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数学习题是数学知识的载体，是数学思维训练和数学能力培养的主要形式。“练习”是数学教学和学习的重要手段，数学概念、定理、公式和法则必须通过练习才能得到巩固和掌握，进而提高学生的实际操作能力，从而培养学生的数学素质。无疑，数学课堂教学中的“练习”教学的成败关系到数学教学质量的高低和效果的优劣，然而，在平时的“练习”教学中却存在诸多低效甚至无效的教学行为，教师虽花费了大量的精力，却给学生造成了学习负担，严重制约数学课堂教学质量的提高。所以，探究“练习”教学中的无效教学行为，杜绝习题教学的无效现象，是数学教学的重要任务，值得每一位数学教师关注和研究，为建立高效的数学课堂找到科学的教学方法。
一、无效“练习”的具体表现
1.听不懂。教师所讲授的题目学生听不懂，那练习无疑是没有效果的。当然听不懂的原因是多方面的，可能是教师教法的原因，比如教师没有讲清逻辑关系，或者是某些中间环节；也可能是学生自身的原因，比如知识积累不足，或者条件关系不明确，思维跟不上教师的讲解；也可能是题目本身的原因，比如题目偏难，超出学生能理解的范围，等等。此外，对于“听不懂”的问题还要注意分清楚是少数学生还是多数学生，还要注意“听不懂”的学生是属于那一层次。
2.此题会做，彼题不会做。很多学生对于数学习题有这样的感慨“一听就懂、一看就会、一做就错”。其实，这就是“此题会做，彼题不会做”的具体表现。教科书中的例题只是对本节所学知识的强化训练，针对性强但难度较低，学生很容易解决。但课后的练习题，一个题标下有好多个练习题，那么，这些练习题其实就是一类题型的变式题目，有变化、有层次、有知识点的叠加融合、有技巧性的数学关系，因此，难度相应会增大，但完全不会做就表明基础性练习缺乏实际效果，出现了教学无效现象。
3.无生成性的练习。教师上练习课大都注重解题方法和推导过程的讲解，基本都是遵循“讲练结合”的教学模式，就是教师主讲，学生听、练，即便是运用多解法，也是就题论法，没有注意到学生的主动生成。往往会造成这样的局面：同类型的题目教师讲了好多遍，学生练了好多遍，可是在练习或考试中还是出错。这就是在教学中没有充分注意学生对知识构建和方法运用进行自我生成，而是强制性地灌输给学生造成的结果，这样的“练习”无疑是无效或低效的。因此，无生成性的练习是造成学生错误反复出现的原因所在。
4.无层次化的练习。一般情况下，一节课教师所使用的习题都是备好的那么一套，教学中先让所有的学生做一遍，然后教师再讲一遍，那么，教师的讲到底能让学生有多大的收获呢？其实事实是这样的：会做的学生无事可做，无心听讲，而不会做的学生仍然浑浑噩噩，不知所云。这种无层次化的练习和教学正是造成课堂教学低效的原因之一。学生是有差别的，这是客观存在的事实。而学生的差别也是多种多样的，有的是知识方面的，有的是思维方面的，有的则是智力方面的，还有非智力方面的。因此，即便教师所使用的习题都是有层次性的，可是这种面面俱到、一刀切的讲解仍然会造成部分学生学习的无效结果。
二、有效“练习”的实施策略
1.精心设计“渐入式”练习题，引导学生渐入佳境。“渐入式”练习题指的就是为了实现学生对某一新知识点的掌握和运用，先从能够引起新知识点的旧知识入手设计问题，逐步把学生的思维和方法引入到认识新知的途径上来的分步式练习题。这种练习符合学生的认知心理和思维特点，既可以搭建起新旧知识之间互通的桥梁，又可以顺利引导学生解决新的问题，也可使不同的学生在各自层面上分别有所收获。特别对学生“听不懂”的题目，教师立即采用这种方法，对学生进行引导，让学生弄清楚题目所包含的层层关系，从而达到解决问题的目的。例如在讲“两角和与差的余弦”时，提出练习：不查表求cos（-435°）的值。学生利用诱导公式cos（-435°）=cos75°后，就束手无策了。于是我依次提出以下四步练习：（1）75°能否写成两个特殊角的和或差的形式？（2）cos75°=cos（45° 30°）=cos45° cos30°成立吗？（3）cos45° cos30°能否用45°和30°的角的三角函数表示？（4）如果能，那么一般地，cos（α β）能否用单角α和β的三角函数表示？这样通过因势利导，循序渐进地让学生的认知达到所预设的教学目标。
