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【摘要】通过对高中数学新教材的教学，结合新教材的习题和高中研究性学习的开展，对如何加强高中生发散思维训练，如何开展教学培养学生的创新能力方面进行了探索.
【关键词】发散思维；创新能力；发散求异；联想转化
科学上的新理论、新方法、新发现往往来源于发散思维，有人用“创新能力=知识量×发散思维”这个公式估计一个人的创新能力.可见，加强发散思维训练，是培养学生创新能力的重要方法.
发散思维是一种创新思维，指思维从同一信息源出发，运用获取的信息沿着多种方向展开，以获得不同的思维的结果.思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性.在中学数学教学中有意识地抓住这些特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，也有利于培养学生解决问题的灵活性与创新能力.
一、创设发散情境，激发创新意识
任何思维过程都受一定的情境所制约和激发.因而教师在教学中应根据教材与学生的生活实际，创设激发探索新知识的发散问题情境，围绕数学教学环节的衔接、转折、延伸，鼓励学生多提问题、发现问题、捕捉问题，激起学生对问题探究的高涨情绪.
例1点P为△ABC所在平面α外一点，若∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，则点P在平面α内的射影H是△ABC的（）.
A外心
B内心
C重心
D垂心
本题运用线面垂直、线线垂直的判定与性质容易选择答案D.完成此题后提出问题：
（1）满足怎样的题设条件时，点P在平面α内的射影Ｈ是△ABC的外心、内心、重心呢？
（2）适当改变题设条件还会有此结论吗？如何改变题设条件呢？如三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直.又如PA⊥BC，PB⊥AC等.
（3）保留原命题条件不变的前提下，还会有怎样的结论呢？如△ABC为锐角三角形.又如设α，β，γ分别为高与各侧棱所成的角（或底面与各侧面所成二面角的平面角），则有cos2α+cos2β+cos2γ=1等.
二、发散求异，培养创新能力
布鲁纳曾说“探索是数学的生命线”，发散求异思维过程就是探索过程，教学中教师应善于引导学生多方位多角度地观察问题，开阔视野，训练学生发散求异思维的习惯，激发学生的创新热情，培养创新能力.
例2求证：不等式a+b22≤a2+b22.
题目虽然简单，但证法很多，综合法、分析法、比较法、反证法皆可，但只满足于上述方法，则失去了一次引导学生从不同角度审视问题的求异创新的机会.实际上，这道题还可用函数、三角、解析几何等知识来解决.
（1）构造函数：将原不等式移项变形，得a+b22-a2+b22≤0.
联想到二次函数的判别式，于是构造函数f(x)=x2+a+b2x+a2+b28，变形得f(x)=12x+a22+12x+b22.因为f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0，可证得此不等式.
（2）三角代换：注意到不等式中的a2+b22，令其为k2，则可设a=2kcosθ，b=2ksinθ，于是a+b22=2k(sinθ+cosθ)22=k222sinθ+π42≤k2，即a+b22≤a2+b22.
（3）构造图形：不等式等价变形，得|a+b|2≤a2+b2，把a2+b2看成点(a，b)到原点的距离，而|a+b|2联想到点到直线的距离公式，可看成点(a，b)到直线y=-x的距离，于是从图形易得原不等式成立.
三、变式引申，强化创新能力
“数学题是永远做不完的”，多做题固然可以积累经验，但如果善于变题，在变式引申中掌握一类题的解法，则会以少胜多，既训练了发散思维的广阔性与深刻性，同时强化了学生的探索精神与创新才能.
例3在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直.
大多数学生能直接设出点的坐标，再结合斜率公式，列方程组解题.也有学生运用椭圆的参数方程，引参设点求解.还有学生能根据焦点三角形为直角三角形这一特征，这个点也在以焦点为直径的圆x2+y2=25上，通过求两曲线的交点法解题.如果解完这题就此罢手，这样学生只学会了解一道题，达不到解决一类变式创新题的目的.此时教师要从改变题设特征条件出发，引申变式.如：
变式1在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点连线的夹角为60°.
提问：上例的解题方法还适用吗？此题中的焦点三角形已成为一个角为60°的斜三角形了，解题思路也随之改变，结合椭圆的定义及余弦定理，再列式求解.促使学生对解题思路进行探索与灵活拓展，再让学生进行变式探索设计出创新试题.如：
变式2在椭圆x216+y236=1上求一点，使它到两焦点距离之比为1∶3.
变式3设P为椭圆x29+y24=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求∠F1PF2的最大值，并求此时△F1PF2的面积.
变式4已知椭圆x29+y24=1的两个焦点F1，F2，点P为其上的一动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.
变式5设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.若椭圆上存在点P使PF1垂直PF2，求证：离心率e≥22.
