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【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）02-0127-02
一、案例背景
时下以“学为中心”的数学课堂造就了许多教师的教学仅仅停留在对学生知识是否掌握中，偏离了教学的终极目标。教学的最终目的在于学生形成学习能力，质疑能力、自学能力、分析判断能力、综合概括能力、归纳与整理能力等。当然掌握知识固然重要，但培养学生的数学思维才应是数学课堂的重点和首要任务。数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式，即要求学生领悟思考问题的角度和方法、解决问题的途径和方式，培养学生勤于思考勇于探究的精神等。“数学是思维的体操”，数学课堂理应是有高度思维的课堂，既要在“从做中学”，又要在“做”中思维的课堂。四年来我校以培养“高学习力、高创造力和高表达力”的人才为目标，遵循五个操作环节，即激活旧知-问题驱动-自主发现-自主建构-学以致用，认真组织实施“思维课堂”的探索与实践。事实证明学生的学习已从被动学习逐渐走向主动学习，教师的课堂教学能力明显得以提高，学校也取得了前所未有的教育效益。今以一案例為例谈谈学生数学思维的培养，以飨读者。
二、教学分析
1.教材分析
利用轴对称性求最小值问题是近十年来中考数学中的热门话题，而且题目常换常新，学生会感到比较棘手，甚至会无从下手。因此利用轴对称性求最小值问题成为我们中考复习的重点。如何使学生在有限的复习时间内更高效地掌握此类问题呢？数学题千变万化，但万变不离其宗。只要我们能抓住问题的本质特征渗透转化思想，把原型问题进行迁移，然后进行归类、拓展与延伸，就能帮助学生举一反三，触类旁通，最终使学生能够从点的掌握扩展到面的掌握，对培养学生的探究性思维具有重要的作用。
2.学情分析
本节课是在九年级专题复习中进行。学生已经对初中数学有相对系统的学习和认知，如对直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线、轴对称等图形性质的认识，但遇到新的问题情境时，往往找不到解决问题的切入口，探索不出解决问题的有效途经。原因是学生的知识连贯性不紧凑、知识整合能力不强、知识的拓展与延伸尚有待于提高。
3.教学目标
（1）明确平移和轴对称变换的性质及作法；
（2）会根据“两点之间线段最短”、“垂线段最短”求线段和的最小值问题，渗透转化思想。
二、案例描述
1.问题提出，复习回顾
问题1：同学们，我们学过轴对称和平移的知识有那些？
问题2：那么轴对称和平移在中考有怎样的具体要求呢？（教师用多媒体展示中考实施细则中对“轴对称”、“平移”内容的考试要求）。
设计意图：学生通过回顾轴对称和平移的相关知识，明确中考中对轴对称和平移知识的具体要求，为本节复习课作好铺垫。
（2）回归课本，展示原型
教师用多媒体展示课本中与“将军饮马”问题的有关例习题，唤醒学生的记忆。
出示问题3：
①如图1，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
②如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
③如图，点P为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使PA+AB+PB最小。
设计意图：从“将军饮马问题”导出“两点之间线段最短”，继而将两个异侧的定点和一个动点问题变式为两个同侧的定点和一个动点问题，体现了转化思想。问题3又变式为一个定点和两个动点问题，由原来的单对称演变为双对称，其思路是化折为直（在同一条直线上），方法是过定点作动点所在直线的对称点。
（3）练习反馈，学以致用
①如图4，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为_________.
②如图5，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.
③如图6，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小。
④如图7，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，则BP+PE的最小值是______.
