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摘 要： 为讨论针对性的捕杀对狂犬病传播的影响，研究了一类具捕杀效应的易感者-潜伏期感染者-已经感染者（SEI）狂犬病模型.通过相应的特征值问题，引入基本再生数，并利用上下解方法建立了平衡点的稳定性.结果表明：有针对性的捕杀对狂犬病的控制和预防起着重要的作用.
关键词： 易感者-潜伏期感染者-已经感染者（SEI）狂犬病模型; 捕杀效应; 基本再生数; 稳定性
中图分类号： O 715.26文献标志码： A文章编号： 1000-5137（2019）02-0113-07
1 具捕杀效应的狂犬病模型
狂犬病是感染中枢神经系统的狂犬病毒所导致的急性传染病，是一种人畜共患病，主要通过撕咬等直接接触传播，多发生于犬、狐狸、狼等动物，人患狂犬病主要由狗传染导致.狂犬病没有有效的治疗手段，一旦到临床阶段，死亡率近100%.因此，狂犬病对人类来说是一大威胁.为了更好地预防和控制狂犬病，人们建立了大量的数学模型来研究狂犬病的传播机理.
MURRAY等[1]研究了一类狐狸间狂犬病空间传播的易感者-潜伏期感染者-已经感染者（SEI）扩散模型
其中，S，E和I分别表示易感狐狸、感染的但没有传染性的狐狸和已感染狂犬病的狐狸的密度，N=S+E+I，是t时刻单位面积上的狐狸总数，D是扩散系数，a是出生率，b是内禀死亡率，K是环境容纳量，β是疾病传播系数，σ是狐狸从感染到传染的转化率，α是患病狐狸的病死率，（a-b）N/K表示食物耗尽导致的狐狸死亡率.假设a>b，以确保可持续的种群规模.
事实上，狂犬病作为动物传染病，主要受环境异质性与栖息地的空間分布影响[2-3]，疾病传播系数、无病平衡点和扩散系数都与空间有关.此外，狂犬病的空间控制行为，如捕杀和接种疫苗[4-5]，导致种群的死亡率和无病平衡点与空间有关.因此，在式（1）的基础上，扩散系数D（x）、疾病传播系数β（x）和患病狐狸的死亡率α（x）也均与空间有关.
人为控制狂犬病的传播通常有捕杀、免疫和捕杀-免疫相结合3种方法.对于野生狐狸，强制免疫需要损耗大量的人力和物力，因而本研究主要考虑针对性地捕杀患病狐狸对狂犬病传播的影响.为了考察捕杀和空间环境异质性在狂犬病传播和预防过程中的影响，研究如下反应扩散问题：
2 基本再生数
在此引入基本再生数R0，并且分析其性质.基本再生数在传染病学上是反映疾病是否蔓延或消退的重要阈值，因而研究基本再生数的性质对理解狂犬病模型的动力学行为有着重要的意义.
易知系统（2）存在无病平衡点（0，0，K）.将系统（2）的前3个方程在（0，0，K）处线性化后得
线性化后的第三个方程与前两个方程不是耦合的，因此只需考虑前两个方程.下面首先考虑如下的特征值问题：
定理结论中1）的单调性证明类似于文献[7]中的推论2.3，结论2）和3）的单调性由R0的表达式直接得到.
3 无病平衡点的稳定性
在讨论无病平衡点的稳定性前先给出问题（2）上下解的定义.
定义1
假设R0<1，则问题（2）的无病平衡点（0，0，K）是局部渐近稳定的.
引理2
问题（5）有一个实的主特征值λ*和正的特征函数.
证明
将问题（5）改写为等价形式
因此，对任意固定的x∈Ω，当t→∞时，E（x，t）和I（x，t）趋向于∞，这与式（10）矛盾.定理证毕.
通过上述结论，可以发现有针对性地捕杀对狂犬病传播控制起着重要的作用.当捕杀力度k较小时，R0>1，由定理2，无病平衡点不稳定，意味着当捕杀力度减弱，狂犬病可能持续.而当捕杀力度k较大时，由定理1，随着时间的推移，感染狐狸E（x，t）和患病狐狸I（x，t）快速消退，且易感狐狸S（x，t）收敛于正稳态解，故可以通过加强捕杀患病狐狸的力度来控制狂犬病的传播.
参考文献：
MURRAY J D，STANLEY E A，BROWN D L.On the spatial spread of rabies among foxes [J].Proceedings of the Royal Society of London：Series B，1986，229：111-150.
REAL L A，CHILDS J E.Spatial-Temporal Dynamics of Rabies in Ecological Communities，in Disease Ecology：Community Structure and Pathogen Dynamics [M].Oxford：Oxford University Press，2006.
SMITH D L，LUCEY B，WALLER L A，et al.Predicting the spatial dynamics of dabies epidemics on heterogeneous landscapes [J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2002，99：3668-3672.
ROSATTE R C，TINLINE R R，JOHNSTON D H.Rabies Control in Wild Carnivores，in Rabies [M].New York：Academic Press，2007.
SHEN W，YI Y.Convergence in almost periodic fisher and kolmogorov models [J].Journal of Mathematical Biology，1998，37：84-102.
ZHAO X Q.Dynamical Systems in Population Biology [M].New York：Springer，2017.
CANTRELL R S，COSNER C.Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations [M].New York：John Wiley & Sons Ltd.，2003.
