论文部分内容阅读
摘 要：在小学数学教学中，把握反思时机，可以走向深度学习。文章结合实际教学经验，论述了在概念同化时反思，领悟知识内涵；在策略优化时反思，感悟思想方法；在易错失误时反思，优化思维品质；在纵深联系时反思，提升数学思考。
关键词：概念同化；策略优化；易错失误；纵深联系；反思
荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。” 在数学学习中，反思不是对数学学习活动的一般性回顾，而是指向数学思维活动，通过概括，控制思维操作，促进对知识的理解，提高学生自身的元认知水平，从而促进数学观点的形成和发展，真正洞悉数学的本质。
■一、在概念同化时反思，领悟知识内涵
建立射线和直线的图形观念一直是小学生学习的难点。这源于：小学生在与具体生活接触中，很少获得对“无限”的体验，而且在前期的知识学习中积累的是关于线段“有限长”的经验。从“有限长”到“无限长”，这是关于空间观念的一次质的飞跃。教学中，教师如果单一地借助课本中的实际例子，是很难让学生理解其本质特征的。因此，教学时教师尝试了从学生的已有经验出发，以线段与射线的本质区别为突破口，组织探究，引导反思，促使学生在思辨中实现概念同化。
【案例】四年级上册《认识射线、直线和角》
教师创设黑暗的大屏幕两把手电照射的情境：一把无遮挡物，一把有木板遮挡。引导学生对无遮挡的第一条光线进行描述。（很远很远，没有尽头……）
师：观察这两条光线，你觉得哪条光线可以用线段表示？结合线段的特征，把你的想法和同桌相互说一说。
生1：第一条光线可以用线段表示，它两头都有木板，就代表有两个端点。
生2：第一条光线不仅有两个端点还是有长度的，可测量。
教师继续引导反思：第二条光线为什么不能用线段表示呢？
生1：只有一头有端点，另一头没有端点。
生2：它没有尽头，一直可以延伸。
生3：它无限长。
教师引导学生尝试创作一种线表示第一条光线，并交流画法。
教师继续引导反思：结合你们的想法，怎样把表示光线一的线段变成表示光线二的这种线呢？
结合学生回答并演示沟通射线与线段的联系，明确射线的意义以及射线与线段的区别。
师揭示：像这样，把线段的一端，无限延长得到的线就是射线。
师：想一想，和线段比，射线有什么特点？
教师以学生认识线段的经验为依托，通过创设两条光线的情境，放大概念的本质特征，形成学生的认知冲突。接着在学生对射线的特征有所感知但并非完全感悟时，设计了两次反思：（1）第二条光线为什么不能用线段表示呢？（2）怎样把表示光线一的线段变成表示光线二的这种线呢？引导学生在辨析和说理中进一步强化认识，抽象出射线的特征，切实理解了“无限长”这一观念的深刻内涵。
■二、在策略優化时反思，感悟思想方法
教学解决数学问题的策略时，许多教师都有这样的困扰：问题单一出现时，学生解题正确率很高，但诸多问题混淆出现时，很多学生往往就不会精准地提取并运用策略解决相应的问题。细究其因，有的教师在教学中只注重策略的形成与应用，而学生策略意识的形成却必须经历对自己解题行为的不断反思，而这往往被忽视。
【案例】六年级上册《解决问题的策略——假设》
完成例2教学后，呈现如下题组：
复习：小明把720毫升果汁倒入9个相同的小杯，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？
例1：小明把720毫升的果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各多少毫升？
例2：在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。每个大盒比小盒多装8个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？
回顾反思：
（1）回顾例1和例2这两个例题的解题过程，它们都运用了怎样的解题策略？
（2）与复习题相比这两题为什们要运用假设的策略解题呢？运用假设的解题策略有什么好处？
（3）在什么样的情况下适合用假设的解题策略？怎样假设呢？
