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〔关键词〕 数学教学；解题效率；回想；联想；猜想；
总结；习惯
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 Ａ
〔文章编号〕 1004—0463（2011）02（Ａ）—003４—０２
解题训练的重要性是人所共知的，数学家波利亚说，中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练（《数学的发现》序言）。那么，作为数学教师，如何引导学生提高解题效率呢？笔者认为，要在夯实基础的前提下，逐步培养学生惯于回想、善于联想、敢于猜想、勤于总结的习惯。
引导学生惯于回想
从本质上说，解题的过程就是拓展学生思维、引导学生应用基础知识和基本方法来分析问题、解决问题的过程。因此，在课堂教学中教师要善于向学生提出问题，然后引导学生去回想学过的基础知识，包括定义、定理、公式、法则和基本方法等，并从知识体系中把相关的知识提取出来。把提取出来的基础知识与具体问题之间的关系搞清楚，问题就迎刃而解了。
解题过程中的回想训练实质上是一种由一般原理到特殊问题的思维训练，即演绎推理的训练。回想训练可使学生头脑中形成知识体系，这种知识体系的贮藏越丰富，能够提取出来的内容就越多，解题的思路就越宽，具体的处理方式就越灵活。知识体系内部越井然有序，提取过程就越方便、越顺利，效果就越好。学生对提取出来的知识理解得越深，掌握得越好，应用起来就越感到灵活自如、得心应手。反过来讲，回想过程又不是一个单纯寻求解答思路的消极过程。实际上，从寻求思路到解答习题，自始至终都会在无形中反作用于知识体系，反作用于思维能力，反作用的大小、强弱、效果大多决定于教师的教学思想和对学生的引导方法。因此，教师在讲题时不能“就题论题”，而要“以题论法”。从寻求解题思路开始，将题中的知识价值、教育价值一一剖析就会表现为一个积极的反作用过程，就会促使学生的基础知识进一步系统化，甚至将本来互相孤立的部分也联系起来。
如，二次三项式的因式分解、一元二次方程、二次函数是初中代数的重要内容，在历年的中考试题都占有一定的比例，其重要性不仅体现在它们贯穿于初中代数的始终，而且体现在它们对衔接初高中数学以及对学生进一步学好高中数学都有着特殊的作用。在解相关习题时，教师在引导学生把握了它们的基本关系后，找出它们的内在联系，学生的思路就会开阔，思维就会敏捷，有一定难度的题也会变得易析、易解。
例１：设关于x的函数y=ax2+x+a的图象与x轴无交点，试求实数a满足的条件。
分析：若将本例单纯看作是一个函数及其图象的问题，则不仅要对a=0和a≠0 两种情况作出讨论，还要在当 a≠0 时对a<0?驻<0和 a>0?驻<0两种情况再进行讨论，显觉繁冗。而根据y=ax2+x+a（a≠0）的图象与x轴无公共点则可推出方程 ax2+x+a=0（a≠0）无实数解，即?驻＜0，这就把二次函数问题和二次方程问题联系起来了，从而简化了解题难度。
略解:Ⅰ、当a=0时，y=x的图象与x轴交于原点，此种情况不合题意；
Ⅱ、当a≠0时，要使二次函数y=ax2+x+a的图象与x轴无交点，只需二次方程 ax2+x+a=0无实数解，由?驻=1－4a2＜0 解得 a＞■或a﹤-■。
综合上述，得出a＞■或a﹤-■。
诸如此类的问题，不胜枚举。总之，引导学生将知识贯通起来不仅能提高解题效率，而且能使学生分析问题与解决问题的能力得到最充分、最有效的锻炼，从而逐步达到“做一题，会一片；懂一法，长一智”的教学效果。
引导学生善于联想
对原有知识的提取其实就是一种联想，但是联想却不仅仅局限于单纯地提取旧知识。教师引导学生由表及里、由浅入深解题的过程，本质上就是一个引导学生联想的过程。对问题的条件与结论，包括所涉及的图形进行认真观察就是联想的起点。而由观察到考察，由考察到觉察，再由觉察到洞察，实质上就是一个由特殊到特殊，也就是类比推理的思维过程。对于中学生，特别是初中生来说，类比是一种他们最易于、乐于接受的思维方法。因而，引导学生进行联想，把新旧知识进行对照，让他们带着数学思想去观察生活，就成为提高学生解题能力的首要措施。
