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【摘要】数学教学的目的除了内容和方法之外，数学思想也非常重要，微积分的教学要贯穿从有限到无限再到有限，由曲线到直线再到曲线，由变到不变再到变的思想和方法，才能使学生更好地理解教学内容.
【关键词】数学；思想；方法；辩证关系
矛盾之间的关系是认识事物运动和发展的前提条件.数学作为认识自然界运动和发展的有效工具之一，其对事物内部矛盾及其相互之间的关系的描述、理解和解决有自身的途径和方法.如何用数学的思想和方法来认识事物内部的矛盾，如变与不变的矛盾、均匀的变与非均匀的变的矛盾、有限与无限的矛盾、直线与曲线的矛盾等，并用数学语言对其进行描述，引导学生用辩证法的观点去分析、思考和解决问题，是教学目的能否达到的关键.本文就微积分教学中的这一问题谈点看法.
一、极限论中的辩证关系
1.变与不变
变与不变是微积分中的一对基本矛盾，对变量和常量的研究是高等数学与初等数学的区别之一.变量是变化着的量，但并非变化不停，在其变化过程中的一定阶段上具有相对稳定性，因此，在一定条件下变量可以用常量代替，作常量处理.只有在变化过程的相对稳定阶段才能认识变量的变化过程.当物体处于相对静止时才能去研究其运动规律.否则就会出现“人永远也不可能踏入同一条河流”的窘境.在数列极限的概念中也有变与不变的问题，其中有两个变量ξ和N，只有当ξ相对确定后，才能认识和理解N的作用和意义，这就是变与不变的思想.
2.有限与无限
有限包含无限这一辩证思想，在数学中比比皆是，如中学数学中三角形三个内角的和等于180°、过两点可以确定一条直线等都含有无限，但在中学数学中不作为重点加以强调，在微积分的教学要将其作为教学的重要内容来对待.首先，在极限定义中也有有限和无限的关系，就概念的描述而言，数列极限的定义，描述变量xn与a无限接近是两者之间的距离可以任意小（用ξ＞0表示），并且存在数列的某一项N（有限），使得从该项以后（当n＞N）数列的所有项（无限）都落入以a为中心以ξ为半径的小区间（有限）内.这是有限包含了无限.通过描述变量无限变化的过程和结果，深刻反映了有限和无限的辩证关系.
其次，无穷小量的概念中也有有限和无限的思想.无穷小量是极限为零的变量.一方面它是一个处在不断变化过程中的变量，其变化是无限的；另一方面它又有确定的趋于零的结果，是有限的.作为过程无穷小量表现了从有限向无限的发展；作为结果无穷小量表现了从无限向有限的转化，是有限与无限的统一.只看过程就会得出极限是一种近似，只看结果就会得出无穷小量就是零的错误结论.
二、微分学中的辩证关系
导数是微分学的一个重要概念，是微分学的主要工具，它来源于物理学中的瞬时速度和几何中曲线的切线斜率.在物理学中，瞬时速度随时间的变化而变化，但在某一时刻瞬时速度又是确定的；同样在几何中随着曲线上点的变化，过该点的切线斜率也在发生变化，但在某个确定的点其切线的斜率有一个确定的值.这反映了变（曲）和不变（直）的矛盾转化.在初等几何中，直线和曲线是绝对对立的，直线完全不能用曲线表现，曲线也完全不能用直线表现，两者是不能通约的.但在微积分中，直线和曲线终于等同起来了，在以弧的微分（如果用切线法）构成自己的斜边的微分三角形中，可以把这个斜边看作“既是弧的要素又是直线的要素的一小条直线”——不管我们把曲线看作由无限多的直线所构成，还是“看作真正的曲线；因为在每一点上曲度既然是无限的小，所以曲线要素和切线要素的最后关系显然是相等的关系”.充分反映了以直线代替曲线的思想.另外，罗比塔法则求极限、牛顿切线法解方程、微分近似计算都体现了以直代曲思想.当学生学会用这一思想来分析问题、解决问题时，教学的目的也就达到了.
当我们用导数来表示瞬时速度和切线斜率时，分别等于平均速度和割线斜率的极限.这反映了均匀变化和非均匀变化的矛盾转化.均匀变化和非均匀变化还体现在函数的连续与间断上，即函数图像的渐变和突变.
另一个重要概念是微分，同样体现了以直代曲的思想，微分是对常量的否定，当自变量x产生一个增量Δx时，且Δx变化很小时，函数的微分dy=dx是增量Δx的一次函数，而不是常数.另外，微分是对有限的否定，它是一个表示无穷小量的一个独特的变量，作为一种极限它突破了有限进入了无限.它是函数改变量的一次近似，可以用一次函数代替可导函数.就几何意义而言，可以用切线来代替曲线，通过直线来认识曲线.
这里都遵循着“有限——无限——有限”“曲——直——曲”“变——不变——变”的规律.数学这门科学是按唯物辩证法所揭示的规律发展起来的，它所反映的数量关系和空间形式关系都充满着矛盾，常量与变量、有限与无限、直线与曲线、微分与积分之间的关系都是对立统一的关系.许多学生由于对这些关系认识不够、理解不透，思维还局限于中学数学的思维模式中，因而总觉得微积分难学，有畏难情绪甚至厌学.所以，在教学中应把这些思想、规律作为教学的重点之一，引导学生遵循这一规律，逐渐认识、理解极限、导数和定积分等概念中的辩证关系，实现从感性认识到理性认识的飞跃，为后续课程的学习打下坚实的基础.
