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摘要 本文分析了当前偏微分方程数值解课程教学存在的一些问题，结合多年的本科生和研究生的教学实践，给出了偏微分方程数值解课程教学改革的具体措施，总结了改革的效果。
关键词 偏微分方程数值解；数值实验；数学教学
中图分类号 G420；O241.8 文献标识 C
1. 引言
科学计算在自然科学、技术科学和工程科学等各个领域中起着越来越重要的作用，成为很多领域中不可缺少的工具。在自然科学和实际工程问题中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，如渗流问题中的非局部反应流，流体中的反射性元素衰减等问题。要通过偏微分方程模型来研究这些问题，就需要求解偏微分方程，但是绝大多数偏微分方程很难得到其解析形式的解，这就产生了理论和应用的矛盾。随着科学技术的飞速发展，计算机得以广泛应用且计算速度和软硬件日新月异。以计算机为基础的一门学科——偏微分方程数值解法，得到了前所未有的发展和应用，并成为了解决上述矛盾的一个重要工具。因此，不仅数学工作者要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，其它理工科专业的科技工作者也迫切需要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，以便结合自身专业开展与科学工程计算相关的研究工作。
偏微分方程数值解课程是科学与工程计算领域的重要课程，国内外各大学均已普遍开设。开设这门课程对提高研究生的科学创新能力和科学计算能力有着十分重要的意义，有利于培养和提高工科研究生的综合素质和应用数学方法从事创造性研究工作的能力。
在我校，偏微分方程数值解課程教学已具有扎实的基础，拥有教学经验丰富的教师队伍，数学系也为本课程提供了计算机实验室，并配有专门的实验课指导
教师，这就为偏微分方程数值解课程教学改革方案的实施提供了有利的条件。
但是仅有硬件设施还远远不够，为了提高教学质量，激发学生学习兴趣，我们又提出了一系列的教改措施，经过两年的实践，我们觉得改革方案是成功的。以下就课程的教学改革，谈谈我们的一些思考和尝试。
2. 对《微分方程数值解法》课程教学的探索和做法
（一）、教材、教辅书籍的选择
偏微分方程数值解的教材有很多，但并不是所有教材都是利用学生学习和掌握偏微分方程数值解理论的，有的教材在推导公式时使用的语言晦涩，公式抽象，学生难于理解。我们授课选择了吉林大学李荣华编写的《偏微分方程数值解法》，其内容体现了由浅入深、循序渐进的原则；叙述表达严谨精练、清晰易读，便于教学与学生自学，且教材中充分反映了偏微分方程数值解法理论的核心内容。同时又给学生推荐了清华大学陆金甫编写的《偏微分方程数值解》作为教辅，之所以选择这本书作为教辅是因为每章后面都配置了相当数量的习题，便于学生复习、巩固、理解和拓广所学的知识。
（二）、教学方法的改革
偏微分方程数值解课程需要以数值分析课程的主要内容为基础，但我们学校除了数学系、信息学院和软件学院的学生在本科阶段就已经学习了数值分析课程外，其他专业都是将数值分析课程作为研究生阶段的必修课程，所以我们向研究生院申请在排课时将偏微分方程数值解课程安排在数值分析课程开课八周之后，使学生具备一定的基础之后再来学习偏微分方程数值解得课程。
在讲授偏微分方程数值解这门课程时，我们并没有迎合学生一贯的思维模式，只是侧重于数学理论的讲解，也没有大量介绍具体应用，这是由于学生缺乏相关背景知识，会使学生感到迷茫，而是将理论讲述和应用介绍有机地进行了结合：理论介绍深入浅出，言简意赅。与此同时又把某些算法与实际问题联系起来，使学生在学习中产生兴趣。例如在讲椭圆型偏微分方程时介绍稳定渗流问题；在讲双曲型偏微分方程时介绍石油钻杆在钻井过程中振动问题等等。
（三）、教学手段的改革，制作多媒体课件辅助教学
从以往的教学经验来看，偏微分方程数值解的教学存在诸多问题，诸如课时少、内容多、授课一直以板书为主、教学手段比较单一。 而偏微分方程数值解涉及很多数学推导，如果单纯采取板书，那么会浪费很多时间，造成学生学到的知识点很少；如果完全依赖于多媒体教学，就会使学生感到单调枯燥，甚至根本学不会。于是我们将多媒体教学与板书推导合理地进行了结合，将椭圆方程、抛物方程、双曲方程的差分法以及各种算法的稳定性、收敛性和相容性都制作成电子教案，这样既避免了教学方式的单一， 又节省了时间，使学生在短暂的时间里学到更多的知识。与此同时，又将教学大纲、习题、实验指导以及多媒体课件提供给学生，更好地便于学生理解和学习。
（四）、增加实践教学环节， 理论联系实际
以往偏微分方程数值解课程只重视学生是否掌握理论求解，而不重视上机实践，这就等于纸上谈兵。因此我们在讲授每种方法时，首先要求学生熟悉每种格式的推导，重点了解如何用数值积分或数值微分的方法推导连续方程的离散格式，培养学生将连续问题离散化的能力。另外，我们还会给学生安排一些上机实践题目，让学生把所学的算法程序化，从而达到培养学生逻辑思维能力的目的，提高学生应对问题、解决问题的动手能力，并要求学生尽可能结合专业背景来处理边值条件。通过这种方式的培养，学生的算法分析与设计能力得到大大提高，为将来利用所学方法解决实际课题打下坚实的基础。