2.暴露学生思维，促进有效生成。教师要通过练习让学生的思维展现出来，只有学生暴露出思维过程、思维方法，教师才能够找到学生做题过程中问题的症结所在，从而有的放矢，对症下药，改变学生存在的不合理和错误的思维方式。教学中出示一道练习题后，要留给学生足够的时间进行思考和练习，有时还需要生生之间的讨论、交流甚至是辩驳。在学生思维的不断碰撞中会产生出“火花”，在经历摩擦与曲折中得到体验，从而促进对知识重新构建，达到有效生成。构建主义认为：在课堂教学中，学习者的学习不是一个简单地将知识注入或灌输到学生大脑中的过程，而是由学生主动地构建自己的知识经验和生成意义的过程。对于数学教学要注重学生练习中的主动生成正确的知识经验，使学生的思维始终能够处于一种开放的、变化的、灵敏的状态之中，从而克服认知中存在的错误及思维定势的影响，避免解题中错误的重复出现，杜绝“此题会做，彼题不会做”的现象。
3.重点突破，分层次练习。在实际教学中，教师往往希望学生能够多听、多练，达到熟能生巧的目的，而往往造成训练过度，反而抑制了学生思维的发展，导致实际教学效果不理想。因此，练习要有重点，面面俱到的练习会费时费力，老师和学生都疲于应付，而且效果不好。为此，教师要掌握学生在知识点或方法上普遍存在的问题，有针对性地设计练习，突出重点，围绕一个中心展开练习，使自己实施的教学能够让每一位学生都有收获，这样才是真正有效的教学。练习要注意层次性，要避免“吃不饱”和“吃不了”的无效现象。对一些练习题目基础好的学生很快就可以自己解决，教师的讲解对他们来说就是无效的，为此，教师要在备课时，预设相关的变式练习让这些学生做，不能无谓地浪费他们的时间。比如教学《椭圆和它的标准方程》的例3：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向X轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹。基础好的学生做完后，给他们展示变式1：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向Y轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹。让他们从另一个角度熟悉利用中间变量法求轨迹的方法，训练他们思维的变通性。在给有疑问的学生讲完例3之后，给出变式2：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向坐标轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹方程。利用变式2找到结合点，进行分步讨论，让全体学生都能熟悉利用中间变量法求轨迹的方法和要点，增强学生思维的灵活性和发散性，提高教学效率。
甘肃省定西市“十二五”教育科学规划课题
一、无效“练习”的具体表现
1.听不懂。教师所讲授的题目学生听不懂，那练习无疑是没有效果的。当然听不懂的原因是多方面的，可能是教师教法的原因，比如教师没有讲清逻辑关系，或者是某些中间环节；也可能是学生自身的原因，比如知识积累不足，或者条件关系不明确，思维跟不上教师的讲解；也可能是题目本身的原因，比如题目偏难，超出学生能理解的范围，等等。此外，对于“听不懂”的问题还要注意分清楚是少数学生还是多数学生，还要注意“听不懂”的学生是属于那一层次。
2.此题会做，彼题不会做。很多学生对于数学习题有这样的感慨“一听就懂、一看就会、一做就错”。其实，这就是“此题会做，彼题不会做”的具体表现。教科书中的例题只是对本节所学知识的强化训练，针对性强但难度较低，学生很容易解决。但课后的练习题，一个题标下有好多个练习题，那么，这些练习题其实就是一类题型的变式题目，有变化、有层次、有知识点的叠加融合、有技巧性的数学关系，因此，难度相应会增大，但完全不会做就表明基础性练习缺乏实际效果，出现了教学无效现象。
3.无生成性的练习。教师上练习课大都注重解题方法和推导过程的讲解，基本都是遵循“讲练结合”的教学模式，就是教师主讲，学生听、练，即便是运用多解法，也是就题论法，没有注意到学生的主动生成。往往会造成这样的局面：同类型的题目教师讲了好多遍，学生练了好多遍，可是在练习或考试中还是出错。这就是在教学中没有充分注意学生对知识构建和方法运用进行自我生成，而是强制性地灌输给学生造成的结果，这样的“练习”无疑是无效或低效的。因此，无生成性的练习是造成学生错误反复出现的原因所在。