2.回归问题，探索发现
（1）原题新变，承上启下
问题4：如图7，如果点E是AB上的动点，在AD上找一点P，则BP+PE的最小值是多少？
问题5：如果点E是任意一点呢？（抽象图形、分类讨论、建立模型：一个定点两个动点）。
设计意图：“学起于思，思源于疑”。通过原题新变，精心设“疑”，学生看似与问题③同属一类，即一个定点和两个动点问题，但仅仅是形似而神不似，它需要借助“垂线段最短”来解决此类问题，其思路还是当这几个点在同一条直线上时最短。这样加强了学生的思维活动，对培养学生求知探索能力具有重要价值。
（2）一波刚平，异军突起
问题6：“将军饮马”问题中，我们忽略了河的宽度，也就是把河抽象成一条线，而现实生活中河是有宽度的，课本中有这类型的问题吗（多媒体展示课本原型）？
问题7：你能画吗？说说你的理由？
师生小结、归纳：通过平移和轴对称变换把两个定点两个动点型问题转化为两个定点一个动点型问题，可简要概况为“同向平移，反向找点”。
设计意图：这是一个综合性的问题，它涉及平移和轴对称两种变换，对于说理学生更难，一般的学生难以招架得住，为突破难点，一方面让学生讲题，另一方面教师通过多媒体展示平移的动画过程，让学生理解其中蕴含的作图原理，并熟悉作图步骤，以便能触类旁通，拓宽学生的思维维度，提高学生的解题能力。 （3）再度反馈，领悟精髓
⑤如图11，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是______.
⑥如图12，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，则PC+PE的最小值是______.
⑦如图13，已知抛物线y=（x+1）（x-3）与坐标轴交于A、B、C三点
（1）P是对称轴上一点，当AP+PB的值最小时，求点P的坐标；
（2）P、Q是对称轴的两个动点，P在Q的上方，且PQ=1，求四边形ABQP周长的最小值。
3.归纳总结，自主领悟
附：板书设计
利用轴对称性求最小值问题：转化思想
三、案例分析
第一，激活旧知。复习课就是对学过的知识进行再巩固，以提高知识综合灵活运用的能力。如果复习课没有新鲜感，会导致学生对复习课没有一点热情，缺乏主动参与的积极性，没有主动性的课堂当然就是低效的。本节课教师首先让学生明确中考实施细则中对“轴对称”、“平移”内容的考试要求和利用轴对称性求最小值问题的重要性，同时借助多媒体展示课本中与“将军饮马”问题的有关例习题，对同类问题进行整合、拓展与延伸，唤醒学生的记忆，以变化激活思维，为后续的探索巩固旧知埋下伏笔。
第二，问题驱动。人们常说问题是思维的发动机，发现问题是思维的起点；解决问题是思维的归宿。而发现问题比解决问题更重要、更有价值。“学起于思，思源于疑”，“学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进”。如何让内容问题化，问题思维化？整节课老师通过不失时机地设“疑”、激“疑”，抛出“疑线”，引发学生认知冲突，进而拨动其思维之弦，促使学生产生强烈的期待心理，很快调动学生学习的积极性，能更深入地唤起学生探究欲望，对培养学生思维的深刻性和创造性具有强大的力量。
第三，自主发现。通过课本几个原型的整合，使学生自主发现知识间、题型间的联系和区别，形成有序的块状联系，建立思维模式，提升思维品质，多角度有深度地思考。让复习浅入深出，对提高学生的复习效率有极大的帮助。
第四，自主建构。布鲁纳特别强调内部联系和内部规律。学习结构就是学习事物是怎样相互联系的，他认为这些就是学科的课程中心，也就是教学中心。只要掌握了事物的结构，任何东西都可以有意义的和它联系起来，从而更有意义的掌握它。总之，结构掌握了，学生的思维才能深，认识事物才能准，才有可能获得“一眼看穿的能力”，涉猎广泛了，思维才能开阔，思维才能灵活。本节课最大的亮点是渗透数学的转化思想，把原来类似或近似的问题联系在一起，形成一个体系，从而构建起思维的码头，极大地提高学生的思维含量。
第五，学以致用。本节课老师能引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练。变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。它既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时就不会不知所措，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。
總之笔者认为，课堂教学中学生积极的思维活动是保证课堂教学高效进行的重要前提。作为教师要明确每一节数学课需要解决的问题，尤其复习课，解决的问题内容需要集中、整合、有序、有趣、有效，这样才能让学生清晰解决问题的思考方向。同时数学课堂教学中进行充分有效地思维训练，它不仅符合新课改的要求，也符合知识的形成与发展以及学生的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。
作者简介：
姜志根，男，1971年12月出生，汉族，浙江、江山，本科，中学高级，杭州师范大学东城中学课程部主任，研究方向：初中数学教育教学。
一、案例背景