WANG W，ZHAO X Q.Basic reproduction numbers for reaction-diffusion epidemic models [J].SIAM Journal on Applied Dynamical Systems，2012，11：1652-1673.
（责任编辑：冯珍珍）
关键词： 易感者-潜伏期感染者-已经感染者（SEI）狂犬病模型; 捕杀效应; 基本再生数; 稳定性
中图分类号： O 715.26文献标志码： A文章编号： 1000-5137（2019）02-0113-07
1 具捕杀效应的狂犬病模型
狂犬病是感染中枢神经系统的狂犬病毒所导致的急性传染病，是一种人畜共患病，主要通过撕咬等直接接触传播，多发生于犬、狐狸、狼等动物，人患狂犬病主要由狗传染导致.狂犬病没有有效的治疗手段，一旦到临床阶段，死亡率近100%.因此，狂犬病对人类来说是一大威胁.为了更好地预防和控制狂犬病，人们建立了大量的数学模型来研究狂犬病的传播机理.
MURRAY等[1]研究了一类狐狸间狂犬病空间传播的易感者-潜伏期感染者-已经感染者（SEI）扩散模型
其中，S，E和I分别表示易感狐狸、感染的但没有传染性的狐狸和已感染狂犬病的狐狸的密度，N=S+E+I，是t时刻单位面积上的狐狸总数，D是扩散系数，a是出生率，b是内禀死亡率，K是环境容纳量，β是疾病传播系数，σ是狐狸从感染到传染的转化率，α是患病狐狸的病死率，（a-b）N/K表示食物耗尽导致的狐狸死亡率.假设a>b，以确保可持续的种群规模.
事实上，狂犬病作为动物传染病，主要受环境异质性与栖息地的空間分布影响[2-3]，疾病传播系数、无病平衡点和扩散系数都与空间有关.此外，狂犬病的空间控制行为，如捕杀和接种疫苗[4-5]，导致种群的死亡率和无病平衡点与空间有关.因此，在式（1）的基础上，扩散系数D（x）、疾病传播系数β（x）和患病狐狸的死亡率α（x）也均与空间有关.
人为控制狂犬病的传播通常有捕杀、免疫和捕杀-免疫相结合3种方法.对于野生狐狸，强制免疫需要损耗大量的人力和物力，因而本研究主要考虑针对性地捕杀患病狐狸对狂犬病传播的影响.为了考察捕杀和空间环境异质性在狂犬病传播和预防过程中的影响，研究如下反应扩散问题：
2 基本再生数
在此引入基本再生数R0，并且分析其性质.基本再生数在传染病学上是反映疾病是否蔓延或消退的重要阈值，因而研究基本再生数的性质对理解狂犬病模型的动力学行为有着重要的意义.
易知系统（2）存在无病平衡点（0，0，K）.将系统（2）的前3个方程在（0，0，K）处线性化后得
线性化后的第三个方程与前两个方程不是耦合的，因此只需考虑前两个方程.下面首先考虑如下的特征值问题：
定理结论中1）的单调性证明类似于文献[7]中的推论2.3，结论2）和3）的单调性由R0的表达式直接得到.
3 无病平衡点的稳定性
在讨论无病平衡点的稳定性前先给出问题（2）上下解的定义.
定义1
假设R0<1，则问题（2）的无病平衡点（0，0，K）是局部渐近稳定的.
引理2
问题（5）有一个实的主特征值λ*和正的特征函数.
证明
将问题（5）改写为等价形式
因此，对任意固定的x∈Ω，当t→∞时，E（x，t）和I（x，t）趋向于∞，这与式（10）矛盾.定理证毕.
通过上述结论，可以发现有针对性地捕杀对狂犬病传播控制起着重要的作用.当捕杀力度k较小时，R0>1，由定理2，无病平衡点不稳定，意味着当捕杀力度减弱，狂犬病可能持续.而当捕杀力度k较大时，由定理1，随着时间的推移，感染狐狸E（x，t）和患病狐狸I（x，t）快速消退，且易感狐狸S（x，t）收敛于正稳态解，故可以通过加强捕杀患病狐狸的力度来控制狂犬病的传播.
参考文献：
MURRAY J D，STANLEY E A，BROWN D L.On the spatial spread of rabies among foxes [J].Proceedings of the Royal Society of London：Series B，1986，229：111-150.
REAL L A，CHILDS J E.Spatial-Temporal Dynamics of Rabies in Ecological Communities，in Disease Ecology：Community Structure and Pathogen Dynamics [M].Oxford：Oxford University Press，2006.
SMITH D L，LUCEY B，WALLER L A，et al.Predicting the spatial dynamics of dabies epidemics on heterogeneous landscapes [J].Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，2002，99：3668-3672.
ROSATTE R C，TINLINE R R，JOHNSTON D H.Rabies Control in Wild Carnivores，in Rabies [M].New York：Academic Press，2007.
SHEN W，YI Y.Convergence in almost periodic fisher and kolmogorov models [J].Journal of Mathematical Biology，1998，37：84-102.
ZHAO X Q.Dynamical Systems in Population Biology [M].New York：Springer，2017.
CANTRELL R S，COSNER C.Spatial Ecology via Reaction-Diffusion Equations [M].New York：John Wiley & Sons Ltd.，2003.
WANG W，ZHAO X Q.Basic reproduction numbers for reaction-diffusion epidemic models [J].SIAM Journal on Applied Dynamical Systems，2012，11：1652-1673.
（责任编辑：冯珍珍）