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摘 要：在beta平面近似下，基于刻画近赤道Rossby波的正压位涡度大气方程，利用Gardner-Morikawa（G-M）变换和小参数摄动展开法，推导出时间变系数非线性修正Korteweg-de Vries （mKdV）方程去刻画赤道Rossby波的演化。利用辅助方程法，获得变系数mKdV方程的孤立波解。通过理论模型和孤立波解分析得到beta效应和切变基本流是赤道Rossby孤立波演化的重要因素。
关键词：赤道Rossby波;mKdV方程;beta效应;切变基本流
中图分类号：O29;P433;O175 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）06-0001-05
1 引言
天气现象、气候变化以及海洋动力学的诸多问题均可归结为非线性Rossby波动演化问题，如大气环流阻塞、厄尔尼诺现象、南方涛动以及墨西哥湾流等[1-4]。Rossby波动力学的理论研究一直是国内外许多学者的关注热点。研究者基于各种不同的方程或方程组，利用多重尺度法和弱非线性等数学方法，建立各种非线性数学模型去刻画大气和海洋中非线性Rossby波演化机制，去解释大气和海洋运动中的一些波动现象。最早，Long[5]在正压流体中获得了非线性Rossby波振幅演变满足的经典KdV方程。随后，Wadati和Redekopp[6，7]推广了Long的研究，在正压流体和分层流体中获得了mKdV方程。Ono[8]推导出Beniamin-Davis-Ono（BDO）方程刻画Rossby振幅演变的代数孤立波。国内学者从描述非线性Rossby波的正压准地转位涡方程出发，利用多重尺度法，获得了各种经典模型去研究Rossby波的演化机制，特别是非线性效应和频散效应。研究基本流、beta效应和推广的beta效应，以及外源、耗散和Coriolis力水平分量等物理因素对Rossby波的影响。Meng等[9]得到了强迫Boussinesq方程，研究了地形和外源对非线性Rossby波的影响。蒋后硕等[10]进一步研究了切变基本流和地形效应对Rossby波的形成和发展的影响。吕克利等[11]获得了广义KdV-Burgers方程，分析了外源和孤波对局地阻塞影响的原因。宋健等[12，13]提出了推广的beta效应，研究推广beta效应和地形都能产生非线性效应。杨红卫等[14]考虑地形和耗散因素对Rossby波影响， 研究了地形对大气阻塞现象。尹晓军等[15]研究了Coriolis力水平分量和外源作用下的Rossby波的模型。陈利国等[16]建立带有外源和耗散强迫的Boussinesq模型，并得到周期波解和孤立波解。從浅水方程组出发，罗德海[17]建立了Benjamin-Ono（BO）方程描述代数孤立波。刘式适等[18]指出半地转近似体现了非线性特征。何建中[19]在半地转近似下，利用相函数方法得到纬向切变气流中非线性Rossby波的孤立波解。
非线性赤道Rossby波的理论研究能够为低纬度大尺度波动和天气现象提供动力学理论基础，为实际天气和气候提供研究价值。但是，赤道Rossby波的理论模型和演化机制的研究并不多。从大气原始方程组出发，采用多重尺度法，Boyd[20，21]得到KdV方程和mKdV方程。张瑞岗等[22]研究了地形效应对近赤道非线性Rossby波的影响。赵强等[23，24]从正压位涡度方程出发，采用长波近似中多尺度变换分别推导了描述赤道非线性Rossby孤立波和包络孤立波演变的KdV方程和Schr？觟dinger方程，研究表明切变基本流是孤立波存在的必要条件。付遵涛[25]推导了时间变系数KdV方程刻画近赤道非线性Rossby波演变问题，并利用Jacobi椭圆函数展开法得到孤立波解。宋健等[26]研究了推广beta效应下的赤道Rossby孤立波包的Schr？觟dinger方程。
对于非线性波动演化的动力学模型，需要对模型进行求解，进一步揭示Rossby波动运动本质和物理机制，通过建立的理论模型和求解结果为大气动力、天气现象及天气预报等提供理论依据和研究价值。然而，大多数动力学模型都是非线性较强的偏微分方程，很难找到解析解，特别是变系数的非线性偏微分方程。因此，对于求解非线性偏微分方程的解析解或数值解也是一个研究热点课题。针对不同的方程，学者们做了许多工作并获得了各种求解方法，特别是孤子解[27-32]。
本文在beta平面近似下，从正压大气位涡度方程出发，利用G-M变换和小参数摄动展开法，推导刻画非线性赤道Rossby波的数学模型，即时间变系数mKdV方程，该模型是已有研究结果的推广。再利用辅助方程法寻找变系数mKdV方程的孤立波解。最后通过理论模型和孤立波解分析非线性赤道非线性Rossby波演化机制。
方程（26）是关于时间T的变系数mKdV方程，是刻画非线性赤道Rossby波振幅演变的数学模型，系数I1（T），I2（T）由方程（23）和（24）解？覬1，？覬2，纬向切变基本流U（y）和？茁确定。I1（T）表示非线性项系数关于时间T的函数，这表明beta效应？茁和切变基本流U（y）都是产生非线性因素，能够诱导赤道Rossby孤立波的形成。I2（T）表示线性Rossby波的频散项。当I1（T）=I2（T）=常数时，方程（26）就是经典mKdV方程。另外，方程（26）是文献[25]结果的推广。