时下以“学为中心”的数学课堂造就了许多教师的教学仅仅停留在对学生知识是否掌握中，偏离了教学的终极目标。教学的最终目的在于学生形成学习能力，质疑能力、自学能力、分析判断能力、综合概括能力、归纳与整理能力等。当然掌握知识固然重要，但培养学生的数学思维才应是数学课堂的重点和首要任务。数学思维就是数学地思考问题和解决问题的思维活动形式，即要求学生领悟思考问题的角度和方法、解决问题的途径和方式，培养学生勤于思考勇于探究的精神等。“数学是思维的体操”，数学课堂理应是有高度思维的课堂，既要在“从做中学”，又要在“做”中思维的课堂。四年来我校以培养“高学习力、高创造力和高表达力”的人才为目标，遵循五个操作环节，即激活旧知-问题驱动-自主发现-自主建构-学以致用，认真组织实施“思维课堂”的探索与实践。事实证明学生的学习已从被动学习逐渐走向主动学习，教师的课堂教学能力明显得以提高，学校也取得了前所未有的教育效益。今以一案例為例谈谈学生数学思维的培养，以飨读者。
二、教学分析
1.教材分析
利用轴对称性求最小值问题是近十年来中考数学中的热门话题，而且题目常换常新，学生会感到比较棘手，甚至会无从下手。因此利用轴对称性求最小值问题成为我们中考复习的重点。如何使学生在有限的复习时间内更高效地掌握此类问题呢？数学题千变万化，但万变不离其宗。只要我们能抓住问题的本质特征渗透转化思想，把原型问题进行迁移，然后进行归类、拓展与延伸，就能帮助学生举一反三，触类旁通，最终使学生能够从点的掌握扩展到面的掌握，对培养学生的探究性思维具有重要的作用。
2.学情分析
本节课是在九年级专题复习中进行。学生已经对初中数学有相对系统的学习和认知，如对直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线、轴对称等图形性质的认识，但遇到新的问题情境时，往往找不到解决问题的切入口，探索不出解决问题的有效途经。原因是学生的知识连贯性不紧凑、知识整合能力不强、知识的拓展与延伸尚有待于提高。
3.教学目标
（1）明确平移和轴对称变换的性质及作法；
（2）会根据“两点之间线段最短”、“垂线段最短”求线段和的最小值问题，渗透转化思想。
二、案例描述
1.问题提出，复习回顾
问题1：同学们，我们学过轴对称和平移的知识有那些？
问题2：那么轴对称和平移在中考有怎样的具体要求呢？（教师用多媒体展示中考实施细则中对“轴对称”、“平移”内容的考试要求）。
设计意图：学生通过回顾轴对称和平移的相关知识，明确中考中对轴对称和平移知识的具体要求，为本节复习课作好铺垫。
（2）回归课本，展示原型
教师用多媒体展示课本中与“将军饮马”问题的有关例习题，唤醒学生的记忆。
出示问题3：
①如图1，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
②如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
③如图，点P为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使PA+AB+PB最小。
设计意图：从“将军饮马问题”导出“两点之间线段最短”，继而将两个异侧的定点和一个动点问题变式为两个同侧的定点和一个动点问题，体现了转化思想。问题3又变式为一个定点和两个动点问题，由原来的单对称演变为双对称，其思路是化折为直（在同一条直线上），方法是过定点作动点所在直线的对称点。
（3）练习反馈，学以致用
①如图4，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为_________.
②如图5，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.
③如图6，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B.使四边形PAQB的周长最小。
④如图7，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，则BP+PE的最小值是______.
2.回归问题，探索发现
（1）原题新变，承上启下
问题4：如图7，如果点E是AB上的动点，在AD上找一点P，则BP+PE的最小值是多少？
问题5：如果点E是任意一点呢？（抽象图形、分类讨论、建立模型：一个定点两个动点）。
设计意图：“学起于思，思源于疑”。通过原题新变，精心设“疑”，学生看似与问题③同属一类，即一个定点和两个动点问题，但仅仅是形似而神不似，它需要借助“垂线段最短”来解决此类问题，其思路还是当这几个点在同一条直线上时最短。这样加强了学生的思维活动，对培养学生求知探索能力具有重要价值。
（2）一波刚平，异军突起
问题6：“将军饮马”问题中，我们忽略了河的宽度，也就是把河抽象成一条线，而现实生活中河是有宽度的，课本中有这类型的问题吗（多媒体展示课本原型）？
问题7：你能画吗？说说你的理由？
师生小结、归纳：通过平移和轴对称变换把两个定点两个动点型问题转化为两个定点一个动点型问题，可简要概况为“同向平移，反向找点”。
设计意图：这是一个综合性的问题，它涉及平移和轴对称两种变换，对于说理学生更难，一般的学生难以招架得住，为突破难点，一方面让学生讲题，另一方面教师通过多媒体展示平移的动画过程，让学生理解其中蕴含的作图原理，并熟悉作图步骤，以便能触类旁通，拓宽学生的思维维度，提高学生的解题能力。 （3）再度反馈，领悟精髓
⑤如图11，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值是______.