【参考文献】
恩格斯.自然辩证法.北京：人民出版社，1971：242.
【关键词】数学；思想；方法；辩证关系
矛盾之间的关系是认识事物运动和发展的前提条件.数学作为认识自然界运动和发展的有效工具之一，其对事物内部矛盾及其相互之间的关系的描述、理解和解决有自身的途径和方法.如何用数学的思想和方法来认识事物内部的矛盾，如变与不变的矛盾、均匀的变与非均匀的变的矛盾、有限与无限的矛盾、直线与曲线的矛盾等，并用数学语言对其进行描述，引导学生用辩证法的观点去分析、思考和解决问题，是教学目的能否达到的关键.本文就微积分教学中的这一问题谈点看法.
一、极限论中的辩证关系
1.变与不变
变与不变是微积分中的一对基本矛盾，对变量和常量的研究是高等数学与初等数学的区别之一.变量是变化着的量，但并非变化不停，在其变化过程中的一定阶段上具有相对稳定性，因此，在一定条件下变量可以用常量代替，作常量处理.只有在变化过程的相对稳定阶段才能认识变量的变化过程.当物体处于相对静止时才能去研究其运动规律.否则就会出现“人永远也不可能踏入同一条河流”的窘境.在数列极限的概念中也有变与不变的问题，其中有两个变量ξ和N，只有当ξ相对确定后，才能认识和理解N的作用和意义，这就是变与不变的思想.
2.有限与无限
有限包含无限这一辩证思想，在数学中比比皆是，如中学数学中三角形三个内角的和等于180°、过两点可以确定一条直线等都含有无限，但在中学数学中不作为重点加以强调，在微积分的教学要将其作为教学的重要内容来对待.首先，在极限定义中也有有限和无限的关系，就概念的描述而言，数列极限的定义，描述变量xn与a无限接近是两者之间的距离可以任意小（用ξ＞0表示），并且存在数列的某一项N（有限），使得从该项以后（当n＞N）数列的所有项（无限）都落入以a为中心以ξ为半径的小区间（有限）内.这是有限包含了无限.通过描述变量无限变化的过程和结果，深刻反映了有限和无限的辩证关系.
其次，无穷小量的概念中也有有限和无限的思想.无穷小量是极限为零的变量.一方面它是一个处在不断变化过程中的变量，其变化是无限的；另一方面它又有确定的趋于零的结果，是有限的.作为过程无穷小量表现了从有限向无限的发展；作为结果无穷小量表现了从无限向有限的转化，是有限与无限的统一.只看过程就会得出极限是一种近似，只看结果就会得出无穷小量就是零的错误结论.
二、微分学中的辩证关系
导数是微分学的一个重要概念，是微分学的主要工具，它来源于物理学中的瞬时速度和几何中曲线的切线斜率.在物理学中，瞬时速度随时间的变化而变化，但在某一时刻瞬时速度又是确定的；同样在几何中随着曲线上点的变化，过该点的切线斜率也在发生变化，但在某个确定的点其切线的斜率有一个确定的值.这反映了变（曲）和不变（直）的矛盾转化.在初等几何中，直线和曲线是绝对对立的，直线完全不能用曲线表现，曲线也完全不能用直线表现，两者是不能通约的.但在微积分中，直线和曲线终于等同起来了，在以弧的微分（如果用切线法）构成自己的斜边的微分三角形中，可以把这个斜边看作“既是弧的要素又是直线的要素的一小条直线”——不管我们把曲线看作由无限多的直线所构成，还是“看作真正的曲线；因为在每一点上曲度既然是无限的小，所以曲线要素和切线要素的最后关系显然是相等的关系”.充分反映了以直线代替曲线的思想.另外，罗比塔法则求极限、牛顿切线法解方程、微分近似计算都体现了以直代曲思想.当学生学会用这一思想来分析问题、解决问题时，教学的目的也就达到了.
当我们用导数来表示瞬时速度和切线斜率时，分别等于平均速度和割线斜率的极限.这反映了均匀变化和非均匀变化的矛盾转化.均匀变化和非均匀变化还体现在函数的连续与间断上，即函数图像的渐变和突变.
另一个重要概念是微分，同样体现了以直代曲的思想，微分是对常量的否定，当自变量x产生一个增量Δx时，且Δx变化很小时，函数的微分dy=dx是增量Δx的一次函数，而不是常数.另外，微分是对有限的否定，它是一个表示无穷小量的一个独特的变量，作为一种极限它突破了有限进入了无限.它是函数改变量的一次近似，可以用一次函数代替可导函数.就几何意义而言，可以用切线来代替曲线，通过直线来认识曲线.
这里都遵循着“有限——无限——有限”“曲——直——曲”“变——不变——变”的规律.数学这门科学是按唯物辩证法所揭示的规律发展起来的，它所反映的数量关系和空间形式关系都充满着矛盾，常量与变量、有限与无限、直线与曲线、微分与积分之间的关系都是对立统一的关系.许多学生由于对这些关系认识不够、理解不透，思维还局限于中学数学的思维模式中，因而总觉得微积分难学，有畏难情绪甚至厌学.所以，在教学中应把这些思想、规律作为教学的重点之一，引导学生遵循这一规律，逐渐认识、理解极限、导数和定积分等概念中的辩证关系，实现从感性认识到理性认识的飞跃，为后续课程的学习打下坚实的基础.
【参考文献】
恩格斯.自然辩证法.北京：人民出版社，1971：242.