3 时间变系数非线性mKdV方程的孤立波解
下面利用辅助方程法[31]求解方程（26）的孤立波解，进一步解释物理因素对赤道Rossby波动的影响及其波动的运动本质。
由孤立波解（32）和（33）可知，非线性项系数I1（T）不等于零是非常重要的条件，从而说明beta效应？茁和切变基本流U（y）都是产生非线性重要因素。从孤立波波速（34）来看，频散项系数I2（T）所确定的beta效应？茁和切变基本流对波速有重要的影响。因此，beta效应和切变基本流是赤道Rossby孤立波演化的重要因素。 4 结论
本文推导了时间变系数mKdV方程模型去刻画非线性赤道Rossby波的演边和发展，是已有结果的推广。再利用辅助方程法得到变系数mKdV方程的孤立波解。通过获得模型和孤立波解理论分析得到beta效应和切变基本流是赤道Rossby孤立波产生重要因素，对赤道Rossby波生成和演化有重要影响。
参考文献：
〔1〕Maxworthy T， Redekopp L. G.. New theory of the Great Red Spot from solitary waves in the Jovian atmosphere[J]. Nature， 1976，260（5551）： 509-511.
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〔3〕Horel J. D.， Wallace J. M.. Planetary-scale atmospheric phenomena associated with the Southern Oscillation[J]. Mon. Weather. Rev. 1981，109 （04）：813-829.
〔4〕Flierl G. R.. Baroclinic solitary waves with radial symmetry[J]. Dyn. Atmos. Oceans.， 1979，（03）： 15–38.
〔5〕Long R R. Solitary waves in the westerlies[J]. J. Atmos. Sci.， 1964， 21（03）： 197-200.
〔6〕Wadati M.. The modified Korteweg-de Vries equation[J]. J. Phys. Soc. Japan.， 1973，34 （05）：1289-1296.
〔7〕Redekopp L. G.. On the theory of solitary Rossby waves[J]. J. Fluid. Mech.， 1977，82（04）：725-745.
〔8〕Ono H.. Algebraic Rossby wave soliton[J]. J. Phys. Soc. Japan.， 1981， 50（08）： 2757-2761.
〔9〕Meng L.， Lv K. L.. Nonlinear long-wave disturbances excited by localized forcing[J]. Chin. J. Comput. Phys.， 2000，17 （03）： 259-267.
〔10〕蒋后硕，吕克利.切变气流中地形强迫激发的非线性长波[J].高原气象，1998，17（03）：231-244.
〔11〕吕克利，蒋后硕.外源和孤波的相互作用对阻塞形成的影响[J].应用气象学报，1998，9（04）：431-440.
〔12〕Song J， Yang L. G.. Modified KdV equation for solitary Rossby waves with β effect in barotropic fluids[J]. Chin. Phys B.， 2009，18 （07） ：2873-2877.
〔13〕宋健，刘全生，杨联贵.切变纬向流中β效应与缓变地形Rossby波[J].物理学报，2012，61（21）：210510.
〔14〕Yang H.W.， Yang D. Z.， Shi Y. L.， Yin B. S.. Interaction of algebraic Rossby solitary waves with topography and atmospheric blocking[J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 2015，71（05）： 21-34.
〔15〕尹晓军，杨联贵，宋健，等.完整Coriolis力作用下带有外源强迫的非线性KdV方程[J].应用数学和力学，2017，38（09）：1053-1060.
〔16〕陈利国，杨联贵.推广的β平面近似下带有外源和耗散强迫的非线性Boussinesq方程及其孤立波解[J].应用数学和力学，2020，41（01）：98-106.
