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“构造”是数学家们常用的思想方法，譬如当一个实际问题需要数学家帮助解决时，他将首先通过抽象分析，去构造一个数学模型，并希望通过数学模型的处理，对这项实际问题的解决有所裨益。其实在中学数学中，“构造”同样是一种重要的思想方法。
所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。
构造法体现了数学发现的思想。因为解决问题同获得知识一样，首先得感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。
构造法体现了类比的思想，为了找出解题的途径很自然地要联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象。
构造法体现了化归的思想。把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化归为已有的认识，就自然形成了构造模型的手段。
构造法在解题过程中的思维模式可用下图表示：
构造法解题的目的是：简化运算量，探索最佳解，发挥创造性，加强知识间的纵横关系，从而激发学生浓厚的学习兴趣，提高分析问题和解决问题的能力。
下面，通过一些常见类型的题例，对构造法作进一步的更为细致的分类介绍。
1、构造函数
有些问题可以从中找出作为自变量的因素或是可以表示成某一变量的函数，这时就可以构造一个或几个函数，从而能利用函数的性质使问题得解。构造数列亦为构造函数。其实，所遇到的大量的极值问题，都是构造二次函数、三角函数去求解。
例1，平面上有n条直线，例2，两两相交，例3，但无三线共点，例4，求这条m直线能把平面分成几部分？
分析：显然结论与有关，因此，考虑设平面被分为部分数的n的函数f（n）。容易想到第n条直线画出后是在前n-1条直线所分平面的部分数的基础上，又增加了部分，因而有f（n）=f（n-1）+1又得出f（1）=2，若f（0）=1（即不画直线时为一部分），有f（1）=f（0）+1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，……，f（n-1）=f（n-2+（n-1），f（n）=f（n-1）+n，可得f（n）=+1，问题得到解决。
有些问题中虽然也出现函数式，但对解题的作用不够明显，因此也可以重新构造函数。
对某些问题，若能充分利用题中潜在的变化关系，构造函数模型，常可避繁就简，打破常规，出奇制胜。
2、构造法在几何上的应用
（1）构造图形
在解立体几何习题时，在第一步就经常产生困难。为了给出相应的图形，必须具有很好的空间想象力。如果涉及的是我们日常生活中遇到的几何体（立方体、球体、圆柱、平行六面体）等，这些对象是容易想象的，描绘它们也是简单的，但有些图形要描绘则是相当困难的，例4 两直线在同一平面内的射影有哪几种情况？
分析：构造正方体ABCD-A1B1C1D1，利用这一几何模型来考虑图形的各种可能性及判断命题的真假性是很方便的。
解：两直线在同一平面内的射影可能为两相交直线、两平行直线、一直线、一直线与直线外一点、两点共五种情况。
（2）几何模型
有些问题，若能挖掘或赋予其几何背景，巧妙地构造几何模型，可获简捷，直观的证明。
3、构造复数模型
有些问题在实数范围内解决很困难，可构造复数模型，利用复数的有关知识，解决问题。
例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：
（1）b≠0时，tg3A=；
（2）（1+2cos2A）2=a2+b2
证明：构造Z=cosA+isinA，则zz=1，且
b+ai=z+z3+z5=z3（z2+1+z2）=（cos3A+isin3A）（1+2cos2A）.
当时（1+2cos2A）>0，b+ai的辐角为3A，所以tg3A=；
当（1+2cos2A）<0时，b+ai=[-（1+2cos2A）][cos（ +3A）+isin（ +3A）]，所以b+ai的辐角为（ +3A），tg3A=tg（ +3A）=，|b+ai|=|1+2cos2A|=，所以（1+2cos2A）2=a2+b2
4、构造方程
方程是数学中的一个十分重要的内容，是解决数学问题的重要工具。很多数学问题粗看起来无从下手或用一般的方法去解决很困难，而通过用方程的知识来解决却显得十分简捷，可通过构造方程模型证题。
例4、设AM是中BC边上的中线，任作一直线分别交AB，AC，AM于P，Q，N.求证：， ，成等差数列.
