明：这类多面体的总曲率是常数。
（一）试题分析
本题以北京大兴国际机场的建设成就为实际应用背景，引入大学微分几何中的曲率概念，仅考查简单多面体的空间结构（如顶点、棱、面之间的数量关系）和平面多边形的内角和，而不涉及常见的平行、垂直和空间向量等的论证与计算，颇有新意。
本题的第一问研究特殊情况，是铺垫性问题，主要考查学生阅读理解和迁移运用的能力。第二问研究一般情况，有一定的难度，其常规解法如下：
设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F。多面体的总曲率=V×2π-多面体所有面角之和=V×2π-多面体所有面的内角和。
仔细分析常规解法，不难发现，第二问除了考查学生阅读理解和迁移运用的能力，对学生的空间想象能力和符号抽象能力提出了较高的要求，尤其是考查了学生的探索性思维（没有现成的公式、结论可以套用），包括类比转化（如将所有面角之和转化为所有面的内角和、将多边形转化为三角形）、抽象建模（一般化表示顶点数、棱数、面数以及各个面的边数）、整体思考（建立有关量的关系，如所有面的内角和与面数、各个面的边数的关系，总边数与棱数的关系）、归纳猜想（从特殊到一般）、演绎证明（代入消元、计算化简）等，可见其构思精巧。
（二）考情分析
此题江苏全省均分大约1分，而我校在没有讲评的前提下，限时15分钟，让学生再做一次，结果均分也只有2.56分。
分析错因，可以发现：（1）部分学生没有读懂新定义的“曲率”和“总曲率”，没有建立总曲率与各顶点的面角之和总和，即多面体的所有面角之和的关系;（2）部分学生缺乏转化能力（也可能缺乏整体思维），没有理清所有面角之和与所有面的内角和的关系;（3）部分学生缺乏符号抽象能力（也可能缺乏空间想象能力），只研究了棱锥和棱柱这两类符合题意的特殊多面体的总曲率，或者不能适当地表示有关的量;（4）部分学生缺乏整体思维（纠缠于局部），或缺乏由特殊到一般的思维（不能继续利用特殊多面体展开探索），不能建立所有面的内角和与面数、各个面的边数的关系，或不能建立总边数与棱数的关系;（5）部分学生推理和运算能力不过关。归根结底，主要还是探索性思维能力不足。
二、教学启示
教育部考试中心研制的《中国高考评价体系》强调：“高考命题，应有一定数量的探究性问题，适度增加试题的思维量，考查思维方法。”上述试题跳出了常见的知识考点，充分体现了对探索性思维的考查。
徐利治先生认为，数学探索性思维是左右脑并用的，兼顾直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎、类比与联想等思维方式的。因此，在数学教学（尤其是解题教学）中培养探索性思维，要特别注意以下几点：
（一）既关注证明，又关注猜想
左右脑并用的数学探索性思维，往往集中表现为猜想与证明的有机统一。在解题教学中，教师不能就题论题，而要引导学生类比发散、归纳推广，猜想更多的结论，并尝试给出证明，从而既调动学生的积极性，又培养学生思维的灵活性、批判性。
【案例1】 一道数列题的教学片段
（教师出示例1，学生尝试解决。）
师很好！用斜率解题时一定要考虑斜率不存在的情况。思路清晰，运算简洁，通性通法，过程严谨。由此可以看出，选择不同的直线方程会产生不同的运算量。在解题过程中，要学会回顾总结，积累解题经验，才能提高解题能力。
（三）既关注动脑，又关注动手
通常认为，数学是思维的科学，是符号化（抽象）的形式科学。但实际上，数学同时具有科学的实验（观察、操作）特征，也是体验化（具象）的内容科学。从关注单纯的动脑到关注综合的动脑与动手（包括运用其他感官），也是探索性思维的重要特征之一。因此，教师不仅要引导学生动脑思考，还要让学生动手实验，探索解决问题的思路，同时也能提升操作能力和想象能力。
【案例3】 一道立体几何题的教学片段
（教师出示例3。）
例3（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图3、图4），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等。请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图3、图4中，并做简要说明;
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等。请设计一种剪拼方案，用虚线标示在图5中，并做简要说明。
关键词：八省联考;数学卷;曲率问题;探索性思維
一、“八省联考”数学卷第20题及其考情分析
由教育部考试中心统一命制，江苏等八省市高三学生参加的2021年高考模拟演练的数学卷第20题如下：
北京大兴国际机场（如图1）的显著特点之一是各种弯曲空间的运用。刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容。用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为2π-3×π3=π，故其总曲率为4π。