由观察、考察到有所觉察，通常只局限于问题与旧知识的部分相同或相似，这仅仅是解决问题的起点。要真正解决问题教师还应把握时代的特征，引导学生联系社会生活，把已经收集到的信息作为进一步收集信息的基础，联想时结合自己的解题经验，指向解过的习题，利用已知来解决未知，使未知转化为已知，在不断巩固旧经验的基础上又积累新经验，从而促进知识的内化、经验的升华。
例２：以c为斜边的直角三角形的直角边长为a、b，斜边上的高为hc，求证：c+hc＞a+b。
分析：借助辅助线来证明此题难度相当大，一旦添加辅助线的思路受阻，就难免束手无策。如果引导学生观察三边长度和已知条件而联想勾股定理，问题便得以解决。∵ chc=ab， c2=a2+b2，又∵ hc2＞0，∴ c2+chc2＞a2+b2，∴ c2+2chc+hc2＞a2+2ab+b2，即（c+hc）2＞(a+b)2，∴ c+hc＞a+b。
这种以分析来寻求解题思路的分析综合法一旦被学生掌握，就会使学生分析问题和解决问题的能力提高一大步。同时，对开发学生智力，促进学生思维能力的发展，也有很大的作用。
引导学生敢于猜想
在遇到难题时，如果按常规法解一时很难突破，这就要求教师要引导学生不再拘泥于逻辑思维的固定程序，不妨跳跃式地首先作出大胆的猜想，然后再设法加以验证。从觉察到猜想是一次跳跃，是从并不充分的根据作出了可能性的判断。所得到的结论只是一种可能性，而不是真实性，可能对，也可能错。教师对学生只能引导、鼓励和训练，要使学生明白，即使猜错了，效果也不等于零。在许多情况下，猜测被认为是错误的，但它在诱寻出一个更好的猜测方面依然是有用的。引导学生“发现”规律、“发明”知识去探索、推导，既有利于学生对知识的理解和掌握，也可给学生足够的探究与创新的空间，更有利于学生思维能力的培养。
例如，现在的教材中没有“一元二次方程根与系数的关系”这一节内容，但在很多习题中又有相关问题。教师就不必直接给学生讲解韦达定理的内容，而应在学生掌握了解一元二次方程的方法后，再引导学生从具体的解的关系来推出一般形式解的关系，由特殊到一般，由感性上升到理性，最后引申出这个定理是代数的奠基人——法国伟大的数学家韦达发现的，亦称韦达定理。这时，学生的求知欲上升到高峰，并油然产生自豪感和喜悦心情，认为自己也有发现这个定理的水平和能力，从而增强了学生的自信心。
总之，基础知识也好，数学习题也罢，教师决不能把现成的结论灌输给学生，而要让学生独立思考或小组共同讨论，以体现教与学的互动过程，用教师和学生的互动去引导学生的思维活动。
引导学生勤于总结
教师应根据教材的特点、学生的年龄特征和个性特点，以教材为载体创设问题情境，激发学生的解题兴趣，循序渐进地发展学生的思维。解题训练不应片面强调熟能生巧，而应鼓励学生大胆猜想，引导学生勤于总结，以加强学生对知识间的联系。养成了总结的习惯，就会吃一堑，长一智，解一题，进一步，让每道题都充分发挥其作用，让每次训练都有切切实实的效果。总结的具体内容能抓住以下几方面，就足以达到充分消化、吸收的实际效果：1. 习题的特点、所用基础知识与基本方法有哪些规律？有什么经验或体会？2. 有几次思路受阻或误入歧途？原因何在？有哪些具体教训？3. 一题有几种解法？各有哪些特点？哪一种比较好？4. 问题能否推广？能否引申？能否在形式或内容上加以深化，成为价值更大的习题？初中学生正处于机械记忆向理解记忆转化、具体思维向抽象思维转化的时期，大部分学生对这两个转化是不适应的，很大程度上还属于经验型。教师在教学中引导学生掌握新知识的同时注重总结旧知识，从表面上看浪费了一些时间，而实质上是实现了学习过程的正迁移，达到了举一反三、触类旁通的目的。若坚持培养学生的这种习惯，可有效促进学生自觉地运用数学知识解题，开阔学生的数学视野，发展学生的数学思维。