事实上，作为一种隐性的、潜在的知识，策略本身并不易为学生所清晰地感知与把握。作为教者，我们应当为学生提供较为丰富的学习材料，引领学生在充分的材料中自觉回顾反思，发现问题，养成主动分析问题的习惯，反思方法的可取性和合理性，只有这样才能真正体会到策略的价值。
■三、在易错失误时反思，优化思维品质
教学中，面对学生的错误，许多教师常常急于把自以为高明的解题方法教给学生，让学生有“法”可循 ，可往往是剃头挑子一头热，学生常常不得要领，极不配合。如：
【案例】六年级上册《分数四则混合运算》
在“计算下面各题，注意使用简便计算”的练习中，有这样一道算式：■÷1 ■，计算时，许多学生出现了下面的错误（图1）。
■
图1
针对这种大范围的错误，笔者所在年级的平行班，大部分教师都是通过按运算顺序再计算的方法验证，告知学生错误，并通过与1 ■÷■计算对比，明确只有形如（a±b）÷c的形式可以使用乘法分配律，而c÷（a±b）的形式则不能化除为乘，不可使用乘法分配律。然而在后续计算练习中或间隔较长时间后的练习中，以上的错误还是会有为数不少的学生反复再犯。
为什么同样的错误会一犯再犯，仔细推敲一下就会发现：在教师认为得法的教学中，学生仅感知了错题的形式，并未刨根究底寻到错误的源头。正所谓脱离思维教方法，只能习得生硬和笨拙。
因此，面对同样的错误，笔者引导学生经历了如下反思过程：
师：你认为这位同学的计算结果正确吗？（小部分学生反对） 师：请你说一说反对的理由。
生1：我没用分配律，跟他算的结果不一样。
生2：我觉得这个结果不大可能，因为1 ■得数比1大，■除以比1大的数结果应该比■小。
生3：我按运算顺序算了一遍，觉得用分配律算是有错误的。
师：看来，本题运用分配律计算是有问题的。想一想，为什么本题不适合用分配律算？
生4：我知道了，它是除法，除法不存在分配律？
师：前面研究中我们知道，除法化除为乘后便可使用分配律，为什么这一题就不行呢？
生5：我觉得XXX说的是对的，这个式子一开始不能化除为乘，它的除数是一个加法算式，没算出来就得不到倒数。
……
师：如果把这个式子改动一下，使它能运用乘法分配律，你会怎么改？
生：可以改成1 ■÷■。
师：结合你们刚刚的研究想一想：什么样的除法算式是可以运用乘法分配律的，什么样的除法算式不能运用乘法分配律？为什么？
“不愤不启，不悱不发。”要把学生教“聪明”，关键看思维。面对错误，教师也一样，不是急于亮出修正错误的方法，而是应让学生主动去反思错误的原因，反思怎样才能避免错误，找到最利于自己思考和解答的方法。
■四、在纵深联系时反思，提升数学思考
《数学课程标准》提出“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性，体会数学知识可以从不同角度加以分析，从不同层次进行理解”的教学建议。当前教材在编排时也非常注重沟通、拓展。因此，教师在处理教材的这些安排时，既不可置若罔闻，也不可过度拔高，而应紧紧扣住数学知识前后紧密的内在关联性，引领学生进一步深入思考。如：
【案例】六年级上册《分数除以分数》
教师在揭示分数除法的计算方法“甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘乙数的倒数”并通过一定练习后，出示如下补充习题，要求学生独立思考后汇报交流。
8÷3○8×■ 8÷0.1○8×10
13×■○13÷5 99×100○99÷0.01
（1）师：你能运用我们今天所学的知识解释为什么这几组算式都相等吗？
生1：每一组中除法算式的除数和乘法算式中的乘数都互为倒数。
生2：我们如果将除法算式化除为乘，就能得到等式中的乘法算式。
生3：我们可用“甲数除以乙数等于甲数乘乙数的倒数”来说明他们是相等的。
（2）引导学生口答：16÷0.25=
9÷0.125=
反思小结：
师：通过这组题的练习，我们可以看出“甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘乙数的倒数”。甲数和乙数除了分数以外，还可以是哪些数。（生交流）
小結：由此，我们可以看出分数除法的计算方法不仅在分数除法中适用，在整数除法，小数除法中也同样适用。
