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【摘要】高中数学中有很多数学思想方法，其中数形结合思想是比较重要的一种，其将代数和几何的知识进行了有效的连接，用代数方法解决几何问题，用几何知识化解代数问题，成为一道连接两块知识的重要桥梁.本文浅谈该思想方法在高中数学知识中的运用.
【关键词】高中数学；数形结合；思想方法；以形辅数；以数解形
高中数学教学设计到三个层次方面的教学：其一是教材中最基本知识和基本技能的教学，即所谓的双基，近期课程纲要修订中将双基已经提升为四基的要求，即增加了基本思想方法和基本活动经验，这是教师教学的最基本要求；其二是教材中诸多知识的整合性学习，这是基于双基之上的一种教学层次；最后，高中数学最高层面的教学是思想方法的教学，只有学会思想方法，才能将变幻多端的试题寓于无形的解决方案中，这是高中数学教学的最终目标.《课程标准》正是这样描述的：要让学生掌握基本的数学思想方法，利用数学思想方法去解决问题.
高中数学思想方法中，数形结合思想是一种贯穿高中数学始终的数学思想方法.其核心在于用代数的方法解决一些几何问题，用几何的方法解决一些代数问题，将几何和代数两座孤岛用桥梁进行了合理的连接，让学生的脑海中建立起了数形互相转换的概念，培养其解决问题的多思路性、发散性、简捷性.
1.以形辅数
数形结合思想方法的作用之一，是以形辅数.用几何本质的图形来反映、解决代数问题是其思想的重要运用，来看两个相关的案例.
案例1 设有函数f（x）=a -x2-4x和g（x）=43x 1，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围.
审题破题：x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），可以转化为x∈[-4，0]时，函数f（x）的图像都在函数g（x）的图像下方或者两图像有交点，利用图像解决代数中的不等式问题.
解析 f（x）≤g（x），即a -x2-4x=43x 1，变形得-x2-4x=43x 1-a，
令y=-x2-4x，①
y=43x 1-a.②
① 变形得（x 2）2 y2=4（y≥0），即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；
② 表示斜率为43，纵截距为1-a的平行直线系.
设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：
y=43x b（b>0），则圆心（-2，0）到AT的距离为d=|-8 3b|5，
由|-8 3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.
∴當1-a=6即a=-5时，f（x）≤g（x）.
反思归纳：解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图像表现出来，利用图像间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围.
2.以数解形
以形解数最典型的代表是高中数学重要核心知识——解析几何.笛卡尔创立了坐标系之后，后代的数学大师们将平面解析几何放到坐标系中，轻松的用代数方法解决了几何问题，这是数形结合思想的另一方面的重要体现.
案例2 已知抛物线C：y2=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P，Q两点，设AP=λAQ.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2）若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.
审题破题：（1）可利用向量共线证明直线MQ过F；（2）建立|PQ|和λ的关系，然后求最值.
（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）.
∵AP=λAQ，
∴x1 1=λ（x2 1），y1=λy2，
∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，∴λ2x2 1=λ（x2 1），λx2（λ-1）=λ-1.
∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F（1，0），
∴MF=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ1λ-1，y2=λFQ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
（2）解析：由（1）知x2=1λ，x1=λ，得x1x2=1，y22·y22=16x1x2=16，∵y1y2>0，∴y1y2=4，则|PQ|2=（x1-x2）2 （y1-y2）2=x21 x22 y21 y22-2（x1x2 y1y2）=λ 1λ2 4λ 1λ-12=λ 1λ 22-16，λ∈13，12，λ 1λ∈52，103，当λ 1λ=103，即λ=12时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.
反思归纳：求最值或求范围问题常见的解法有两种：（1）几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.（2）代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.
总之，数形结合思想是高中数学极为重要的思想方法之一.以形辅数主要体现在函数相关知识的延伸，以数解形恰恰在解析几何中有着重要的体现.通过典型问题的渗透，努力培养学生数形结合思想方法的积累.
