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韦达定理是中学数学的一个重要内容,其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终。利用一元二次方程根与系数关系的韦达定理解题的方法叫韦达定理法。在平面解析几何中，韦达定理法是解决其习题的主要技巧之一。在教学中通过一些典型例题的分析,可以培养学生严谨的解题习惯和提高学生解决问题的能力。本文通过教学体会，着重探讨了如何通过韦达定法理解决解析几何习题中的有关问题。
一、利用韦达定理法解决关于弦中点的问题
在处理圆锥曲线中特殊点的轨迹方程时，若能灵活利用韦达定理法来求解会带来很大的方便。
例1.过椭圆+=1内一定点（1，0）引弦，求该弦的中点的轨迹方程。
解：设过点（1，0）的弦所在的直线方程为y=k（x-1），弦的中点坐标为P（x0，y0），则得方程组：y=k（x-1）+=1消去y，并整理后得：
（9k2+4）x2-18k2x+9k2-36=0。
根据韦达定理可得x1+x2=
因此中点P的坐标为x0==，y0=k（x0-1）=
所以=-k，由此可得k=-。将k=-代入y0=k（x0-1）中得y0=-（x0-1），整理后得4x02+9y02-4x0=0
将x0、y0分别换成x、y，故所求轨迹方程为4x2+9y2-4x=0。
二、利用韦达定理法解决关于弦长的问题
弦长问题在解析几何中是一个典型常见的问题，解决此类问题时韦达定理法常常起到关键的作用。
例2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得弦长为，求该抛物线的方程。
解：设抛物线的方程为y2=2px，将y=2x+1代入上抛物线方程中得（2x+1）2=2px，整理后得4x2+2（2-p）x+1=0。
∵△=[2（2-p）]2-4×4×1>0∴p<0或p>4。
设直线与抛物线的两交点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理有x1+x2=（p-2），x1x2=
∵│AB│==
==。
∴= 解得p1=-2，p2=6
故所求的抛物线方程为y2=-4x或y2=12x。
三、利用韦达定理法解决坐标关系式问题
在处理有关坐标关系的习题时，若能巧用韦达定理法来解题往往会取得事半功倍的效果。
例3.已知点M（x1，y1）在第一象限，过点M的两个圆与两坐标轴都相切，且它们的半径分别为r1、r2，求证：r1•r2=x12+y12。
证明：设过M的两个圆分别为⊙O1、⊙O2。
∵两圆均与坐标轴相切，则它们的方程分别为：
（x-r1）2+（y-r1）2=r12，（x-r2）2+（y-r2）2=r22
又∵点M（x1，y1）均在这两圆上，
∴（x1-r1）2+（y1-r1）2=r12，（x1-r2）2+（y1-r2）2=r22
即r12-2（x1+y1）r1+x12+y12=0，r22-2（x1+y1）r2+x12+y12=0
由此可知，r1、r2是方程r2-2（x1+y1）r+x12+y12=0的两个根。
于是根据韦达定理可得:r1•r2=x12+y12。
四、利用韦达定理法解决直线垂直问题
对于解题过程中出现一元二次方程的情况，若能巧妙应用韦达定理法，会让过程变得更简洁。
例4.求证自点P（4，2）作圆x2+y2=10的两条切线互相垂直。
证明：设切线方程是y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0。
∵圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式得=，整理后得3k2-8k-3=0，
∴该方程的两根k1、k2即是两切线的斜率。
由韦达定理得k1•k2=-1。
所以两切线互相垂直。
五、利用韦达定理法解决线段关系问题
线段关系问题在圆锥曲线习题中也是一种常见的题型，利用参数方程和韦达定理法相结合的方法求解可以起到化难为易，化繁为简的良好效果。
例5.在抛物线y2=2px+p2（p>0）中，设有过原点且相互垂直的两条直线，分别交曲线于A、B和C、D四点，问何时|AB|+|CD|为最小？
解：设直线AB的参数方程为x=tcosθy=tsinθ（t为参数）
直线CD的参数方程为x=-tsinθy=tcosθ（t为参数）
分别代入y2=2px+p2中，得t2sin2θ-2ptcosθ-p2=0，
t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0
则|AB|=，|CD|=，∴|AB|+|CD|=2p（+）=
当sin2θ=±1，即θ=或θ=时，（|AB|+|CD|）min=8p。
综上所述，利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而实现解题的简化运算。特别在解析几何中研究直线和曲线的位置关系等问题时，韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用。因此在教学中我们要抓住韦达定理法这一解题工具，适时加强学生的解题意识，拓宽学生的解题思路。这样不仅可以提高学生运算能力，还可增强思维的灵活性，从而提高学生的数学综合能力。
