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【摘要】《微积分》是大学本科中一门重要的学科基础课程,其中的微分学与积分学内容是微积分的两个重要组成部分,它的基本概念是导数和微分.导数知识在许多实际问题中都有非常广泛的应用,许多数学模型均可以借助导数的方法来解决.导数概念比较抽象,使得学生学习导数时存在不少问题.这类问题需要教师在教学时深入探究.本文首先举例说明导数的概念以及相关的数学模型应用,分析学生学习导数遇到的问题,并对导数教学方法和教学内容的改革进行进一步的探讨与研究,以便学生理解、掌握导数内容.
【关键词】微积分;导数;教学方法
【基金项目】广州华商学院校内导师制项目:No.2019HSDS23
一、引 言
在现实生活和自然科学中,许多问题模型都与导数有关.本文首先给出导数概念,并通过几个常见的数学模型举例说明导数的应用,再针对微积分课程中遇到的教学问题,探讨高等数学中导数的教学方法.如何使抽象的导数理论知识变得直观易懂,从而让学生学好导数,是我们要重点考虑的问题.
导数的概念:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0∈(a,b),若函数y=f(x)在x0处的差商ΔyΔx的极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx存在,则称函数y=f(x)在x0 处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在x0 处的导数,记为f′(x0),y′x=x0,dydxx=x0或df(x)dxx=x0.
二、导数应用及常见模型举例
导数与物理、几何、代数的关系密切.一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率.函数变化率反映了函数随着自变量变化而变化的快慢程度,导数的本质就是通过所学极限的概念对函数进行局部的线性逼近.下面我们列举一些函数变化率的例子,以便于读者理解函数变化率,同时使读者了解它在科学技术中的广泛应用.
1.变速直线运动的瞬时速度
问题:已知物体移动的距离随时间t的变化规律为s(t),如何由s(t)求出物体任意时刻的速度?
模型假设:变速直线运动物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)反映了路程对于时间变化的快慢程度,是质点M在这段时间的平均速度.当Δt很小时,上式可近似地表示质点在t0时刻的速度,Δt越小,近似程度越高,当Δt→0时,如果极限limΔt→0ΔsΔt存在,则这个极限值就表示了质点t0时刻的瞬时速度.
2.切线方程
问题:由解析几何知识知道,求过曲线y=f(x)上一点(x0,f(x0))的切线方程,难点是求过此点切线的斜率.
模型假设:设曲线的方程为y=f(x),求曲线上一点P0(x0,y0)处切线的斜率k.
模型的建立及求解:由切线的定义知,曲线的切线斜率与割线的斜率是密切相关的,k=limΔx→0k割=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx,点P0处的斜率k可看作曲线y=f(x)在x0处的导数.
3.边际成本问题
问题:设某产品的总成本C是产量q的函数:C=C(q)(q
【关键词】微积分;导数;教学方法
【基金项目】广州华商学院校内导师制项目:No.2019HSDS23
一、引 言
在现实生活和自然科学中,许多问题模型都与导数有关.本文首先给出导数概念,并通过几个常见的数学模型举例说明导数的应用,再针对微积分课程中遇到的教学问题,探讨高等数学中导数的教学方法.如何使抽象的导数理论知识变得直观易懂,从而让学生学好导数,是我们要重点考虑的问题.
导数的概念:设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0∈(a,b),若函数y=f(x)在x0处的差商ΔyΔx的极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx存在,则称函数y=f(x)在x0 处可导,并称此极限值为函数y=f(x)在x0 处的导数,记为f′(x0),y′x=x0,dydxx=x0或df(x)dxx=x0.
二、导数应用及常见模型举例
导数与物理、几何、代数的关系密切.一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率.函数变化率反映了函数随着自变量变化而变化的快慢程度,导数的本质就是通过所学极限的概念对函数进行局部的线性逼近.下面我们列举一些函数变化率的例子,以便于读者理解函数变化率,同时使读者了解它在科学技术中的广泛应用.
1.变速直线运动的瞬时速度
问题:已知物体移动的距离随时间t的变化规律为s(t),如何由s(t)求出物体任意时刻的速度?
模型假设:变速直线运动物体在t0时刻的瞬时速度v(t0)反映了路程对于时间变化的快慢程度,是质点M在这段时间的平均速度.当Δt很小时,上式可近似地表示质点在t0时刻的速度,Δt越小,近似程度越高,当Δt→0时,如果极限limΔt→0ΔsΔt存在,则这个极限值就表示了质点t0时刻的瞬时速度.
2.切线方程
问题:由解析几何知识知道,求过曲线y=f(x)上一点(x0,f(x0))的切线方程,难点是求过此点切线的斜率.
模型假设:设曲线的方程为y=f(x),求曲线上一点P0(x0,y0)处切线的斜率k.
模型的建立及求解:由切线的定义知,曲线的切线斜率与割线的斜率是密切相关的,k=limΔx→0k割=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0 Δx)-f(x0)Δx,点P0处的斜率k可看作曲线y=f(x)在x0处的导数.
3.边际成本问题
问题:设某产品的总成本C是产量q的函数:C=C(q)(q