现行普通高中课程标准实验教科书（人教A版）必修4第138页B组第3题：
　　观察以下各等式：
　　sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34
　　sin220°+cos250°+sin20°cos50°=34
　　sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34
　　分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出正明．
　　反映一般规律的等式可以是（表述形式不唯一）
　　sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=34
　　此题对于培养学生观察、发现、分析、综合能力大有帮助，另外，此题证法较多，下面给出七种不同的方法，以期开拓思路，提高解题能力．
　　法1：
　　sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
　　=sin2α+(cosαcos30°-sinαsin30°)2+sinα(cosαcos30°-sinαsin30°)
　　=sin2α+32cosα-12sinα2+sinα32cosα-12sinα
　　=sin2α+34cos2α-32sinαcosα+14sin2α+32sinαcosα-12sin2α
　　=34(sin2α+cos2α)=34
　　法2:
　　sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
　　=1-cos2α2+1+cos(2α+60°)2+12［sin(2α+30°)+sin(-30°)］
　　=1+12［cos(2α+60°)-cos2α］+12sin(2α+30°)-14
　　=1+12×(-2)sin(2α+30°)sin30°+12sin(2α+30°)-14
　　=1-12sin(2α+30°)+12sin(2α+30°)-14
　　=34
　　法3：
　　sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
　　=［sinα+cos(α+30°)］2-sinαcos(α+30°)
　　=［cos(90°-α)+cos(α+30°)］2-12［sin(2α+30°)+sin(-30°)］
　　=［2cos60°cos(30°-α)］2-12sin(2α+30°)+14
　　=cos2(30°-α)-12sin(2α+30°)+14
　　=1+cos(60°-2α)2-12cos(60°-2α)+14=34
　　
　　法4：
　　sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
　　=sin2α+sin2(60°-α)+sinαsin(60°-α)
　　=sin2α+sin2(60°-α)+2sinαsin(60°-α)cos60°
　　=sin2α+sin2(60°-α)+2sinαsin(60°-α)cos［α+(60°-α)］
　　=sin2α+sin2(60°-α)+2sinαsin(60°-α)［cosαcos(60°-α)-sinαsin(60°-α)］
　　=sin2α+sin2(60°-α)+2sinαsin(60°-α)
　　cosαcos(60°-α)-2sin2αsin2(60°-α)
　　=sin2α［1-sin2(60°-α)］+sin2(60°-α)
　　(1-sin2α)+2sinαsin(60°-α)cosαcos(60°-α)
　　=sin2αcos2(60°-α)+sin2(60°-α)cos2α+2sinαsin(60°-α)cosαcos(60°-α)
　　=［sinαcos(60°-α)+cosαsin(60°-α)］2
　　=sin2［α+(60°-α)］
　　=sin260°
　　=34
　　法5：令sinα=a+b,cos(α+30°)=a-b
　　a=12［sinα+cos(α+30°)］=12［sinα+sin(60°-α)］=12×2sin30°cos(α-30°)
　　=12cos(α-30°)
　　b=12［sinα-cos(α+30°)］=12［sinα-sin(60°-α)］=12×2cos30°sin(α-30°)
　　=-32sin(α-30°)
　　原式=(a+b)2+(a-b)2+(a+b)(a-b)=3a2+b2=3×12cos(α-30°)2+-32sin(α-30°)2
　　=34［cos2(α-30°)+sin2(α-30°)］=34
　　法6：设
　　A=sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)
　　B=cos2α+sin2(α+30°)+cosαsin(α+30°)
　　则A+B=2+sin(2α+30°)
　　A-B=cos(2α+60°)-cos2α+sin(-30°)
　　=-2sin(2α+60°)+2α2sin(2α+60°)-2a2-12
　　=-2sin(2α+30°)sin30°-12
　　以上两式相加得：2A=32,∴A=34
　　法7：原式即为sin2α+sin2(60°-α)+sinαsin(60°-α)=34，
　　构造三角形△ABC，令A=α,B=60°-α,C=120°
　　sin2α+sin2(60°-α)+sinαsin(60°-α)
　　=sin2α+sin2(60°-α)-2sinαsin(60°-α)cos120°
　　=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=14R2(a2+b2-2abcosC)
　　=14R2×c2=sin2C=sin2120°=34
　　方法1利用两角和的余弦公式将cos(α+30°)打开，是最直接的方法．学生应熟练掌握．方法２利用降幂公式结合积化和差与和差化积公式．法３法４法５利用公式变形或变角，虽然过程并不很简单，给我们耳目一新之感．方法５利用代换，最终都统一为α-30°的正弦和余弦．方法６利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法新颖别致，但要注意构造B式不要把A中的正弦都改为余弦，而应保留A式中的cos(α+β)．方法７通过类比三角形中的余弦定理（结构相似），巧妙地构造三角形，结合正弦定理得以证明，方法巧妙，不拘一格．