分析：利用关系S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC，构造方程模型：
由三角形的面积关系及MB=MC.易得：
则是三元齐次方程组
的非零解，故其系数行列式等于零.即
展开整理得：bc（2pqm-cqn-bpn）=0，所以+=，即+=.因此， ， 成等差数列。
5、构造组合模型
当直接运用题设条件难以证题时，不妨把所考虑的问题置于特定的背景下，构造组合模型，往往可得到简洁、巧妙的证明。
例5、求证：
分析：此题是范得蒙等式的特例，若从组合数公式或数学归纳法入手，思维必然受挫，分析等式左边的一般项CC，可构造如下的组合模型：有甲、乙两只袋，甲袋中有100个红球，乙袋中有200个白球，从甲、乙两袋中共取出50个球，其取法总数为，而这件事情就相当于将这两种球放在一只袋中，从300个球里任取50个的取法总数C，所以原等式成立。
例6.从1，2，3，，14按由小到大的顺序取出a1a2a3，使同时满足a2-a1≥3，a3-a2≥3，试证符合上述要求的不同取法有C种。
分析：本题不妨令x=a1-1，y=a2-a1-3，z=a3-a2-3，u=14-a3，则问题等价于求方程x+y+z+u=7的非负整数解的组数。若视7为七个相同的小球，x，y，z，u看作四个不同的不盒，由此构造组合模型，于是上问题即为求七个小球投入4个小盒的投法种数，显然是C=C。
（作者单位：襄阳职业技术学院公共课部）
所谓构造法，其实质就是运用数学的基本思想，经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型，从而使问题得以解决。
构造法体现了数学发现的思想。因为解决问题同获得知识一样，首先得感知它，要通过仔细地观察、分析，去发现问题的各个环节以及其中的联系，从而为寻求解法创造条件。
构造法体现了类比的思想，为了找出解题的途径很自然地要联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从而为构造模型提供了参照对象。
构造法体现了化归的思想。把一个个零散的发现由表及里，由浅入深地集中和联系起来，通过恰当的方法加以处理化归为已有的认识，就自然形成了构造模型的手段。
构造法在解题过程中的思维模式可用下图表示：
构造法解题的目的是：简化运算量，探索最佳解，发挥创造性，加强知识间的纵横关系，从而激发学生浓厚的学习兴趣，提高分析问题和解决问题的能力。
下面，通过一些常见类型的题例，对构造法作进一步的更为细致的分类介绍。
1、构造函数
有些问题可以从中找出作为自变量的因素或是可以表示成某一变量的函数，这时就可以构造一个或几个函数，从而能利用函数的性质使问题得解。构造数列亦为构造函数。其实，所遇到的大量的极值问题，都是构造二次函数、三角函数去求解。
例1，平面上有n条直线，例2，两两相交，例3，但无三线共点，例4，求这条m直线能把平面分成几部分？
分析：显然结论与有关，因此，考虑设平面被分为部分数的n的函数f（n）。容易想到第n条直线画出后是在前n-1条直线所分平面的部分数的基础上，又增加了部分，因而有f（n）=f（n-1）+1又得出f（1）=2，若f（0）=1（即不画直线时为一部分），有f（1）=f（0）+1，f（2）=f（1）+2，f（3）=f（2）+3，……，f（n-1）=f（n-2+（n-1），f（n）=f（n-1）+n，可得f（n）=+1，问题得到解决。
有些问题中虽然也出现函数式，但对解题的作用不够明显，因此也可以重新构造函数。
对某些问题，若能充分利用题中潜在的变化关系，构造函数模型，常可避繁就简，打破常规，出奇制胜。
2、构造法在几何上的应用
（1）构造图形
在解立体几何习题时，在第一步就经常产生困难。为了给出相应的图形，必须具有很好的空间想象力。如果涉及的是我们日常生活中遇到的几何体（立方体、球体、圆柱、平行六面体）等，这些对象是容易想象的，描绘它们也是简单的，但有些图形要描绘则是相当困难的，例4 两直线在同一平面内的射影有哪几种情况？
分析：构造正方体ABCD-A1B1C1D1，利用这一几何模型来考虑图形的各种可能性及判断命题的真假性是很方便的。
解：两直线在同一平面内的射影可能为两相交直线、两平行直线、一直线、一直线与直线外一点、两点共五种情况。
（2）几何模型
有些问题，若能挖掘或赋予其几何背景，巧妙地构造几何模型，可获简捷，直观的证明。
3、构造复数模型
有些问题在实数范围内解决很困难，可构造复数模型，利用复数的有关知识，解决问题。
例3、已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，求证：
（1）b≠0时，tg3A=；
（2）（1+2cos2A）2=a2+b2
证明：构造Z=cosA+isinA，则zz=1，且
b+ai=z+z3+z5=z3（z2+1+z2）=（cos3A+isin3A）（1+2cos2A）.
当时（1+2cos2A）>0，b+ai的辐角为3A，所以tg3A=；
当（1+2cos2A）<0时，b+ai=[-（1+2cos2A）][cos（ +3A）+isin（ +3A）]，所以b+ai的辐角为（ +3A），tg3A=tg（ +3A）=，|b+ai|=|1+2cos2A|=，所以（1+2cos2A）2=a2+b2
4、构造方程
方程是数学中的一个十分重要的内容，是解决数学问题的重要工具。很多数学问题粗看起来无从下手或用一般的方法去解决很困难，而通过用方程的知识来解决却显得十分简捷，可通过构造方程模型证题。
例4、设AM是中BC边上的中线，任作一直线分别交AB，AC，AM于P，Q，N.求证：， ，成等差数列.
分析：利用关系S△ABC=S△ABM+S△ACM，S△APQ=S△APN+S△AQN，S△ABM=S△AMC，构造方程模型：
由三角形的面积关系及MB=MC.易得：
则是三元齐次方程组
的非零解，故其系数行列式等于零.即
展开整理得：bc（2pqm-cqn-bpn）=0，所以+=，即+=.因此， ， 成等差数列。
5、构造组合模型
当直接运用题设条件难以证题时，不妨把所考虑的问题置于特定的背景下，构造组合模型，往往可得到简洁、巧妙的证明。
例5、求证：
分析：此题是范得蒙等式的特例，若从组合数公式或数学归纳法入手，思维必然受挫，分析等式左边的一般项CC，可构造如下的组合模型：有甲、乙两只袋，甲袋中有100个红球，乙袋中有200个白球，从甲、乙两袋中共取出50个球，其取法总数为，而这件事情就相当于将这两种球放在一只袋中，从300个球里任取50个的取法总数C，所以原等式成立。
例6.从1，2，3，，14按由小到大的顺序取出a1a2a3，使同时满足a2-a1≥3，a3-a2≥3，试证符合上述要求的不同取法有C种。
分析：本题不妨令x=a1-1，y=a2-a1-3，z=a3-a2-3，u=14-a3，则问题等价于求方程x+y+z+u=7的非负整数解的组数。若视7为七个相同的小球，x，y，z，u看作四个不同的不盒，由此构造组合模型，于是上问题即为求七个小球投入4个小盒的投法种数，显然是C=C。
（作者单位：襄阳职业技术学院公共课部）