（五）、考试方式的改革
以往《偏微分方程数值解》课程的考试方式是闭卷笔试，这就会使学生只是在背诵理论和习题，而不能真正掌握相关的理论知识和方法，且学生的上机编程计算能力在试卷上得不到体现。针对这一现象，我们大胆实施了考试方式的改革，将理论知识掌握情况的考查设计为开卷方式，其中也可能会涉及编写程序的内容，这样可以使得考试的题目更具有开放性，便于学生自主学习，笔试占总成绩的百分之七十。另外在期末会在平时的上机实习作业中选择一题，让学生写成实验报告上交，这部分将占总成绩的百分之三十。
这样，考试方法的改革改变了一张试卷定分数的格局，既调动了学生学习的主动性和积极性，同时又给学生提供充分发挥自己个人能力的机会。
3. 结语
对于工科院校的研究生来说，《偏微分方程数值解》课程的学习，既要拥有扎实的理论基础，又要具有分析和解决实际工程中的问题能力。具体到教学，作为教师的我们，就应当即要重视课堂数学理论的教学，又要注意对学生解决实际工程问题的引导和培养，结合学生专业的特点来确定培养目标从而提高学生分析问题和解决问题的能力。经过两年的教改立项的实施，我们发现提出的教改方案切实可行，事半功倍。
4. 参考文献
[1] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京： 高等教育出版社，2010.
[2] 張铁，阎家斌. 数值分析[M]. 北京： 冶金工业出版社，2010.
Abstract. In this paper， some problems in the current numerical solution of partial differential equations teaching were analyzed. Combined with many years teaching practice of undergraduate and graduate， we gave the specific measures of numerical solution of partial differential equations teaching reform， and summed up the effect of the reform.
Keywords. Numerical solution of partial differential equations， numerical experiments， mathematics teaching
关键词 偏微分方程数值解；数值实验；数学教学
中图分类号 G420；O241.8 文献标识 C
1. 引言
科学计算在自然科学、技术科学和工程科学等各个领域中起着越来越重要的作用，成为很多领域中不可缺少的工具。在自然科学和实际工程问题中的大量数学模型都可以用偏微分方程来描述，如渗流问题中的非局部反应流，流体中的反射性元素衰减等问题。要通过偏微分方程模型来研究这些问题，就需要求解偏微分方程，但是绝大多数偏微分方程很难得到其解析形式的解，这就产生了理论和应用的矛盾。随着科学技术的飞速发展，计算机得以广泛应用且计算速度和软硬件日新月异。以计算机为基础的一门学科——偏微分方程数值解法，得到了前所未有的发展和应用，并成为了解决上述矛盾的一个重要工具。因此，不仅数学工作者要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，其它理工科专业的科技工作者也迫切需要学习和掌握偏微分方程数值解的知识，以便结合自身专业开展与科学工程计算相关的研究工作。
偏微分方程数值解课程是科学与工程计算领域的重要课程，国内外各大学均已普遍开设。开设这门课程对提高研究生的科学创新能力和科学计算能力有着十分重要的意义，有利于培养和提高工科研究生的综合素质和应用数学方法从事创造性研究工作的能力。
在我校，偏微分方程数值解課程教学已具有扎实的基础，拥有教学经验丰富的教师队伍，数学系也为本课程提供了计算机实验室，并配有专门的实验课指导
教师，这就为偏微分方程数值解课程教学改革方案的实施提供了有利的条件。
但是仅有硬件设施还远远不够，为了提高教学质量，激发学生学习兴趣，我们又提出了一系列的教改措施，经过两年的实践，我们觉得改革方案是成功的。以下就课程的教学改革，谈谈我们的一些思考和尝试。
2. 对《微分方程数值解法》课程教学的探索和做法
（一）、教材、教辅书籍的选择
偏微分方程数值解的教材有很多，但并不是所有教材都是利用学生学习和掌握偏微分方程数值解理论的，有的教材在推导公式时使用的语言晦涩，公式抽象，学生难于理解。我们授课选择了吉林大学李荣华编写的《偏微分方程数值解法》，其内容体现了由浅入深、循序渐进的原则；叙述表达严谨精练、清晰易读，便于教学与学生自学，且教材中充分反映了偏微分方程数值解法理论的核心内容。同时又给学生推荐了清华大学陆金甫编写的《偏微分方程数值解》作为教辅，之所以选择这本书作为教辅是因为每章后面都配置了相当数量的习题，便于学生复习、巩固、理解和拓广所学的知识。
