我们知道二次函数ｙ ＝ a（ｘ － ｈ）２ ＋ ｋ（ａ ≠ ０）.当ｘ ＝ ｈ时，有最大（小）值 ｙ ＝ ｋ，其实这是指二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 在一些实际问题中，自变量的取值范围往往不是全体实数，它的最值也不一定都在顶点位置，现举几例，供同学们学习时参考.
　　 例１ 有长２４ ｍ的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为１０ ｍ）围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽ＡＢ为ｘ，面积为ｙ，求花圃的最大面积.
　　 解 由ＡＢ ＝ ｘ知ＢＣ ＝ ２４ － ３x（０ ＜ ２４ － ３ｘ ≤ １０，即≤ ｘ ＜ ８）.
　　
　　 当ｘ ＞ ４时，ｙ随ｘ的增大而减小，
　　 ∴ ｘ ＝ 时，ｙ有最大值ｙ ＝ －３（ － ４）２ ＋ ４８ ＝. 即花圃的最大面积为ｍ２.
　　 例２ （杭州市竞赛题）已知ｋ为实数，求方程ｘ２ － （ｋ － ２）ｘ ＋ （ｋ２ ＋ ３ｋ ＋ ５） ＝ ０两实根平方和的最大值和最小值.
　　
　　所以 －４ ≤ ｋ ≤ －.
　　 此时抛物线顶点不在自变量的取值范围内，而当ｋ ≥ －５时，ｙ随ｋ的增大而减小.
　　 ∴当ｋ ＝ －４时，ｙ有最大值 －（－４ ＋ ５）２ ＋ １９ ＝ １８.
　　 当ｋ ＝ － 时，ｙ有最小值 －（－ ＋ ５）２ ＋ １９ ＝ .
　　 ∴原方程两实根的平方和的最大值为１８，最小值为 .
　　 例３ 如图２，已知长、宽分别为ａ，ｂ（ａ＞ｂ）的矩形ＡＢＣＤ中，截得?荀ＨＥＦＧ，使得ＡＥ＝ＡＨ＝ＣＦ＝ＣＧ，求?荀ＥＦＧＨ面积的最大值.
　　 解 设ＡＨ ＝ x，?荀ＨＥＦＧ的面积为ｙ，则
　　 y ＝ ａｂ － ２ וx － ２ －（ａ － ｘ）（ｂ － ｘ） ＝ －２ｘ２ ＋ （ａ ＋ ｂ）ｘ＝
　　
　　 ｂ ＜ ａ ＜ ３ｂ（抛物线顶点在自变量取值范围内如图３）
　　 x ＝时，ｙ的最大值为 .
　　 （２）若≥ ｂ，即ａ ＞ ３ｂ. （抛物线的顶点不在自变量的取值范围内，如图４）
　　 当ｘ ≤时，ｙ随ｘ的增
　　大而增大，ｘ ＝ ｂ时有最大值ａｂ － ｂ２.
　　 综上所述，若ｂ ＜ ａ ≤ ３ｂ，当ｘ ＝时，平行四边形ＥＦＧＨ的最大面积为 ，若ａ ＞ ３ｂ，当ｘ ＝ ｂ时，平行四边形ＥＦＧＨ的最大面积为ａｂ － ｂ２.
　　 从以上几例可知，对于一些实际问题，其自变量的取值范围不一定是全体实数，用二次函数求最值时，我们首先确定自变量取值范围，并判定其顶点是否在自变量的取值范围内，若在，其最大值或最小值就是顶点的纵坐标；若不在，则应根据二次函数在自变量取值范围内的增减性来确定其最大值或最小值，千万不可盲目使用顶点公式求最值.
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”