⑥如图12，若四边形ABCD是矩形，AB=10cm，BC=20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，则PC+PE的最小值是______.
⑦如图13，已知抛物线y=（x+1）（x-3）与坐标轴交于A、B、C三点
（1）P是对称轴上一点，当AP+PB的值最小时，求点P的坐标；
（2）P、Q是对称轴的两个动点，P在Q的上方，且PQ=1，求四边形ABQP周长的最小值。
3.归纳总结，自主领悟
附：板书设计
利用轴对称性求最小值问题：转化思想
三、案例分析
第一，激活旧知。复习课就是对学过的知识进行再巩固，以提高知识综合灵活运用的能力。如果复习课没有新鲜感，会导致学生对复习课没有一点热情，缺乏主动参与的积极性，没有主动性的课堂当然就是低效的。本节课教师首先让学生明确中考实施细则中对“轴对称”、“平移”内容的考试要求和利用轴对称性求最小值问题的重要性，同时借助多媒体展示课本中与“将军饮马”问题的有关例习题，对同类问题进行整合、拓展与延伸，唤醒学生的记忆，以变化激活思维，为后续的探索巩固旧知埋下伏笔。
第二，问题驱动。人们常说问题是思维的发动机，发现问题是思维的起点；解决问题是思维的归宿。而发现问题比解决问题更重要、更有价值。“学起于思，思源于疑”，“学贵知疑，小疑则小进，大疑则大进”。如何让内容问题化，问题思维化？整节课老师通过不失时机地设“疑”、激“疑”，抛出“疑线”，引发学生认知冲突，进而拨动其思维之弦，促使学生产生强烈的期待心理，很快调动学生学习的积极性，能更深入地唤起学生探究欲望，对培养学生思维的深刻性和创造性具有强大的力量。
第三，自主发现。通过课本几个原型的整合，使学生自主发现知识间、题型间的联系和区别，形成有序的块状联系，建立思维模式，提升思维品质，多角度有深度地思考。让复习浅入深出，对提高学生的复习效率有极大的帮助。
第四，自主建构。布鲁纳特别强调内部联系和内部规律。学习结构就是学习事物是怎样相互联系的，他认为这些就是学科的课程中心，也就是教学中心。只要掌握了事物的结构，任何东西都可以有意义的和它联系起来，从而更有意义的掌握它。总之，结构掌握了，学生的思维才能深，认识事物才能准，才有可能获得“一眼看穿的能力”，涉猎广泛了，思维才能开阔，思维才能灵活。本节课最大的亮点是渗透数学的转化思想，把原来类似或近似的问题联系在一起，形成一个体系，从而构建起思维的码头，极大地提高学生的思维含量。
第五，学以致用。本节课老师能引导学生在熟练掌握书本例题、习题的基础上，进行科学的变式训练。变式训练能培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维，进而培养学生全方位、多角度思考问题的能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。它既解决了一类问题，又归纳出了最本质的东西，以后学生再碰到类似问题时就不会不知所措，对巩固基础、提高能力有着至关重要的作用。
總之笔者认为，课堂教学中学生积极的思维活动是保证课堂教学高效进行的重要前提。作为教师要明确每一节数学课需要解决的问题，尤其复习课，解决的问题内容需要集中、整合、有序、有趣、有效，这样才能让学生清晰解决问题的思考方向。同时数学课堂教学中进行充分有效地思维训练，它不仅符合新课改的要求，也符合知识的形成与发展以及学生的认知过程，体现了数学教育的实质性价值。
作者简介：
姜志根，男，1971年12月出生，汉族，浙江、江山，本科，中学高级，杭州师范大学东城中学课程部主任，研究方向：初中数学教育教学。