【参考文献】
[1]贾士代.《中学数学方法与解题能力培养》.首都师范大学出版社.1996
[2]翟连林.《平面解析几何一题多解》.北京出版社.1996
[3]刘兼、黄翔.《数学新课程与数学学习》.高等教育出版社.2003
（作者单位：广东省江门幼儿师范学校）
一、利用韦达定理法解决关于弦中点的问题
在处理圆锥曲线中特殊点的轨迹方程时，若能灵活利用韦达定理法来求解会带来很大的方便。
例1.过椭圆+=1内一定点（1，0）引弦，求该弦的中点的轨迹方程。
解：设过点（1，0）的弦所在的直线方程为y=k（x-1），弦的中点坐标为P（x0，y0），则得方程组：y=k（x-1）+=1消去y，并整理后得：
（9k2+4）x2-18k2x+9k2-36=0。
根据韦达定理可得x1+x2=
因此中点P的坐标为x0==，y0=k（x0-1）=
所以=-k，由此可得k=-。将k=-代入y0=k（x0-1）中得y0=-（x0-1），整理后得4x02+9y02-4x0=0
将x0、y0分别换成x、y，故所求轨迹方程为4x2+9y2-4x=0。
二、利用韦达定理法解决关于弦长的问题
弦长问题在解析几何中是一个典型常见的问题，解决此类问题时韦达定理法常常起到关键的作用。
例2.顶点在原点，焦点在轴上的抛物线，被直线y=2x+1截得弦长为，求该抛物线的方程。
解：设抛物线的方程为y2=2px，将y=2x+1代入上抛物线方程中得（2x+1）2=2px，整理后得4x2+2（2-p）x+1=0。
∵△=[2（2-p）]2-4×4×1>0∴p<0或p>4。
设直线与抛物线的两交点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），根据韦达定理有x1+x2=（p-2），x1x2=
∵│AB│==
==。
∴= 解得p1=-2，p2=6
故所求的抛物线方程为y2=-4x或y2=12x。
三、利用韦达定理法解决坐标关系式问题
在处理有关坐标关系的习题时，若能巧用韦达定理法来解题往往会取得事半功倍的效果。
例3.已知点M（x1，y1）在第一象限，过点M的两个圆与两坐标轴都相切，且它们的半径分别为r1、r2，求证：r1•r2=x12+y12。
证明：设过M的两个圆分别为⊙O1、⊙O2。
∵两圆均与坐标轴相切，则它们的方程分别为：
（x-r1）2+（y-r1）2=r12，（x-r2）2+（y-r2）2=r22
又∵点M（x1，y1）均在这两圆上，
∴（x1-r1）2+（y1-r1）2=r12，（x1-r2）2+（y1-r2）2=r22
即r12-2（x1+y1）r1+x12+y12=0，r22-2（x1+y1）r2+x12+y12=0
由此可知，r1、r2是方程r2-2（x1+y1）r+x12+y12=0的两个根。
于是根据韦达定理可得:r1•r2=x12+y12。
四、利用韦达定理法解决直线垂直问题
对于解题过程中出现一元二次方程的情况，若能巧妙应用韦达定理法，会让过程变得更简洁。
例4.求证自点P（4，2）作圆x2+y2=10的两条切线互相垂直。
证明：设切线方程是y-2=k（x-4），即kx-y+2-4k=0。
∵圆心到切线的距离等于半径，由点到直线的距离公式得=，整理后得3k2-8k-3=0，
∴该方程的两根k1、k2即是两切线的斜率。
由韦达定理得k1•k2=-1。
所以两切线互相垂直。
五、利用韦达定理法解决线段关系问题
线段关系问题在圆锥曲线习题中也是一种常见的题型，利用参数方程和韦达定理法相结合的方法求解可以起到化难为易，化繁为简的良好效果。
例5.在抛物线y2=2px+p2（p>0）中，设有过原点且相互垂直的两条直线，分别交曲线于A、B和C、D四点，问何时|AB|+|CD|为最小？
解：设直线AB的参数方程为x=tcosθy=tsinθ（t为参数）
直线CD的参数方程为x=-tsinθy=tcosθ（t为参数）
分别代入y2=2px+p2中，得t2sin2θ-2ptcosθ-p2=0，
t2cos2θ-2ptsinθ-p2=0
则|AB|=，|CD|=，∴|AB|+|CD|=2p（+）=
当sin2θ=±1，即θ=或θ=时，（|AB|+|CD|）min=8p。
综上所述，利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元，从而实现解题的简化运算。特别在解析几何中研究直线和曲线的位置关系等问题时，韦达定理对于减少运算量，整体解决问题具有独特的作用。因此在教学中我们要抓住韦达定理法这一解题工具，适时加强学生的解题意识，拓宽学生的解题思路。这样不仅可以提高学生运算能力，还可增强思维的灵活性，从而提高学生的数学综合能力。
【参考文献】
[1]贾士代.《中学数学方法与解题能力培养》.首都师范大学出版社.1996
[2]翟连林.《平面解析几何一题多解》.北京出版社.1996
[3]刘兼、黄翔.《数学新课程与数学学习》.高等教育出版社.2003
（作者单位：广东省江门幼儿师范学校）