〔17〕Luo D. H.. On the Benjamin-Ono equation and its generalization in the atmosphere[J]. Science in China， Ser. B， 1989， 32（10）：1233-1245.
〔18〕刘式适，刘式达.半地转近似下的非线性波[J].气象学报，1987，45（03）：258-265.
〔19〕何建中.纬向切变基流中的非线性正压Rossby波[J].气象学报，1994，52（4）：433-441.
〔20〕Boyd J. P.. Equatorial solitary waves. Part1：Rossby solitons[J]. Dyna. Atmos. Oceans.， 1980， 10（11）：1699-1718.
〔21〕Boyd J. P.. Equatorial solitary waves. Part 2： Rossby solitons [J]. J.Phys. Ocean.， 1983， 13 （03）： 428-449. 〔22〕張瑞岗，杨联贵，宋健，等.地形作用下的近赤道非线性Rossby波[J]，地球物理学进展，2017，32（04）：1532-1538.
〔23〕赵强，刘式达，刘式适.切变基本纬向气流中非线性赤道Rossby长波[J].地球物理学报，2000， 43（06）：746-753.
〔24〕赵强，刘式达，刘式适.切变基本纬向气流中非线性赤道Rossby包络孤立波[J].大气科学，2001，25（01）：133-141.
〔25〕Fu Z.T.， Liu S.K.， Liu S.D.. Equatorial Rossby solitary wave under the external forcing[J]. Commun. Theor. Phys. 2005， 43：45-48.
〔26〕宋健，姜楠，杨联贵.切变基本纬向流中β效应的赤道Rossby孤立波包[J].物理学报，2011（02）：024701.
〔27〕刘式适，刘式达.数学物理中的非线性方程（第二版）[M].北京：北京大学出版社，2012.
〔28〕Fu Z. T.， Liu S. K.， Liu S. D.， Zhao Q.. New Jacobi elliptic function expansion and new periodic solutions of nonlinear wave equations[J]. Phys.s Lett A.， 2001， 290 （02） ：72-76.
〔29〕付遵涛，刘式达，刘式适，等.含变系数或强迫项的KdV方程的新解[J].应用数学和力学，2004，25（01）：67-73.
〔30〕Hong B. J.， Lu D. C.. New exact solutions for the generalized variable-coefficient Gardner equation with forcing term[J]. Appl. Math. Comput.， 2012， 219： 2732-2738.
〔31〕Zhang. Y.， Lai S.Y.， YinJ.， Wu.Y.H.. The application of the auxiliary equation technique to a generalized mKdV equation with variable coefficients[J]. J.Comput.Appl. Math.， 2009， 223：75-85.
〔32〕Hereman W.， Nuseir A.. Symbolic methods to construct exact solutions of nonlinear partial differential equations[J]. Math. Comput. Simul.， 1997， 43 （01）： 13-27.
〔33〕Pedlosky J. Geophysical Fluid Dynamics[M]. Springer， New York， 1979： 604.
关键词：赤道Rossby波;mKdV方程;beta效应;切变基本流
中图分类号：O29;P433;O175 文献标识码：A 文章编号：1673-260X（2021）06-0001-05
1 引言