（1）求四棱锥的总曲率;
（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2。证明：这类多面体的总曲率是常数。
（一）试题分析
本题以北京大兴国际机场的建设成就为实际应用背景，引入大学微分几何中的曲率概念，仅考查简单多面体的空间结构（如顶点、棱、面之间的数量关系）和平面多边形的内角和，而不涉及常见的平行、垂直和空间向量等的论证与计算，颇有新意。
本题的第一问研究特殊情况，是铺垫性问题，主要考查学生阅读理解和迁移运用的能力。第二问研究一般情况，有一定的难度，其常规解法如下：
设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F。多面体的总曲率=V×2π-多面体所有面角之和=V×2π-多面体所有面的内角和。
仔细分析常规解法，不难发现，第二问除了考查学生阅读理解和迁移运用的能力，对学生的空间想象能力和符号抽象能力提出了较高的要求，尤其是考查了学生的探索性思维（没有现成的公式、结论可以套用），包括类比转化（如将所有面角之和转化为所有面的内角和、将多边形转化为三角形）、抽象建模（一般化表示顶点数、棱数、面数以及各个面的边数）、整体思考（建立有关量的关系，如所有面的内角和与面数、各个面的边数的关系，总边数与棱数的关系）、归纳猜想（从特殊到一般）、演绎证明（代入消元、计算化简）等，可见其构思精巧。
（二）考情分析
此题江苏全省均分大约1分，而我校在没有讲评的前提下，限时15分钟，让学生再做一次，结果均分也只有2.56分。
分析错因，可以发现：（1）部分学生没有读懂新定义的“曲率”和“总曲率”，没有建立总曲率与各顶点的面角之和总和，即多面体的所有面角之和的关系;（2）部分学生缺乏转化能力（也可能缺乏整体思维），没有理清所有面角之和与所有面的内角和的关系;（3）部分学生缺乏符号抽象能力（也可能缺乏空间想象能力），只研究了棱锥和棱柱这两类符合题意的特殊多面体的总曲率，或者不能适当地表示有关的量;（4）部分学生缺乏整体思维（纠缠于局部），或缺乏由特殊到一般的思维（不能继续利用特殊多面体展开探索），不能建立所有面的内角和与面数、各个面的边数的关系，或不能建立总边数与棱数的关系;（5）部分学生推理和运算能力不过关。归根结底，主要还是探索性思维能力不足。
二、教学启示
教育部考试中心研制的《中国高考评价体系》强调：“高考命题，应有一定数量的探究性问题，适度增加试题的思维量，考查思维方法。”上述试题跳出了常见的知识考点，充分体现了对探索性思维的考查。
徐利治先生认为，数学探索性思维是左右脑并用的，兼顾直观与抽象、直觉与逻辑、归纳与演绎、类比与联想等思维方式的。因此，在数学教学（尤其是解题教学）中培养探索性思维，要特别注意以下几点：
（一）既关注证明，又关注猜想
左右脑并用的数学探索性思维，往往集中表现为猜想与证明的有机统一。在解题教学中，教师不能就题论题，而要引导学生类比发散、归纳推广，猜想更多的结论，并尝试给出证明，从而既调动学生的积极性，又培养学生思维的灵活性、批判性。
【案例1】 一道数列题的教学片段
（教师出示例1，学生尝试解决。）
师很好！用斜率解题时一定要考虑斜率不存在的情况。思路清晰，运算简洁，通性通法，过程严谨。由此可以看出，选择不同的直线方程会产生不同的运算量。在解题过程中，要学会回顾总结，积累解题经验，才能提高解题能力。
（三）既关注动脑，又关注动手
通常认为，数学是思维的科学，是符号化（抽象）的形式科学。但实际上，数学同时具有科学的实验（观察、操作）特征，也是体验化（具象）的内容科学。从关注单纯的动脑到关注综合的动脑与动手（包括运用其他感官），也是探索性思维的重要特征之一。因此，教师不仅要引导学生动脑思考，还要让学生动手实验，探索解决问题的思路，同时也能提升操作能力和想象能力。
【案例3】 一道立体几何题的教学片段
（教师出示例3。）
例3（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图3、图4），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等。请设计一种剪拼方案，分别用虚线标示在图3、图4中，并做简要说明;
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小;
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图5），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与原三角形的面积相等。请设计一种剪拼方案，用虚线标示在图5中，并做简要说明。