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2011版《数学课程标准》中已经把传统“双基”修订为“四基”,课标总目标中的第一条就明确地提出了获得“四基”的要求:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”应该说,数学基本思想在数学教学中的重要性已成为共识.那么,初中阶段学生需感悟的数学基本思想有哪些呢?教师如何在教学中渗透数学基本思想呢?
一、初中生需感悟的数学基本思想
原东北师范大学校长史宁中指出:“数学基本思想主要指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想.”由数学基本思想派生出来的基本思想很多,但初中阶段学生最需了解转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等四种数学基本思想.
二、教师如何在教学中渗透数学基本思想
2011版《数学课程标准》指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想.”所以,教学中渗透数学基本思想,这并非一招一日之功,需要在“过程”上着手.
(一)在概念中渗透数学基本思想
在教学中,教师应挖掘概念中的数学思想,在过程中渗透数学思想,在总结中提炼数学思想.如:相反数和绝对值的概念的教学,教师应先挖掘出概念中的数形结合思想,通过学生画数轴,感受点表示的数的位置特征,这便具有了几何意义,其后,提炼互为相反数的两个数在数轴上实质是它们到原点的距离相等,方向相反.一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.对于学生“求绝对值等于5的数有几个?”这样问题的答案就很清楚很具体,便于学生理解和掌握.又如,乘方的概念是把未知的乘方转化与化归为已知的乘法问题来解决,概念中蕴含了转化与化归的思想,概念通过上述方法的学习,肯定能收到事半功倍的效果.
(二)在公式、法则、性质中渗透数学基本思想
新课程“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开,也就是说,公式、法则、性质等的教学应让学生去阅读、观察比较、发现规律、得出结论,要揭示数学的形成过程和数学基本思想.如:不等式的性质中蕴含分类讨论思想,我以不等式性质的教学为例,做如下设计:
问题1:将不等式5>2的两边都加上(或减去)同一个数,比较所得结果的大小,用“>”“<”或“=”号填空:
观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式具有什么性质吗?
思考:如果加上(或减去)的是同一个整式,上述结论还成立吗?
问题2:将不等式5>2的两边都乘以(或除以)同一个数,比较所得结果的大小,用“>”“<”或“=”号填空:
观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式还具有什么性质吗?
学生在整个性质的探索过程中,进行分类、归纳,感悟了数学中的分类讨论思想.如果在公式、法则、性质的推导过程中,老师的问题分类引导准确,学生自然会参与其中,那么学生观察、探索和逐步感悟数学思想的能力一定会提高.
(三)在例题、习题中渗透数学基本思想
例题、习题的教学是学生假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程,为了让学生积极参与“过程”,感悟数学思想,设计例题、习题采用“鹰架”理论,搭建脚手架,分步完成.举几个例子说明:
例1:(1)一个等腰三角形中,顶角为 50°,求另外两个角是多少度?
(2)一个等腰三角形中,一个角为 50°,求另外两个角是多少度?
(3)一个等腰三角形中,一个角为100°,求另外两个角是多少度?
例2:(1)一个等腰三角形中,底边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?
(2)一个等腰三角形中,一边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?
(3)一个等腰三角形中,一边长为2,一边长为4,求等腰三角形的周长?
题目由“顶角”变式成“一个角”,“底边”变式成“一边”,设计有梯度的问题,学生自然会把已知角按顶角或底角分类,已知边按底边或腰分类.所以设计针对性的分步问题,对于学生感悟数学思想至关重要.
(四)在小结和复习中提炼概括数学基本思想
由于同一内容可表现为不同的数学思想,而同一数学思想又常常分布在许多不同的知识点里,因此,在单元小结或复习时,对数学思想应做系统的提炼概括.例如:在学完二元一次方程组、三元一次方程组、分式方程、一元二次方程后,老师可提炼概括这些方程组和方程都可以运用转化与化归思想,把它们等价或非等价转化成一元一次方程求解.
总之,数学教学中让学生感悟数学基本思想应不是一种形式,教师要将数学思想内化成自己的知识并建构成自己的教学观,它应当渗透到教材的各个方面和教学的各个环节.但也不能只重视了数学思想的教学,而又忽视了数学知识和方法的教学,它们互不矛盾,相辅相成.数学课程中的基本思想写入2011版《数学课程标准》尚属初出茅庐,需要分析、研究、尝试、探求的空间很大,让我们以积极的心态共同为之努力.
