充分条件与必要条件的三种判断方法

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  摘要:充分条件、必要条件是简易逻辑中的重要概念,在高考命题中常常出现。其概念抽象且不易理解。因此,如何正确理解和准确判断充分或必要条件是高中数学中的一个难点。作为教师,我们应该让学生掌握好充分条件与必要条件的判断方法,从而达到培养学生逻辑思维能力的目的。
  关键词:充分条件;必要条件;定义法;集合法;等价命题法
  中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2015)11-0080
  充分条件、必要条件是简易逻辑中的重要概念,在高考命题中常常出现。其概念抽象且不易理解。因此,如何正确理解和准确判断充分或必要条件是高中数学中的一个难点。下面,笔者就介绍三种判断充分条件与必要条件的常见方法。
  一、定义法
  1. 若p? q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件;2. 若p? q,且q p,则称p是q的充分但不必要条件;3. 若p q,且q? p,则称p是q的必要但不充分条件;4. 若p?圳q,则称p是q的充要条件;5. 若p q,且q p,则称p是q的既不充分又不必要条件。
  初学者容易分不清谁是充分条件谁是必要条件,下面介绍一个简便记忆法:如果把符号“? ”的左边当做箭头前,右边当做箭头后的话,箭头前的是充分条件,箭头后的是必要条件,可记为“前充后必”。
  例1.“x-1=0”是“(x-1)(x-3)=0”的 条件
  解:因为当(x-1)(x-3)=0时x=1或x=3,所以并不一定x=1(即x 1=0),故(x-1)(x-3)=0 x-1=0,但是x-1=0? (x-1)(x-3)=0。此處应该填“必要不充分条件”。
  另外,由充分条件和必要条件的概念可知 ,“充分条件”与“充分不必要条件 ”不是 一回事 ,“必要条件”和“必要不充分条件”也不是一回事。例如,“x-1=0”是“x2-1=0”的 条件。显然,此处填“充分不必要条件 ”比填“充分条件”更为准确 。 再如,若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则r是p的 。 此处应该填“必要条件”,如果填“必要不充分条件”就错了。
  二、集合法
  给定两个命题p,q可以考虑A={x|x满足p},B={x|x满足p},则:1. 若A?哿B,则p是q的充分条件;2. 若A?勐B,则p是q的必要条件;3. 若A?哿B且B?芫A,则p是q的充分但不必要条件;4. 若B?哿A且A?芫B,则p是q的必要但不充分条件;5. 若A=B,则p是q的充要条件;6. 若A?芫B,且B?芫A,则p是q的即不充分又不必要条件。
  例2. 命题p:x-5>0,命题q:x-10>0,问p是q的什么条件?
  解:令A={x|x-5>0},B={x|x-10>0},因为A?哿B且B?芫A,所以p是q的充分但不必要条件。
  例3. 命题p:x-5<0,命题q:x-10<0,问p是q的什么条件?
  解:令A={x|x-5<0},B={x|x-10<0},因为B?哿A且A?芫B,所以p是q的必要但不充分条件。
  例4. 命题p:x =x2,命题q:2x 3=x2,问p是q的什么条件?
  解:令A={x|x =x2},B={x|2x 3=x2},通过解方程可得A={0,3},B={-1,3},因为A?芫B,且B?芫A,所以p是q的即不充分又不必要条件。
  三、等价命题法
  由于原命题和它的逆否命题是等价的,所以当遇到原命题不容易判断时可以转而判断它的逆否命题来完成。即p? q等价于 q? p,此时p是q的充分条件, p是 q的必要条件。
  例5. 若命题p:x≠1,且x≠3命题q:x y≠4,问p是q的什么条件?
  解:其逆否命题是 q∧ p:若x y=4则x=1或x=3,经过判断逆否命题是假命题但其逆否命题的逆命题是真命题因为 p? q,但 q p,所以 p是 q充分不必要条件,所以p是q的必要但不充分条件。
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