论文部分内容阅读
[摘要]分析缓和曲线近似公式后指出:Ls/R≥1时,缓和曲线近似公式要通过验算相应增加高次项。
[关键词]缓和曲线 公式 取项
中图分类号:TU2 文献标识码:A 文章编号:1671-7597(2008)0610092-01
一、问题的引入
某立交桥的8座匝道桥设计的下部结构线型和上部结构线型严重错位,最大点位差250MM,经分析是缓和曲线近似公式取项不同引起的。经采用本文介绍的公式重新复核,解决了这一问题。
二、缓和曲线公式
我国交通部颁发的《公路工程技术标准》规定:缓和曲线采用回旋曲线。一般施工手册和教科书上缓和曲线的直角坐标系参数方程为:
X=L-L5/40R2Ls2
Y=L3/6RLs-L7/336R3Ls3 (1)
这个公式是这样推导的,如图:以ZH点为坐标原点,过ZH点的切线为X轴。ZH点的半径为Y轴,任意一点P的坐标为X、Y,切线角(回旋曲线上任一点P处的切线与起点切线的交角)为β,曲线长为L,则:
dβ=dL/ρ=L*dL/R*Ls
=>Β=L2/2R*Ls(弧度)
(2)
dx=dL*cosβ
Dy=dL*sinβ
(3)
将cosβ、sinβ分别级数展开
cosβ=1-β2/2!+β4/4!-β6/6!+…
sinβ=β-β3/3!+β5/5!-β7/7!+… (4)
将式(2)、(4)代入(3)式中,则:
Dx=[1-1/2(L2/2RLS)2+1/24(L2/2RLS)4-1/720(L2/2RLS)6+…]dL
dy=[L2/2RLS-1/6(L2/2RLS)3+1/120(L2/2RLS)5-1/5040(L2/2RLS)7+…]dL
积分得:
x=L-L5/40R2LS2+L9/3456R4LS4-L13/599040R6LS6+…
Y=L3/6RLS-L7/336R3LS3-L11/42240R5LS5-L15/9676800R7LS7+… (5)
记X(i)、Y(i)为公式中X、Y的第i项的绝对值
公式(5)略去高次项就是公式(1)。
三、近似公式的误差
公式(1)的近似误差可以用省略的高次项的首项估计,这个值与L、LS、R有关。对于同一缓和曲线,当L=LS时误差最大,一般该值小于0.1M就满足设计要求,小于0.005M满足桥梁测设精度要求,下面我们只讨论L=LS时的误差。
缓和曲线能够起到缓和离心力突变,完成超高加宽渐变和便于驾驶操作等作用,这通过一定的长度来保证,且缓和曲线越长其缓和效果越好。《公路工程技术标准》规定“缓和曲线的长度应根据其计算行车速度求算”,并规定了最小值。当R>100M时,缓和曲线采用最小值,根据公式(1)计算的误差很小,可以忽略。
另外缓和曲线能使线形顺畅、美观。为达到此目的,根据经验,设计中缓和曲线长度应满足如下要求:
R>3000M时,Ls 3000M>R>100M时,R/9 R=100M时,Ls=100M;
R<100M时,Ls>R。
根据《公路工程技术标准》的要求和上面的经验公式,虚拟了一些长缓和曲线,来估计公式(1)的误差,如表一:
由上表可以看出,当LS/R<1时,公式(1)的近似精度可以满足缓和曲线设计要求。
当Ls/R≥1时,公式(1)的近似精度就可能不满足设计要求,特别是桥梁工程等测量精度要求高的工程中更是如此。
那么公式(1)的误差究竟有多大,高次项究竟取到第几次项才合适,我们来分析两个极限情况:
设α为公路偏角,有LS/R=2β0≤α:
(1)根据《公路路线设计规范》,如果采用基本型或S型曲线,应保证圆曲线最小长度与回旋曲线长度相等,则最长LS满足:
R(α-2β0)π/180=LS
LS/R=α-2β0=2β0
α取最大值5.5弧度(约315。),则LS/R=2.75。
(2)如果回曲旋线间不插入圆曲线而形成凸型曲线,则:
LS/R=2β0=α
α最大值取5.5弧度(约315。),则LS/R=5.5。
表二列出一些最不利线型的误差。
通过表二可以看出,在不利的情况,公式(1)的精度完全不能满足要求。但在第一种不利情况,公式(1)增加1项高次项就基本可以满足要求,在第二种不利情况下,公式(1)需增加2项高次项才能满足要求。建议当LS/R≥1时验算公式(5)的高次项后,决定其取舍。
四、结论
在有缓和曲线线形的路桥设计、施工中,当LS/R≥1时,要注意缓和曲线近似公式能否满足要求,适当增加近似公式的高次项。并应相互沟通,保证近似公式的一致性,特别是桥梁等精度要求高的工程更应如此。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