数学知识前后紧密的内在关联性决定了知识可拓展的纵深程度。教学中一些不合理的拓展，往往是教师忽略了这种关联的决定性作用，致使无法切入学生的经验系统。合理拓展需要教师结合学生的实际，把准知识的生长点与延伸点，由此及彼，使学生获得结构化的知识，这样才能有效地促使学生的思维从平庸走向深刻。
关键词：概念同化；策略优化；易错失误；纵深联系；反思
荷兰数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。” 在数学学习中，反思不是对数学学习活动的一般性回顾，而是指向数学思维活动，通过概括，控制思维操作，促进对知识的理解，提高学生自身的元认知水平，从而促进数学观点的形成和发展，真正洞悉数学的本质。
■一、在概念同化时反思，领悟知识内涵
建立射线和直线的图形观念一直是小学生学习的难点。这源于：小学生在与具体生活接触中，很少获得对“无限”的体验，而且在前期的知识学习中积累的是关于线段“有限长”的经验。从“有限长”到“无限长”，这是关于空间观念的一次质的飞跃。教学中，教师如果单一地借助课本中的实际例子，是很难让学生理解其本质特征的。因此，教学时教师尝试了从学生的已有经验出发，以线段与射线的本质区别为突破口，组织探究，引导反思，促使学生在思辨中实现概念同化。
【案例】四年级上册《认识射线、直线和角》
教师创设黑暗的大屏幕两把手电照射的情境：一把无遮挡物，一把有木板遮挡。引导学生对无遮挡的第一条光线进行描述。（很远很远，没有尽头……）
师：观察这两条光线，你觉得哪条光线可以用线段表示？结合线段的特征，把你的想法和同桌相互说一说。
生1：第一条光线可以用线段表示，它两头都有木板，就代表有两个端点。
生2：第一条光线不仅有两个端点还是有长度的，可测量。
教师继续引导反思：第二条光线为什么不能用线段表示呢？
生1：只有一头有端点，另一头没有端点。
生2：它没有尽头，一直可以延伸。
生3：它无限长。
教师引导学生尝试创作一种线表示第一条光线，并交流画法。
教师继续引导反思：结合你们的想法，怎样把表示光线一的线段变成表示光线二的这种线呢？
结合学生回答并演示沟通射线与线段的联系，明确射线的意义以及射线与线段的区别。
师揭示：像这样，把线段的一端，无限延长得到的线就是射线。
师：想一想，和线段比，射线有什么特点？
教师以学生认识线段的经验为依托，通过创设两条光线的情境，放大概念的本质特征，形成学生的认知冲突。接着在学生对射线的特征有所感知但并非完全感悟时，设计了两次反思：（1）第二条光线为什么不能用线段表示呢？（2）怎样把表示光线一的线段变成表示光线二的这种线呢？引导学生在辨析和说理中进一步强化认识，抽象出射线的特征，切实理解了“无限长”这一观念的深刻内涵。
■二、在策略優化时反思，感悟思想方法
教学解决数学问题的策略时，许多教师都有这样的困扰：问题单一出现时，学生解题正确率很高，但诸多问题混淆出现时，很多学生往往就不会精准地提取并运用策略解决相应的问题。细究其因，有的教师在教学中只注重策略的形成与应用，而学生策略意识的形成却必须经历对自己解题行为的不断反思，而这往往被忽视。
【案例】六年级上册《解决问题的策略——假设》
完成例2教学后，呈现如下题组：
复习：小明把720毫升果汁倒入9个相同的小杯，正好都倒满，每个小杯的容量是多少毫升？
例1：小明把720毫升的果汁倒入6个小杯和1个大杯，正好都倒满，小杯的容量是大杯的■。小杯和大杯的容量各多少毫升？
例2：在1个大盒和5个同样的小盒里装满球，正好是80个。每个大盒比小盒多装8个，大盒里装了多少个球？每个小盒呢？
回顾反思：
（1）回顾例1和例2这两个例题的解题过程，它们都运用了怎样的解题策略？
（2）与复习题相比这两题为什们要运用假设的策略解题呢？运用假设的解题策略有什么好处？
（3）在什么样的情况下适合用假设的解题策略？怎样假设呢？
事实上，作为一种隐性的、潜在的知识，策略本身并不易为学生所清晰地感知与把握。作为教者，我们应当为学生提供较为丰富的学习材料，引领学生在充分的材料中自觉回顾反思，发现问题，养成主动分析问题的习惯，反思方法的可取性和合理性，只有这样才能真正体会到策略的价值。
■三、在易错失误时反思，优化思维品质
教学中，面对学生的错误，许多教师常常急于把自以为高明的解题方法教给学生，让学生有“法”可循 ，可往往是剃头挑子一头热，学生常常不得要领，极不配合。如：