4.无层次化的练习。一般情况下，一节课教师所使用的习题都是备好的那么一套，教学中先让所有的学生做一遍，然后教师再讲一遍，那么，教师的讲到底能让学生有多大的收获呢？其实事实是这样的：会做的学生无事可做，无心听讲，而不会做的学生仍然浑浑噩噩，不知所云。这种无层次化的练习和教学正是造成课堂教学低效的原因之一。学生是有差别的，这是客观存在的事实。而学生的差别也是多种多样的，有的是知识方面的，有的是思维方面的，有的则是智力方面的，还有非智力方面的。因此，即便教师所使用的习题都是有层次性的，可是这种面面俱到、一刀切的讲解仍然会造成部分学生学习的无效结果。
二、有效“练习”的实施策略
1.精心设计“渐入式”练习题，引导学生渐入佳境。“渐入式”练习题指的就是为了实现学生对某一新知识点的掌握和运用，先从能够引起新知识点的旧知识入手设计问题，逐步把学生的思维和方法引入到认识新知的途径上来的分步式练习题。这种练习符合学生的认知心理和思维特点，既可以搭建起新旧知识之间互通的桥梁，又可以顺利引导学生解决新的问题，也可使不同的学生在各自层面上分别有所收获。特别对学生“听不懂”的题目，教师立即采用这种方法，对学生进行引导，让学生弄清楚题目所包含的层层关系，从而达到解决问题的目的。例如在讲“两角和与差的余弦”时，提出练习：不查表求cos（-435°）的值。学生利用诱导公式cos（-435°）=cos75°后，就束手无策了。于是我依次提出以下四步练习：（1）75°能否写成两个特殊角的和或差的形式？（2）cos75°=cos（45° 30°）=cos45° cos30°成立吗？（3）cos45° cos30°能否用45°和30°的角的三角函数表示？（4）如果能，那么一般地，cos（α β）能否用单角α和β的三角函数表示？这样通过因势利导，循序渐进地让学生的认知达到所预设的教学目标。
2.暴露学生思维，促进有效生成。教师要通过练习让学生的思维展现出来，只有学生暴露出思维过程、思维方法，教师才能够找到学生做题过程中问题的症结所在，从而有的放矢，对症下药，改变学生存在的不合理和错误的思维方式。教学中出示一道练习题后，要留给学生足够的时间进行思考和练习，有时还需要生生之间的讨论、交流甚至是辩驳。在学生思维的不断碰撞中会产生出“火花”，在经历摩擦与曲折中得到体验，从而促进对知识重新构建，达到有效生成。构建主义认为：在课堂教学中，学习者的学习不是一个简单地将知识注入或灌输到学生大脑中的过程，而是由学生主动地构建自己的知识经验和生成意义的过程。对于数学教学要注重学生练习中的主动生成正确的知识经验，使学生的思维始终能够处于一种开放的、变化的、灵敏的状态之中，从而克服认知中存在的错误及思维定势的影响，避免解题中错误的重复出现，杜绝“此题会做，彼题不会做”的现象。
3.重点突破，分层次练习。在实际教学中，教师往往希望学生能够多听、多练，达到熟能生巧的目的，而往往造成训练过度，反而抑制了学生思维的发展，导致实际教学效果不理想。因此，练习要有重点，面面俱到的练习会费时费力，老师和学生都疲于应付，而且效果不好。为此，教师要掌握学生在知识点或方法上普遍存在的问题，有针对性地设计练习，突出重点，围绕一个中心展开练习，使自己实施的教学能够让每一位学生都有收获，这样才是真正有效的教学。练习要注意层次性，要避免“吃不饱”和“吃不了”的无效现象。对一些练习题目基础好的学生很快就可以自己解决，教师的讲解对他们来说就是无效的，为此，教师要在备课时，预设相关的变式练习让这些学生做，不能无谓地浪费他们的时间。比如教学《椭圆和它的标准方程》的例3：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向X轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹。基础好的学生做完后，给他们展示变式1：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向Y轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹。让他们从另一个角度熟悉利用中间变量法求轨迹的方法，训练他们思维的变通性。在给有疑问的学生讲完例3之后，给出变式2：已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任一点P向坐标轴作垂线段PP■，求线段PP■中点M的轨迹方程。利用变式2找到结合点，进行分步讨论，让全体学生都能熟悉利用中间变量法求轨迹的方法和要点，增强学生思维的灵活性和发散性，提高教学效率。
甘肃省定西市“十二五”教育科学规划课题