（二）、教学方法的改革
偏微分方程数值解课程需要以数值分析课程的主要内容为基础，但我们学校除了数学系、信息学院和软件学院的学生在本科阶段就已经学习了数值分析课程外，其他专业都是将数值分析课程作为研究生阶段的必修课程，所以我们向研究生院申请在排课时将偏微分方程数值解课程安排在数值分析课程开课八周之后，使学生具备一定的基础之后再来学习偏微分方程数值解得课程。
在讲授偏微分方程数值解这门课程时，我们并没有迎合学生一贯的思维模式，只是侧重于数学理论的讲解，也没有大量介绍具体应用，这是由于学生缺乏相关背景知识，会使学生感到迷茫，而是将理论讲述和应用介绍有机地进行了结合：理论介绍深入浅出，言简意赅。与此同时又把某些算法与实际问题联系起来，使学生在学习中产生兴趣。例如在讲椭圆型偏微分方程时介绍稳定渗流问题；在讲双曲型偏微分方程时介绍石油钻杆在钻井过程中振动问题等等。
（三）、教学手段的改革，制作多媒体课件辅助教学
从以往的教学经验来看，偏微分方程数值解的教学存在诸多问题，诸如课时少、内容多、授课一直以板书为主、教学手段比较单一。 而偏微分方程数值解涉及很多数学推导，如果单纯采取板书，那么会浪费很多时间，造成学生学到的知识点很少；如果完全依赖于多媒体教学，就会使学生感到单调枯燥，甚至根本学不会。于是我们将多媒体教学与板书推导合理地进行了结合，将椭圆方程、抛物方程、双曲方程的差分法以及各种算法的稳定性、收敛性和相容性都制作成电子教案，这样既避免了教学方式的单一， 又节省了时间，使学生在短暂的时间里学到更多的知识。与此同时，又将教学大纲、习题、实验指导以及多媒体课件提供给学生，更好地便于学生理解和学习。
（四）、增加实践教学环节， 理论联系实际
以往偏微分方程数值解课程只重视学生是否掌握理论求解，而不重视上机实践，这就等于纸上谈兵。因此我们在讲授每种方法时，首先要求学生熟悉每种格式的推导，重点了解如何用数值积分或数值微分的方法推导连续方程的离散格式，培养学生将连续问题离散化的能力。另外，我们还会给学生安排一些上机实践题目，让学生把所学的算法程序化，从而达到培养学生逻辑思维能力的目的，提高学生应对问题、解决问题的动手能力，并要求学生尽可能结合专业背景来处理边值条件。通过这种方式的培养，学生的算法分析与设计能力得到大大提高，为将来利用所学方法解决实际课题打下坚实的基础。
（五）、考试方式的改革
以往《偏微分方程数值解》课程的考试方式是闭卷笔试，这就会使学生只是在背诵理论和习题，而不能真正掌握相关的理论知识和方法，且学生的上机编程计算能力在试卷上得不到体现。针对这一现象，我们大胆实施了考试方式的改革，将理论知识掌握情况的考查设计为开卷方式，其中也可能会涉及编写程序的内容，这样可以使得考试的题目更具有开放性，便于学生自主学习，笔试占总成绩的百分之七十。另外在期末会在平时的上机实习作业中选择一题，让学生写成实验报告上交，这部分将占总成绩的百分之三十。
这样，考试方法的改革改变了一张试卷定分数的格局，既调动了学生学习的主动性和积极性，同时又给学生提供充分发挥自己个人能力的机会。
3. 结语
对于工科院校的研究生来说，《偏微分方程数值解》课程的学习，既要拥有扎实的理论基础，又要具有分析和解决实际工程中的问题能力。具体到教学，作为教师的我们，就应当即要重视课堂数学理论的教学，又要注意对学生解决实际工程问题的引导和培养，结合学生专业的特点来确定培养目标从而提高学生分析问题和解决问题的能力。经过两年的教改立项的实施，我们发现提出的教改方案切实可行，事半功倍。
4. 参考文献
[1] 李荣华. 偏微分方程数值解法[M]. 北京： 高等教育出版社，2010.
[2] 張铁，阎家斌. 数值分析[M]. 北京： 冶金工业出版社，2010.
Abstract. In this paper， some problems in the current numerical solution of partial differential equations teaching were analyzed. Combined with many years teaching practice of undergraduate and graduate， we gave the specific measures of numerical solution of partial differential equations teaching reform， and summed up the effect of the reform.
Keywords. Numerical solution of partial differential equations， numerical experiments， mathematics teaching