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概率是高中数学新课程中不断增加的内容，这部分内容由于问题情境源于实际，贴近生活，所以大家乐学且易于接受；但这部分内容由于易混点多，重复、遗漏情况不易察觉，同学们感觉易做但易错，在解题时，常出现概念理解不到位、解题思路不灵活、考虑问题不全面等问题.下面我们把常出现的错误列举出来，并加以辨析，以期对同学们的学习提供帮助．
一、对互斥、对立概念理解模糊致错
例1 某家庭电话在家有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？
错解 记电话响第1声时被接为[A]事件，响第2声时被接为[B]事件，响第3声时被接为[C]事件，响第4声时被接为[D]事件，
∵[A、B、C、D]四事件不可能同时发生，即彼此互斥，
∴电话在响前4声内被接的概率是
[P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P（C)+P(D)]
=0.1＋0.3＋0.4＋0.1．
错因 解法考虑了[A、B、C、D]这四种事件只有一个发生，彼此互斥，却忽略了“当[B]事件发生时需[A]事件不发生，当[C]事件发生时需[A、B]两事件不发生，当[D]事件发生时需[A、B、C]三事件不发生”这一隐含条件，故解法是错的．
正解 记电话响第1声时被接为[A]事件，响第2声时被接为[B]事件，响第3声时被接为[C]事件，响第4声时被接为[D]事件，则电话在响前4声内被接共分以下四种情况：
[A]，[A⋅B]，[A⋅B⋅C]，[A⋅B⋅C⋅D]，
且上述四种情况彼此互斥，
∴电话在响前4声内被接的概率是
[P=P(A]＋[A⋅B]＋[A⋅B⋅C]＋[A⋅B⋅C⋅D]）
[=P(A]）＋[P(A⋅B]）＋[P(A⋅B⋅C]）
＋[P(A⋅B⋅C⋅D]）
＝0.1＋0.9×0.3＋0.9×0.7×0.4＋0.9×0.7
×0.6×0.1＝0.6598.
同学们在解题时，一定要认真分析题意，注意挖掘题中的隐含条件，并且结合实际情况，找出正确的解法．
二、对有序、无序的理解模糊致错
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题．
求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
错解 （1）甲从选择题抽到一题的结果为[C16]，乙从判断题中抽到一题的结果为[C14]，而甲、乙依次抽到一题的结果为[C210]，所求概率为[C16C14C210=815].
（2）从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为[C24]种，所以都抽到判断题的概率为[C24C110C19=115]，所求事件的概率为[1-115=1415]．
错因 甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，因而是一个有序的问题，要分步完成．在（1）中甲抽取一道题目的结果应为[C110]种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为[C19]种，所以所求事件的概率为[C16C14C110C19=415]．
（2）指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都抽到判断题的结果应为[C24]种，所以所求事件概率应为[1-C24C210=215]．
这里启示我们，当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序．关键在于基本事件认识角度必须准确．
三、混淆有放回与不放回致错
例3 某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：
（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
（2）恰好到第[k]次3只次品全部被测出的概率[f(k)]的最大值和最小值．
错解 （1）[P(A)=310⋅29⋅78⋅57⋅16=1144.]
（2）[P5(3)=C35310⋅(1-310)2=0.21]．
错因 （1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的； “有放回摸球”问题前后不变是独立事件，而“不放回摸球”每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）因而是不独立的事件．本题还容易出现混淆有序与无序而导致的错误，如（1）中[P=C13⋅C27C510=14]．
在解题时要分清“有序”还是“无序”．以免“重复”或“漏算”，注意题目条件的表述，“依次摸出”“先后摸出”则有序，若“一次摸出”“同时摸出”则无序，注意区分“有放回”与“不放回”．
四、分步与分类不清致错
例4 某人有4把钥匙，其中两把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
错解 （1）[C12⋅C12C24=46=23]．
（2）[P=C12⋅C124×4=14]．
错因 此人第2次打开房门实际是第1次未打开，第2次打开 “这两个事件的积事件” ，或者理解为“开房门是经过未开、开”这两个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤.
在第一种的条件下，第1次未打开房门的概率为[24]；第2次打开房门的概率为[23]；所求概率为[P=24×23=13]；第二种条件下，第一次不开的概率是[24]，第二次打开的概率也是[24]，则所求的概率为[P=24×24=14]．第一种条件下也可解为[P=C12⋅C12A24][=412=13].在解题时要考虑分步还是分类的了，同时基本事件和总体事件分析的标准要一致．
五、审题不清致错
例5 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．
（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．
错解 （1）（略）[P(A)=13];（2）可以分为以下四个互斥事件：即2号门—1号门，2号门—3号门—1号门，3号门—1号门，3号门—2号门—1号门，根据等可能性事件概率的计算，每个事件发生的概率均为[1A33=16]，所以所求的概率为[4×16=23]．
错因 对于（2）中错误的原因是没有注意到题目条件是“超过3小时”，而完成事件“2号门——1号门”恰好需要3小时，设[B]表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则[P(B)=16+16+16=12]．因而审题要细心，要走进生活中去，全面地分析问题．
概率的知识在高中属于基础内容，要求不是很高，但实际应用性较强．在学习中要加强基本概念的学习，对于每个概率问题应首先搞清它的类型，一般问题中总有些关键语句说明其类型，不同类型采用不同的计算方法，区别理解概念的实质是学好概率的关键．
一、对互斥、对立概念理解模糊致错
例1 某家庭电话在家有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？
错解 记电话响第1声时被接为[A]事件，响第2声时被接为[B]事件，响第3声时被接为[C]事件，响第4声时被接为[D]事件，
∵[A、B、C、D]四事件不可能同时发生，即彼此互斥，
∴电话在响前4声内被接的概率是
[P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P（C)+P(D)]
=0.1＋0.3＋0.4＋0.1．
错因 解法考虑了[A、B、C、D]这四种事件只有一个发生，彼此互斥，却忽略了“当[B]事件发生时需[A]事件不发生，当[C]事件发生时需[A、B]两事件不发生，当[D]事件发生时需[A、B、C]三事件不发生”这一隐含条件，故解法是错的．
正解 记电话响第1声时被接为[A]事件，响第2声时被接为[B]事件，响第3声时被接为[C]事件，响第4声时被接为[D]事件，则电话在响前4声内被接共分以下四种情况：
[A]，[A⋅B]，[A⋅B⋅C]，[A⋅B⋅C⋅D]，
且上述四种情况彼此互斥，
∴电话在响前4声内被接的概率是
[P=P(A]＋[A⋅B]＋[A⋅B⋅C]＋[A⋅B⋅C⋅D]）
[=P(A]）＋[P(A⋅B]）＋[P(A⋅B⋅C]）
＋[P(A⋅B⋅C⋅D]）
＝0.1＋0.9×0.3＋0.9×0.7×0.4＋0.9×0.7
×0.6×0.1＝0.6598.