一、初中生需感悟的数学基本思想
原东北师范大学校长史宁中指出:“数学基本思想主要指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想.”由数学基本思想派生出来的基本思想很多,但初中阶段学生最需了解转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等四种数学基本思想.
二、教师如何在教学中渗透数学基本思想
2011版《数学课程标准》指出:“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.学生在积极参与教学活动的过程中,通过独立思考、合作交流,逐步感悟数学思想.”所以,教学中渗透数学基本思想,这并非一招一日之功,需要在“过程”上着手.
(一)在概念中渗透数学基本思想
在教学中,教师应挖掘概念中的数学思想,在过程中渗透数学思想,在总结中提炼数学思想.如:相反数和绝对值的概念的教学,教师应先挖掘出概念中的数形结合思想,通过学生画数轴,感受点表示的数的位置特征,这便具有了几何意义,其后,提炼互为相反数的两个数在数轴上实质是它们到原点的距离相等,方向相反.一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离.对于学生“求绝对值等于5的数有几个?”这样问题的答案就很清楚很具体,便于学生理解和掌握.又如,乘方的概念是把未知的乘方转化与化归为已知的乘法问题来解决,概念中蕴含了转化与化归的思想,概念通过上述方法的学习,肯定能收到事半功倍的效果.
(二)在公式、法则、性质中渗透数学基本思想
新课程“以学生为主体”的教育观念要求教学过程要在探究活动中展开,也就是说,公式、法则、性质等的教学应让学生去阅读、观察比较、发现规律、得出结论,要揭示数学的形成过程和数学基本思想.如:不等式的性质中蕴含分类讨论思想,我以不等式性质的教学为例,做如下设计:
问题1:将不等式5>2的两边都加上(或减去)同一个数,比较所得结果的大小,用“>”“<”或“=”号填空:
观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式具有什么性质吗?
思考:如果加上(或减去)的是同一个整式,上述结论还成立吗?
问题2:将不等式5>2的两边都乘以(或除以)同一个数,比较所得结果的大小,用“>”“<”或“=”号填空:
观察上面的式子,类比等式的基本性质,你能归纳出不等式还具有什么性质吗?
学生在整个性质的探索过程中,进行分类、归纳,感悟了数学中的分类讨论思想.如果在公式、法则、性质的推导过程中,老师的问题分类引导准确,学生自然会参与其中,那么学生观察、探索和逐步感悟数学思想的能力一定会提高.
(三)在例题、习题中渗透数学基本思想
例题、习题的教学是学生假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程,为了让学生积极参与“过程”,感悟数学思想,设计例题、习题采用“鹰架”理论,搭建脚手架,分步完成.举几个例子说明:
例1:(1)一个等腰三角形中,顶角为 50°,求另外两个角是多少度?
(2)一个等腰三角形中,一个角为 50°,求另外两个角是多少度?
(3)一个等腰三角形中,一个角为100°,求另外两个角是多少度?
例2:(1)一个等腰三角形中,底边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?
(2)一个等腰三角形中,一边长为3,一边长为4,求等腰三角形的周长?
(3)一个等腰三角形中,一边长为2,一边长为4,求等腰三角形的周长?
题目由“顶角”变式成“一个角”,“底边”变式成“一边”,设计有梯度的问题,学生自然会把已知角按顶角或底角分类,已知边按底边或腰分类.所以设计针对性的分步问题,对于学生感悟数学思想至关重要.
(四)在小结和复习中提炼概括数学基本思想
由于同一内容可表现为不同的数学思想,而同一数学思想又常常分布在许多不同的知识点里,因此,在单元小结或复习时,对数学思想应做系统的提炼概括.例如:在学完二元一次方程组、三元一次方程组、分式方程、一元二次方程后,老师可提炼概括这些方程组和方程都可以运用转化与化归思想,把它们等价或非等价转化成一元一次方程求解.
总之,数学教学中让学生感悟数学基本思想应不是一种形式,教师要将数学思想内化成自己的知识并建构成自己的教学观,它应当渗透到教材的各个方面和教学的各个环节.但也不能只重视了数学思想的教学,而又忽视了数学知识和方法的教学,它们互不矛盾,相辅相成.数学课程中的基本思想写入2011版《数学课程标准》尚属初出茅庐,需要分析、研究、尝试、探求的空间很大,让我们以积极的心态共同为之努力.