天气现象、气候变化以及海洋动力学的诸多问题均可归结为非线性Rossby波动演化问题，如大气环流阻塞、厄尔尼诺现象、南方涛动以及墨西哥湾流等[1-4]。Rossby波动力学的理论研究一直是国内外许多学者的关注热点。研究者基于各种不同的方程或方程组，利用多重尺度法和弱非线性等数学方法，建立各种非线性数学模型去刻画大气和海洋中非线性Rossby波演化机制，去解释大气和海洋运动中的一些波动现象。最早，Long[5]在正压流体中获得了非线性Rossby波振幅演变满足的经典KdV方程。随后，Wadati和Redekopp[6，7]推广了Long的研究，在正压流体和分层流体中获得了mKdV方程。Ono[8]推导出Beniamin-Davis-Ono（BDO）方程刻画Rossby振幅演变的代数孤立波。国内学者从描述非线性Rossby波的正压准地转位涡方程出发，利用多重尺度法，获得了各种经典模型去研究Rossby波的演化机制，特别是非线性效应和频散效应。研究基本流、beta效应和推广的beta效应，以及外源、耗散和Coriolis力水平分量等物理因素对Rossby波的影响。Meng等[9]得到了强迫Boussinesq方程，研究了地形和外源对非线性Rossby波的影响。蒋后硕等[10]进一步研究了切变基本流和地形效应对Rossby波的形成和发展的影响。吕克利等[11]获得了广义KdV-Burgers方程，分析了外源和孤波对局地阻塞影响的原因。宋健等[12，13]提出了推广的beta效应，研究推广beta效应和地形都能产生非线性效应。杨红卫等[14]考虑地形和耗散因素对Rossby波影响， 研究了地形对大气阻塞现象。尹晓军等[15]研究了Coriolis力水平分量和外源作用下的Rossby波的模型。陈利国等[16]建立带有外源和耗散强迫的Boussinesq模型，并得到周期波解和孤立波解。從浅水方程组出发，罗德海[17]建立了Benjamin-Ono（BO）方程描述代数孤立波。刘式适等[18]指出半地转近似体现了非线性特征。何建中[19]在半地转近似下，利用相函数方法得到纬向切变气流中非线性Rossby波的孤立波解。
非线性赤道Rossby波的理论研究能够为低纬度大尺度波动和天气现象提供动力学理论基础，为实际天气和气候提供研究价值。但是，赤道Rossby波的理论模型和演化机制的研究并不多。从大气原始方程组出发，采用多重尺度法，Boyd[20，21]得到KdV方程和mKdV方程。张瑞岗等[22]研究了地形效应对近赤道非线性Rossby波的影响。赵强等[23，24]从正压位涡度方程出发，采用长波近似中多尺度变换分别推导了描述赤道非线性Rossby孤立波和包络孤立波演变的KdV方程和Schr？觟dinger方程，研究表明切变基本流是孤立波存在的必要条件。付遵涛[25]推导了时间变系数KdV方程刻画近赤道非线性Rossby波演变问题，并利用Jacobi椭圆函数展开法得到孤立波解。宋健等[26]研究了推广beta效应下的赤道Rossby孤立波包的Schr？觟dinger方程。
对于非线性波动演化的动力学模型，需要对模型进行求解，进一步揭示Rossby波动运动本质和物理机制，通过建立的理论模型和求解结果为大气动力、天气现象及天气预报等提供理论依据和研究价值。然而，大多数动力学模型都是非线性较强的偏微分方程，很难找到解析解，特别是变系数的非线性偏微分方程。因此，对于求解非线性偏微分方程的解析解或数值解也是一个研究热点课题。针对不同的方程，学者们做了许多工作并获得了各种求解方法，特别是孤子解[27-32]。
本文在beta平面近似下，从正压大气位涡度方程出发，利用G-M变换和小参数摄动展开法，推导刻画非线性赤道Rossby波的数学模型，即时间变系数mKdV方程，该模型是已有研究结果的推广。再利用辅助方程法寻找变系数mKdV方程的孤立波解。最后通过理论模型和孤立波解分析非线性赤道非线性Rossby波演化机制。
方程（26）是关于时间T的变系数mKdV方程，是刻画非线性赤道Rossby波振幅演变的数学模型，系数I1（T），I2（T）由方程（23）和（24）解？覬1，？覬2，纬向切变基本流U（y）和？茁确定。I1（T）表示非线性项系数关于时间T的函数，这表明beta效应？茁和切变基本流U（y）都是产生非线性因素，能够诱导赤道Rossby孤立波的形成。I2（T）表示线性Rossby波的频散项。当I1（T）=I2（T）=常数时，方程（26）就是经典mKdV方程。另外，方程（26）是文献[25]结果的推广。
3 时间变系数非线性mKdV方程的孤立波解
下面利用辅助方程法[31]求解方程（26）的孤立波解，进一步解释物理因素对赤道Rossby波动的影响及其波动的运动本质。
由孤立波解（32）和（33）可知，非线性项系数I1（T）不等于零是非常重要的条件，从而说明beta效应？茁和切变基本流U（y）都是产生非线性重要因素。从孤立波波速（34）来看，频散项系数I2（T）所确定的beta效应？茁和切变基本流对波速有重要的影响。因此，beta效应和切变基本流是赤道Rossby孤立波演化的重要因素。 4 结论
本文推导了时间变系数mKdV方程模型去刻画非线性赤道Rossby波的演边和发展，是已有结果的推广。再利用辅助方程法得到变系数mKdV方程的孤立波解。通过获得模型和孤立波解理论分析得到beta效应和切变基本流是赤道Rossby孤立波产生重要因素，对赤道Rossby波生成和演化有重要影响。
参考文献：
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