【案例】六年级上册《分数四则混合运算》
在“计算下面各题，注意使用简便计算”的练习中，有这样一道算式：■÷1 ■，计算时，许多学生出现了下面的错误（图1）。
■
图1
针对这种大范围的错误，笔者所在年级的平行班，大部分教师都是通过按运算顺序再计算的方法验证，告知学生错误，并通过与1 ■÷■计算对比，明确只有形如（a±b）÷c的形式可以使用乘法分配律，而c÷（a±b）的形式则不能化除为乘，不可使用乘法分配律。然而在后续计算练习中或间隔较长时间后的练习中，以上的错误还是会有为数不少的学生反复再犯。
为什么同样的错误会一犯再犯，仔细推敲一下就会发现：在教师认为得法的教学中，学生仅感知了错题的形式，并未刨根究底寻到错误的源头。正所谓脱离思维教方法，只能习得生硬和笨拙。
因此，面对同样的错误，笔者引导学生经历了如下反思过程：
师：你认为这位同学的计算结果正确吗？（小部分学生反对） 师：请你说一说反对的理由。
生1：我没用分配律，跟他算的结果不一样。
生2：我觉得这个结果不大可能，因为1 ■得数比1大，■除以比1大的数结果应该比■小。
生3：我按运算顺序算了一遍，觉得用分配律算是有错误的。
师：看来，本题运用分配律计算是有问题的。想一想，为什么本题不适合用分配律算？
生4：我知道了，它是除法，除法不存在分配律？
师：前面研究中我们知道，除法化除为乘后便可使用分配律，为什么这一题就不行呢？
生5：我觉得XXX说的是对的，这个式子一开始不能化除为乘，它的除数是一个加法算式，没算出来就得不到倒数。
……
师：如果把这个式子改动一下，使它能运用乘法分配律，你会怎么改？
生：可以改成1 ■÷■。
师：结合你们刚刚的研究想一想：什么样的除法算式是可以运用乘法分配律的，什么样的除法算式不能运用乘法分配律？为什么？
“不愤不启，不悱不发。”要把学生教“聪明”，关键看思维。面对错误，教师也一样，不是急于亮出修正错误的方法，而是应让学生主动去反思错误的原因，反思怎样才能避免错误，找到最利于自己思考和解答的方法。
■四、在纵深联系时反思，提升数学思考
《数学课程标准》提出“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构与体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受知识的整体性，体会数学知识可以从不同角度加以分析，从不同层次进行理解”的教学建议。当前教材在编排时也非常注重沟通、拓展。因此，教师在处理教材的这些安排时，既不可置若罔闻，也不可过度拔高，而应紧紧扣住数学知识前后紧密的内在关联性，引领学生进一步深入思考。如：
【案例】六年级上册《分数除以分数》
教师在揭示分数除法的计算方法“甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘乙数的倒数”并通过一定练习后，出示如下补充习题，要求学生独立思考后汇报交流。
8÷3○8×■ 8÷0.1○8×10
13×■○13÷5 99×100○99÷0.01
（1）师：你能运用我们今天所学的知识解释为什么这几组算式都相等吗？
生1：每一组中除法算式的除数和乘法算式中的乘数都互为倒数。
生2：我们如果将除法算式化除为乘，就能得到等式中的乘法算式。
生3：我们可用“甲数除以乙数等于甲数乘乙数的倒数”来说明他们是相等的。
（2）引导学生口答：16÷0.25=
9÷0.125=
反思小结：
师：通过这组题的练习，我们可以看出“甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘乙数的倒数”。甲数和乙数除了分数以外，还可以是哪些数。（生交流）
小結：由此，我们可以看出分数除法的计算方法不仅在分数除法中适用，在整数除法，小数除法中也同样适用。
数学知识前后紧密的内在关联性决定了知识可拓展的纵深程度。教学中一些不合理的拓展，往往是教师忽略了这种关联的决定性作用，致使无法切入学生的经验系统。合理拓展需要教师结合学生的实际，把准知识的生长点与延伸点，由此及彼，使学生获得结构化的知识，这样才能有效地促使学生的思维从平庸走向深刻。