编辑：刘立英
总结；习惯
〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 Ａ
〔文章编号〕 1004—0463（2011）02（Ａ）—003４—０２
解题训练的重要性是人所共知的，数学家波利亚说，中学数学教学的首要任务就在于加强解题训练（《数学的发现》序言）。那么，作为数学教师，如何引导学生提高解题效率呢？笔者认为，要在夯实基础的前提下，逐步培养学生惯于回想、善于联想、敢于猜想、勤于总结的习惯。
引导学生惯于回想
从本质上说，解题的过程就是拓展学生思维、引导学生应用基础知识和基本方法来分析问题、解决问题的过程。因此，在课堂教学中教师要善于向学生提出问题，然后引导学生去回想学过的基础知识，包括定义、定理、公式、法则和基本方法等，并从知识体系中把相关的知识提取出来。把提取出来的基础知识与具体问题之间的关系搞清楚，问题就迎刃而解了。
解题过程中的回想训练实质上是一种由一般原理到特殊问题的思维训练，即演绎推理的训练。回想训练可使学生头脑中形成知识体系，这种知识体系的贮藏越丰富，能够提取出来的内容就越多，解题的思路就越宽，具体的处理方式就越灵活。知识体系内部越井然有序，提取过程就越方便、越顺利，效果就越好。学生对提取出来的知识理解得越深，掌握得越好，应用起来就越感到灵活自如、得心应手。反过来讲，回想过程又不是一个单纯寻求解答思路的消极过程。实际上，从寻求思路到解答习题，自始至终都会在无形中反作用于知识体系，反作用于思维能力，反作用的大小、强弱、效果大多决定于教师的教学思想和对学生的引导方法。因此，教师在讲题时不能“就题论题”，而要“以题论法”。从寻求解题思路开始，将题中的知识价值、教育价值一一剖析就会表现为一个积极的反作用过程，就会促使学生的基础知识进一步系统化，甚至将本来互相孤立的部分也联系起来。
如，二次三项式的因式分解、一元二次方程、二次函数是初中代数的重要内容，在历年的中考试题都占有一定的比例，其重要性不仅体现在它们贯穿于初中代数的始终，而且体现在它们对衔接初高中数学以及对学生进一步学好高中数学都有着特殊的作用。在解相关习题时，教师在引导学生把握了它们的基本关系后，找出它们的内在联系，学生的思路就会开阔，思维就会敏捷，有一定难度的题也会变得易析、易解。
例１：设关于x的函数y=ax2+x+a的图象与x轴无交点，试求实数a满足的条件。
分析：若将本例单纯看作是一个函数及其图象的问题，则不仅要对a=0和a≠0 两种情况作出讨论，还要在当 a≠0 时对a<0?驻<0和 a>0?驻<0两种情况再进行讨论，显觉繁冗。而根据y=ax2+x+a（a≠0）的图象与x轴无公共点则可推出方程 ax2+x+a=0（a≠0）无实数解，即?驻＜0，这就把二次函数问题和二次方程问题联系起来了，从而简化了解题难度。
略解:Ⅰ、当a=0时，y=x的图象与x轴交于原点，此种情况不合题意；
Ⅱ、当a≠0时，要使二次函数y=ax2+x+a的图象与x轴无交点，只需二次方程 ax2+x+a=0无实数解，由?驻=1－4a2＜0 解得 a＞■或a﹤-■。
综合上述，得出a＞■或a﹤-■。
诸如此类的问题，不胜枚举。总之，引导学生将知识贯通起来不仅能提高解题效率，而且能使学生分析问题与解决问题的能力得到最充分、最有效的锻炼，从而逐步达到“做一题，会一片；懂一法，长一智”的教学效果。
引导学生善于联想
对原有知识的提取其实就是一种联想，但是联想却不仅仅局限于单纯地提取旧知识。教师引导学生由表及里、由浅入深解题的过程，本质上就是一个引导学生联想的过程。对问题的条件与结论，包括所涉及的图形进行认真观察就是联想的起点。而由观察到考察，由考察到觉察，再由觉察到洞察，实质上就是一个由特殊到特殊，也就是类比推理的思维过程。对于中学生，特别是初中生来说，类比是一种他们最易于、乐于接受的思维方法。因而，引导学生进行联想，把新旧知识进行对照，让他们带着数学思想去观察生活，就成为提高学生解题能力的首要措施。