【关键词】高中数学；数形结合；思想方法；以形辅数；以数解形
高中数学教学设计到三个层次方面的教学：其一是教材中最基本知识和基本技能的教学，即所谓的双基，近期课程纲要修订中将双基已经提升为四基的要求，即增加了基本思想方法和基本活动经验，这是教师教学的最基本要求；其二是教材中诸多知识的整合性学习，这是基于双基之上的一种教学层次；最后，高中数学最高层面的教学是思想方法的教学，只有学会思想方法，才能将变幻多端的试题寓于无形的解决方案中，这是高中数学教学的最终目标.《课程标准》正是这样描述的：要让学生掌握基本的数学思想方法，利用数学思想方法去解决问题.
高中数学思想方法中，数形结合思想是一种贯穿高中数学始终的数学思想方法.其核心在于用代数的方法解决一些几何问题，用几何的方法解决一些代数问题，将几何和代数两座孤岛用桥梁进行了合理的连接，让学生的脑海中建立起了数形互相转换的概念，培养其解决问题的多思路性、发散性、简捷性.
1.以形辅数
数形结合思想方法的作用之一，是以形辅数.用几何本质的图形来反映、解决代数问题是其思想的重要运用，来看两个相关的案例.
案例1 设有函数f（x）=a -x2-4x和g（x）=43x 1，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），求实数a的取值范围.
审题破题：x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），可以转化为x∈[-4，0]时，函数f（x）的图像都在函数g（x）的图像下方或者两图像有交点，利用图像解决代数中的不等式问题.
解析 f（x）≤g（x），即a -x2-4x=43x 1，变形得-x2-4x=43x 1-a，
令y=-x2-4x，①
y=43x 1-a.②
① 变形得（x 2）2 y2=4（y≥0），即表示以（-2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆；
② 表示斜率为43，纵截距为1-a的平行直线系.
设与圆相切的直线为AT，AT的直线方程为：
y=43x b（b>0），则圆心（-2，0）到AT的距离为d=|-8 3b|5，
由|-8 3b|5=2得，b=6或-23（舍去）.
∴當1-a=6即a=-5时，f（x）≤g（x）.
反思归纳：解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图像表现出来，利用图像间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围.
2.以数解形
以形解数最典型的代表是高中数学重要核心知识——解析几何.笛卡尔创立了坐标系之后，后代的数学大师们将平面解析几何放到坐标系中，轻松的用代数方法解决了几何问题，这是数形结合思想的另一方面的重要体现.
案例2 已知抛物线C：y2=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P，Q两点，设AP=λAQ.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2）若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.
审题破题：（1）可利用向量共线证明直线MQ过F；（2）建立|PQ|和λ的关系，然后求最值.
（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，-y1）.
∵AP=λAQ，
∴x1 1=λ（x2 1），y1=λy2，
∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，∴λ2x2 1=λ（x2 1），λx2（λ-1）=λ-1.
∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F（1，0），
∴MF=（1-x1，y1）=（1-λ，λy2）=λ1λ-1，y2=λFQ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
（2）解析：由（1）知x2=1λ，x1=λ，得x1x2=1，y22·y22=16x1x2=16，∵y1y2>0，∴y1y2=4，则|PQ|2=（x1-x2）2 （y1-y2）2=x21 x22 y21 y22-2（x1x2 y1y2）=λ 1λ2 4λ 1λ-12=λ 1λ 22-16，λ∈13，12，λ 1λ∈52，103，当λ 1λ=103，即λ=12时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.
反思归纳：求最值或求范围问题常见的解法有两种：（1）几何法.若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.（2）代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法.
总之，数形结合思想是高中数学极为重要的思想方法之一.以形辅数主要体现在函数相关知识的延伸，以数解形恰恰在解析几何中有着重要的体现.通过典型问题的渗透，努力培养学生数形结合思想方法的积累.