[摘要]分析缓和曲线近似公式后指出：Ls/R≥1时，缓和曲线近似公式要通过验算相应增加高次项。
　　[关键词]缓和曲线 公式 取项
　　中图分类号：TU2 文献标识码：A 文章编号：1671－7597(2008)0610092－01
　　
　　一、问题的引入
　　
　　某立交桥的8座匝道桥设计的下部结构线型和上部结构线型严重错位，最大点位差250MM，经分析是缓和曲线近似公式取项不同引起的。经采用本文介绍的公式重新复核，解决了这一问题。
　　
　　二、缓和曲线公式
　　
　　我国交通部颁发的《公路工程技术标准》规定：缓和曲线采用回旋曲线。一般施工手册和教科书上缓和曲线的直角坐标系参数方程为：
　　X=L-L5/40R2Ls2
　　Y=L3/6RLs-L7/336R3Ls3 （1）
　　这个公式是这样推导的，如图：以ZH点为坐标原点，过ZH点的切线为X轴。ZH点的半径为Y轴，任意一点P的坐标为X、Y，切线角（回旋曲线上任一点P处的切线与起点切线的交角）为β，曲线长为L，则:
　　dβ=dL/ρ=L*dL/R*Ls
　　=>Β=L2/2R*Ls(弧度)
　　(2)
　　dx=dL*cosβ
　　Dy=dL*sinβ
　　(3)
　　将cosβ、sinβ分别级数展开
　　cosβ=1-β2/2!+β4/4!-β6/6！+…
　　sinβ=β-β3/3!+β5/5!-β7/7！+… (4)
　　将式（2）、（4）代入（3）式中，则：
　　Dx=[1-1/2(L2/2RLS)2+1/24(L2/2RLS)4-1/720(L2/2RLS)6+…]dL
　　dy=[L2/2RLS-1/6(L2/2RLS)3+1/120(L2/2RLS)5-1/5040(L2/2RLS)7+…]dL
　　积分得：
　　x=L-L5/40R2LS2+L9/3456R4LS4-L13/599040R6LS6+…
　　Y=L3/6RLS-L7/336R3LS3-L11/42240R5LS5-L15/9676800R7LS7+… (5)
　　记X（i）、Y（i）为公式中X、Y的第i项的绝对值
　　公式（5）略去高次项就是公式（1）。
　　
　　三、近似公式的误差
　　
　　公式（1）的近似误差可以用省略的高次项的首项估计，这个值与L、LS、R有关。对于同一缓和曲线，当L=LS时误差最大，一般该值小于0.1M就满足设计要求，小于0.005M满足桥梁测设精度要求，下面我们只讨论L=LS时的误差。
　　缓和曲线能够起到缓和离心力突变，完成超高加宽渐变和便于驾驶操作等作用，这通过一定的长度来保证，且缓和曲线越长其缓和效果越好。《公路工程技术标准》规定“缓和曲线的长度应根据其计算行车速度求算”，并规定了最小值。当R>100M时，缓和曲线采用最小值，根据公式（1）计算的误差很小，可以忽略。
　　另外缓和曲线能使线形顺畅、美观。为达到此目的，根据经验，设计中缓和曲线长度应满足如下要求：
　　R>3000M时，Ls　　3000M>R>100M时，R/9　　R=100M时，Ls=100M;
　　R<100M时，Ls>R。
　　根据《公路工程技术标准》的要求和上面的经验公式，虚拟了一些长缓和曲线，来估计公式(1)的误差，如表一：
　　
　　由上表可以看出，当LS/R<1时，公式(1)的近似精度可以满足缓和曲线设计要求。
　　当Ls/R≥1时，公式(1)的近似精度就可能不满足设计要求，特别是桥梁工程等测量精度要求高的工程中更是如此。
　　那么公式(1)的误差究竟有多大，高次项究竟取到第几次项才合适，我们来分析两个极限情况：
　　设α为公路偏角，有LS/R=2β0≤α:
　　（1）根据《公路路线设计规范》，如果采用基本型或S型曲线，应保证圆曲线最小长度与回旋曲线长度相等,则最长LS满足:
　　R（α-2β0）π/180=LS
　　LS/R=α-2β0=2β0
　　α取最大值5.5弧度(约315。)，则LS/R=2.75。
　　（2）如果回曲旋线间不插入圆曲线而形成凸型曲线,则：
　　LS/R=2β0=α
　　α最大值取5.5弧度（约315。），则LS/R=5.5。
　　表二列出一些最不利线型的误差。
　　
　　通过表二可以看出，在不利的情况，公式（1）的精度完全不能满足要求。但在第一种不利情况，公式（1）增加1项高次项就基本可以满足要求，在第二种不利情况下，公式（1）需增加2项高次项才能满足要求。建议当LS/R≥1时验算公式（5）的高次项后，决定其取舍。
　　
　　四、结论
　　
　　在有缓和曲线线形的路桥设计、施工中,当LS/R≥1时，要注意缓和曲线近似公式能否满足要求,适当增加近似公式的高次项。并应相互沟通,保证近似公式的一致性，特别是桥梁等精度要求高的工程更应如此。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”