变式6设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.（1）求|PF1|·|PF2|的最大值、最小值；（2）求△F1PF2的面积.
此处还可以引申到双曲线的相关问题等等.从而沟通了解几与代数、三角间的联系，迫使学生思维从不同方向发散，深化创新思维.
四、联想转化，发展创新能力
联想思维是以已知为基础，通过观察、类比、创新思考把待解决的问题转化成易于解决或已经解决的问题，从而发现解题途径，制定解题策略.联想转化能优化学生的认知结构，有助于学生自觉地调整思维方向，再创造出新的独特的解题思路，使创新能力得到发展.
例4已知(x-2)2+(y-1)2=1，试确定y-3x+1的取值范围.
从所求问题的外部特征来看，与解几中的斜率公式k=y2-y1x2-x1类比，通过数形结合联想，问题可转化为：求圆(x-2)2+(y-1)2=1上一动点P与定点A（-1，3）连线斜率的取值范围.另一方面，令u=x-2，
v=y-1，原命题即为已知u2+v2=1，试确定v-2u+3的取值范围.命题的条件显然得到简化.再联想到圆的参数方程，可采用引参消元法，设u=sinθ，v=cosθ，问题可转化为：求s=cosθ-2sinθ+3的取值范围.常见解题思路是将此式转化为sin(θ+φ)=f(s)形式，再由|f(s)|≤1可求得S的取值范围.还有其他解法吗？再次深层联想，设tanx2=t，则sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，问题又可转化为：求函数s=-3t2-13t2+2t+3的值域.再运用判别式法可得出解答.
以上事例说明，只要我们有意识地加强发散思维能力的训练，克服思维定式，锻炼思维品质，培养学生孜孜以求的探索精神，才能培养出有创新能力的学生.
【参考文献】
［1］徐斌艳.数学课程与教学论［M］.杭州：浙江教育出版社，2003.
［2］唐街平.平面几何发散思维能力培养的商榷［J］.重庆教育学院学报，2002（6）.
［3］沈德立，吕勇，马丽丽.中学生发散思维能力培养的实验研究［J］.心理学探新，2000（4）.
［4］张雄.中国数学教育改革的趋势［J］.中学数学教学参考，2004（3）.
［5］俞求是.中学数学教科书中的开放题［J］.中学数学教学参考，1999（4）.
【关键词】发散思维；创新能力；发散求异；联想转化
科学上的新理论、新方法、新发现往往来源于发散思维，有人用“创新能力=知识量×发散思维”这个公式估计一个人的创新能力.可见，加强发散思维训练，是培养学生创新能力的重要方法.
发散思维是一种创新思维，指思维从同一信息源出发，运用获取的信息沿着多种方向展开，以获得不同的思维的结果.思维的积极性、求异性、广阔性、联想性等是发散思维的特性.在中学数学教学中有意识地抓住这些特性进行训练与培养，既可提高学生的发散思维能力，也有利于培养学生解决问题的灵活性与创新能力.
一、创设发散情境，激发创新意识
任何思维过程都受一定的情境所制约和激发.因而教师在教学中应根据教材与学生的生活实际，创设激发探索新知识的发散问题情境，围绕数学教学环节的衔接、转折、延伸，鼓励学生多提问题、发现问题、捕捉问题，激起学生对问题探究的高涨情绪.
例1点P为△ABC所在平面α外一点，若∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，则点P在平面α内的射影H是△ABC的（）.
A外心
B内心
C重心
D垂心
本题运用线面垂直、线线垂直的判定与性质容易选择答案D.完成此题后提出问题：
（1）满足怎样的题设条件时，点P在平面α内的射影Ｈ是△ABC的外心、内心、重心呢？
（2）适当改变题设条件还会有此结论吗？如何改变题设条件呢？如三个侧面PAB，PBC，PCA两两垂直.又如PA⊥BC，PB⊥AC等.
（3）保留原命题条件不变的前提下，还会有怎样的结论呢？如△ABC为锐角三角形.又如设α，β，γ分别为高与各侧棱所成的角（或底面与各侧面所成二面角的平面角），则有cos2α+cos2β+cos2γ=1等.
二、发散求异，培养创新能力
布鲁纳曾说“探索是数学的生命线”，发散求异思维过程就是探索过程，教学中教师应善于引导学生多方位多角度地观察问题，开阔视野，训练学生发散求异思维的习惯，激发学生的创新热情，培养创新能力.
例2求证：不等式a+b22≤a2+b22.
题目虽然简单，但证法很多，综合法、分析法、比较法、反证法皆可，但只满足于上述方法，则失去了一次引导学生从不同角度审视问题的求异创新的机会.实际上，这道题还可用函数、三角、解析几何等知识来解决.