同学们在解题时，一定要认真分析题意，注意挖掘题中的隐含条件，并且结合实际情况，找出正确的解法．
二、对有序、无序的理解模糊致错
例2 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题．
求：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
错解 （1）甲从选择题抽到一题的结果为[C16]，乙从判断题中抽到一题的结果为[C14]，而甲、乙依次抽到一题的结果为[C210]，所求概率为[C16C14C210=815].
（2）从对立事件考虑，甲、乙都抽到判断题的结果为[C24]种，所以都抽到判断题的概率为[C24C110C19=115]，所求事件的概率为[1-115=1415]．
错因 甲、乙依次从10个题目各抽一题的结果，应当是先选后排，因而是一个有序的问题，要分步完成．在（1）中甲抽取一道题目的结果应为[C110]种，乙再抽取余下的9道题中的任一道的结果应为[C19]种，所以所求事件的概率为[C16C14C110C19=415]．
（2）指定事件中指明甲、乙依次各抽一题，那么甲、乙都抽到判断题的结果应为[C24]种，所以所求事件概率应为[1-C24C210=215]．
这里启示我们，当基本事件是有序的，则指定事件是有序的（指定事件包含在基本事件中）；当基本事件是无序的，则指定事件也必无序．关键在于基本事件认识角度必须准确．
三、混淆有放回与不放回致错
例3 某产品有3只次品，7只正品，每次取1只测试，取后不放回，求：
（1）恰好到第5次3只次品全部被测出的概率；
（2）恰好到第[k]次3只次品全部被测出的概率[f(k)]的最大值和最小值．
错解 （1）[P(A)=310⋅29⋅78⋅57⋅16=1144.]
（2）[P5(3)=C35310⋅(1-310)2=0.21]．
错因 （1）的错误的原因在于忽视了“不放回摸球”问题的每一次摸球是不独立的； “有放回摸球”问题前后不变是独立事件，而“不放回摸球”每一次摸球袋内球的总数是变的（比前一次少一个）因而是不独立的事件．本题还容易出现混淆有序与无序而导致的错误，如（1）中[P=C13⋅C27C510=14]．
在解题时要分清“有序”还是“无序”．以免“重复”或“漏算”，注意题目条件的表述，“依次摸出”“先后摸出”则有序，若“一次摸出”“同时摸出”则无序，注意区分“有放回”与“不放回”．
四、分步与分类不清致错
例4 某人有4把钥匙，其中两把能打开门，现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
错解 （1）[C12⋅C12C24=46=23]．
（2）[P=C12⋅C124×4=14]．
错因 此人第2次打开房门实际是第1次未打开，第2次打开 “这两个事件的积事件” ，或者理解为“开房门是经过未开、开”这两个步骤，不能理解为此事件只有“开房门”这一个步骤.
在第一种的条件下，第1次未打开房门的概率为[24]；第2次打开房门的概率为[23]；所求概率为[P=24×23=13]；第二种条件下，第一次不开的概率是[24]，第二次打开的概率也是[24]，则所求的概率为[P=24×24=14]．第一种条件下也可解为[P=C12⋅C12A24][=412=13].在解题时要考虑分步还是分类的了，同时基本事件和总体事件分析的标准要一致．
五、审题不清致错
例5 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门，再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．
（1）求走出迷宫时恰好用了1小时的概率；
（2）求走出迷宫的时间超过3小时的概率．
错解 （1）（略）[P(A)=13];（2）可以分为以下四个互斥事件：即2号门—1号门，2号门—3号门—1号门，3号门—1号门，3号门—2号门—1号门，根据等可能性事件概率的计算，每个事件发生的概率均为[1A33=16]，所以所求的概率为[4×16=23]．
错因 对于（2）中错误的原因是没有注意到题目条件是“超过3小时”，而完成事件“2号门——1号门”恰好需要3小时，设[B]表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则[P(B)=16+16+16=12]．因而审题要细心，要走进生活中去，全面地分析问题．
概率的知识在高中属于基础内容，要求不是很高，但实际应用性较强．在学习中要加强基本概念的学习，对于每个概率问题应首先搞清它的类型，一般问题中总有些关键语句说明其类型，不同类型采用不同的计算方法，区别理解概念的实质是学好概率的关键．