[关键词]缓和曲线 公式 取项
中图分类号:TU2 文献标识码:A 文章编号:1671-7597(2008)0610092-01
一、问题的引入
某立交桥的8座匝道桥设计的下部结构线型和上部结构线型严重错位,最大点位差250MM,经分析是缓和曲线近似公式取项不同引起的。经采用本文介绍的公式重新复核,解决了这一问题。
二、缓和曲线公式
我国交通部颁发的《公路工程技术标准》规定:缓和曲线采用回旋曲线。一般施工手册和教科书上缓和曲线的直角坐标系参数方程为:
X=L-L5/40R2Ls2
Y=L3/6RLs-L7/336R3Ls3 (1)
这个公式是这样推导的,如图:以ZH点为坐标原点,过ZH点的切线为X轴。ZH点的半径为Y轴,任意一点P的坐标为X、Y,切线角(回旋曲线上任一点P处的切线与起点切线的交角)为β,曲线长为L,则:
dβ=dL/ρ=L*dL/R*Ls
=>Β=L2/2R*Ls(弧度)
(2)
dx=dL*cosβ
Dy=dL*sinβ
(3)
将cosβ、sinβ分别级数展开
cosβ=1-β2/2!+β4/4!-β6/6!+…
sinβ=β-β3/3!+β5/5!-β7/7!+… (4)
将式(2)、(4)代入(3)式中,则:
Dx=[1-1/2(L2/2RLS)2+1/24(L2/2RLS)4-1/720(L2/2RLS)6+…]dL
dy=[L2/2RLS-1/6(L2/2RLS)3+1/120(L2/2RLS)5-1/5040(L2/2RLS)7+…]dL
积分得:
x=L-L5/40R2LS2+L9/3456R4LS4-L13/599040R6LS6+…
Y=L3/6RLS-L7/336R3LS3-L11/42240R5LS5-L15/9676800R7LS7+… (5)
记X(i)、Y(i)为公式中X、Y的第i项的绝对值
公式(5)略去高次项就是公式(1)。
三、近似公式的误差
公式(1)的近似误差可以用省略的高次项的首项估计,这个值与L、LS、R有关。对于同一缓和曲线,当L=LS时误差最大,一般该值小于0.1M就满足设计要求,小于0.005M满足桥梁测设精度要求,下面我们只讨论L=LS时的误差。
缓和曲线能够起到缓和离心力突变,完成超高加宽渐变和便于驾驶操作等作用,这通过一定的长度来保证,且缓和曲线越长其缓和效果越好。《公路工程技术标准》规定“缓和曲线的长度应根据其计算行车速度求算”,并规定了最小值。当R>100M时,缓和曲线采用最小值,根据公式(1)计算的误差很小,可以忽略。
另外缓和曲线能使线形顺畅、美观。为达到此目的,根据经验,设计中缓和曲线长度应满足如下要求:
R>3000M时,Ls
R<100M时,Ls>R。
根据《公路工程技术标准》的要求和上面的经验公式,虚拟了一些长缓和曲线,来估计公式(1)的误差,如表一:
由上表可以看出,当LS/R<1时,公式(1)的近似精度可以满足缓和曲线设计要求。
当Ls/R≥1时,公式(1)的近似精度就可能不满足设计要求,特别是桥梁工程等测量精度要求高的工程中更是如此。
那么公式(1)的误差究竟有多大,高次项究竟取到第几次项才合适,我们来分析两个极限情况:
设α为公路偏角,有LS/R=2β0≤α:
(1)根据《公路路线设计规范》,如果采用基本型或S型曲线,应保证圆曲线最小长度与回旋曲线长度相等,则最长LS满足:
R(α-2β0)π/180=LS
LS/R=α-2β0=2β0
α取最大值5.5弧度(约315。),则LS/R=2.75。
(2)如果回曲旋线间不插入圆曲线而形成凸型曲线,则:
LS/R=2β0=α
α最大值取5.5弧度(约315。),则LS/R=5.5。
表二列出一些最不利线型的误差。
通过表二可以看出,在不利的情况,公式(1)的精度完全不能满足要求。但在第一种不利情况,公式(1)增加1项高次项就基本可以满足要求,在第二种不利情况下,公式(1)需增加2项高次项才能满足要求。建议当LS/R≥1时验算公式(5)的高次项后,决定其取舍。
四、结论
在有缓和曲线线形的路桥设计、施工中,当LS/R≥1时,要注意缓和曲线近似公式能否满足要求,适当增加近似公式的高次项。并应相互沟通,保证近似公式的一致性,特别是桥梁等精度要求高的工程更应如此。
注:“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”