（1）构造函数：将原不等式移项变形，得a+b22-a2+b22≤0.
联想到二次函数的判别式，于是构造函数f(x)=x2+a+b2x+a2+b28，变形得f(x)=12x+a22+12x+b22.因为f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0，可证得此不等式.
（2）三角代换：注意到不等式中的a2+b22，令其为k2，则可设a=2kcosθ，b=2ksinθ，于是a+b22=2k(sinθ+cosθ)22=k222sinθ+π42≤k2，即a+b22≤a2+b22.
（3）构造图形：不等式等价变形，得|a+b|2≤a2+b2，把a2+b2看成点(a，b)到原点的距离，而|a+b|2联想到点到直线的距离公式，可看成点(a，b)到直线y=-x的距离，于是从图形易得原不等式成立.
三、变式引申，强化创新能力
“数学题是永远做不完的”，多做题固然可以积累经验，但如果善于变题，在变式引申中掌握一类题的解法，则会以少胜多，既训练了发散思维的广阔性与深刻性，同时强化了学生的探索精神与创新才能.
例3在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两个焦点连线互相垂直.
大多数学生能直接设出点的坐标，再结合斜率公式，列方程组解题.也有学生运用椭圆的参数方程，引参设点求解.还有学生能根据焦点三角形为直角三角形这一特征，这个点也在以焦点为直径的圆x2+y2=25上，通过求两曲线的交点法解题.如果解完这题就此罢手，这样学生只学会了解一道题，达不到解决一类变式创新题的目的.此时教师要从改变题设特征条件出发，引申变式.如：
变式1在椭圆x245+y220=1上求一点，使它与两焦点连线的夹角为60°.
提问：上例的解题方法还适用吗？此题中的焦点三角形已成为一个角为60°的斜三角形了，解题思路也随之改变，结合椭圆的定义及余弦定理，再列式求解.促使学生对解题思路进行探索与灵活拓展，再让学生进行变式探索设计出创新试题.如：
变式2在椭圆x216+y236=1上求一点，使它到两焦点距离之比为1∶3.
变式3设P为椭圆x29+y24=1上任意一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，求∠F1PF2的最大值，并求此时△F1PF2的面积.
变式4已知椭圆x29+y24=1的两个焦点F1，F2，点P为其上的一动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围.
变式5设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.若椭圆上存在点P使PF1垂直PF2，求证：离心率e≥22.
变式6设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2.（1）求|PF1|·|PF2|的最大值、最小值；（2）求△F1PF2的面积.
此处还可以引申到双曲线的相关问题等等.从而沟通了解几与代数、三角间的联系，迫使学生思维从不同方向发散，深化创新思维.
四、联想转化，发展创新能力
联想思维是以已知为基础，通过观察、类比、创新思考把待解决的问题转化成易于解决或已经解决的问题，从而发现解题途径，制定解题策略.联想转化能优化学生的认知结构，有助于学生自觉地调整思维方向，再创造出新的独特的解题思路，使创新能力得到发展.
例4已知(x-2)2+(y-1)2=1，试确定y-3x+1的取值范围.
从所求问题的外部特征来看，与解几中的斜率公式k=y2-y1x2-x1类比，通过数形结合联想，问题可转化为：求圆(x-2)2+(y-1)2=1上一动点P与定点A（-1，3）连线斜率的取值范围.另一方面，令u=x-2，
v=y-1，原命题即为已知u2+v2=1，试确定v-2u+3的取值范围.命题的条件显然得到简化.再联想到圆的参数方程，可采用引参消元法，设u=sinθ，v=cosθ，问题可转化为：求s=cosθ-2sinθ+3的取值范围.常见解题思路是将此式转化为sin(θ+φ)=f(s)形式，再由|f(s)|≤1可求得S的取值范围.还有其他解法吗？再次深层联想，设tanx2=t，则sinθ=2t1+t2，cosθ=1-t21+t2，问题又可转化为：求函数s=-3t2-13t2+2t+3的值域.再运用判别式法可得出解答.
以上事例说明，只要我们有意识地加强发散思维能力的训练，克服思维定式，锻炼思维品质，培养学生孜孜以求的探索精神，才能培养出有创新能力的学生.
【参考文献】
［1］徐斌艳.数学课程与教学论［M］.杭州：浙江教育出版社，2003.
［2］唐街平.平面几何发散思维能力培养的商榷［J］.重庆教育学院学报，2002（6）.
［3］沈德立，吕勇，马丽丽.中学生发散思维能力培养的实验研究［J］.心理学探新，2000（4）.
［4］张雄.中国数学教育改革的趋势［J］.中学数学教学参考，2004（3）.
［5］俞求是.中学数学教科书中的开放题［J］.中学数学教学参考，1999（4）.