由观察、考察到有所觉察，通常只局限于问题与旧知识的部分相同或相似，这仅仅是解决问题的起点。要真正解决问题教师还应把握时代的特征，引导学生联系社会生活，把已经收集到的信息作为进一步收集信息的基础，联想时结合自己的解题经验，指向解过的习题，利用已知来解决未知，使未知转化为已知，在不断巩固旧经验的基础上又积累新经验，从而促进知识的内化、经验的升华。
例２：以c为斜边的直角三角形的直角边长为a、b，斜边上的高为hc，求证：c+hc＞a+b。
分析：借助辅助线来证明此题难度相当大，一旦添加辅助线的思路受阻，就难免束手无策。如果引导学生观察三边长度和已知条件而联想勾股定理，问题便得以解决。∵ chc=ab， c2=a2+b2，又∵ hc2＞0，∴ c2+chc2＞a2+b2，∴ c2+2chc+hc2＞a2+2ab+b2，即（c+hc）2＞(a+b)2，∴ c+hc＞a+b。
这种以分析来寻求解题思路的分析综合法一旦被学生掌握，就会使学生分析问题和解决问题的能力提高一大步。同时，对开发学生智力，促进学生思维能力的发展，也有很大的作用。
引导学生敢于猜想
在遇到难题时，如果按常规法解一时很难突破，这就要求教师要引导学生不再拘泥于逻辑思维的固定程序，不妨跳跃式地首先作出大胆的猜想，然后再设法加以验证。从觉察到猜想是一次跳跃，是从并不充分的根据作出了可能性的判断。所得到的结论只是一种可能性，而不是真实性，可能对，也可能错。教师对学生只能引导、鼓励和训练，要使学生明白，即使猜错了，效果也不等于零。在许多情况下，猜测被认为是错误的，但它在诱寻出一个更好的猜测方面依然是有用的。引导学生“发现”规律、“发明”知识去探索、推导，既有利于学生对知识的理解和掌握，也可给学生足够的探究与创新的空间，更有利于学生思维能力的培养。
例如，现在的教材中没有“一元二次方程根与系数的关系”这一节内容，但在很多习题中又有相关问题。教师就不必直接给学生讲解韦达定理的内容，而应在学生掌握了解一元二次方程的方法后，再引导学生从具体的解的关系来推出一般形式解的关系，由特殊到一般，由感性上升到理性，最后引申出这个定理是代数的奠基人——法国伟大的数学家韦达发现的，亦称韦达定理。这时，学生的求知欲上升到高峰，并油然产生自豪感和喜悦心情，认为自己也有发现这个定理的水平和能力，从而增强了学生的自信心。
总之，基础知识也好，数学习题也罢，教师决不能把现成的结论灌输给学生，而要让学生独立思考或小组共同讨论，以体现教与学的互动过程，用教师和学生的互动去引导学生的思维活动。
引导学生勤于总结
教师应根据教材的特点、学生的年龄特征和个性特点，以教材为载体创设问题情境，激发学生的解题兴趣，循序渐进地发展学生的思维。解题训练不应片面强调熟能生巧，而应鼓励学生大胆猜想，引导学生勤于总结，以加强学生对知识间的联系。养成了总结的习惯，就会吃一堑，长一智，解一题，进一步，让每道题都充分发挥其作用，让每次训练都有切切实实的效果。总结的具体内容能抓住以下几方面，就足以达到充分消化、吸收的实际效果：1. 习题的特点、所用基础知识与基本方法有哪些规律？有什么经验或体会？2. 有几次思路受阻或误入歧途？原因何在？有哪些具体教训？3. 一题有几种解法？各有哪些特点？哪一种比较好？4. 问题能否推广？能否引申？能否在形式或内容上加以深化，成为价值更大的习题？初中学生正处于机械记忆向理解记忆转化、具体思维向抽象思维转化的时期，大部分学生对这两个转化是不适应的，很大程度上还属于经验型。教师在教学中引导学生掌握新知识的同时注重总结旧知识，从表面上看浪费了一些时间，而实质上是实现了学习过程的正迁移，达到了举一反三、触类旁通的目的。若坚持培养学生的这种习惯，可有效促进学生自觉地运用数学知识解题，开阔学生的数学视野，发展学生的数学思维。
编辑：刘立英