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摘 要：如何提高班级学生整体数学成绩是现在每个初中数学教师都在考虑的问题，尤其是在初中毕业阶段。其实，只要不是天生的智力因素，每个学生都是具有学好数学的潜质的，关键是如何培养这些数学“临界生”的学习信心，教给他们合理的学习方法，发掘他们的学习潜质。
关键词：九年级学生；升学辅导；临界生；潜质发掘
关于“临界生”，本文主要是指智力正常，而由于各种原因造成了他们的数学成绩仅处于班级中等水平，预计在中考中成绩录取是处于普高和职高之间，但在数学学习上又很有潜力的那些学生。重视这部分“临界”学生的学习潜质的培养和挖掘，把他们作为重点研究和培养的对象，对于整个班级的教学、管理和升学成绩都至关重要。可以说，他们的数学成绩提高了，整个班级或年级的数学成绩就会有一个大的飞跃。因而，做好这一些数学“临界生”的辅导，是初三数学教学的一个重要环节，也是对数学教师的一个挑战。
一、帮助“临界生”重拾学习信心
美国著名心理学家威廉·詹姆斯说：“人性最高层次的需求就是渴望别人欣赏。”及时的表扬与评价对培养数学“临界生”的成功意识，增强他们成功的信心十分重要。如果教师能够及时满足他们的这一个心理期望，就能极大地激发他们成功的强烈欲望与自信，并且使他们心中的希望之灯越燃越亮，学习的动力也越来越足，对于提高自己的数学学习成绩的希望也就会越来越大。
当然，每个学生都不一样，对每个数学“临界生”要有针对性地开导鼓励，帮助他们调整好心态。教师可以从思想上关注他们，而不要过分注重分数。对于已经取得进步并已达到“临界线”的学生，要充分肯定其进步，将其成绩纵向、综合作比较，培养其备战中考的信心。对每一次考试，特别是比较重要的考试都要加以关注。学生进步了要及时给予鼓励，希望其戒骄戒躁，更上一层楼。退步了就更要与其沟通，帮助其分析原因，制定下阶段的辅导计划。
二、了解辅导对象，帮助其制订合理的学习计划
（一）研究“临界生”具体的学习情况，有针对性地分组辅导
要想使辅导收到较好的效果，就要在辅导之前，针对这些数学“临界生”的数学学习情况进行具体分析，找出“症结”所在。首先要了解和研究辅导对象的不同特点。比如，就学习成绩不突出来说就有多方面的原因，有的是学习态度问题，有的是学习方法问题，更多的是由于基础知识不牢。基础知识不牢也分多方面，有的是代数好几何差，有的是几何好函数差，各个学生的情况有相似也有不同。要根据这些学生平时的作业、考试情况，再根据“临界生”自己提供的数学薄弱环节，按模块进行大致的分组，最后以小组为单位进行辅导。
（二）帮助“临界生”制订科学的补习计划
数学“临界生”的数学成绩不上不下，说明他们在学习方面肯定存在着许多的问题。光在课堂上是不可能解决所有问题的，数学“临界生”存在的诸多问题还是需要靠教师在课外的辅导中帮助解决。
由于数学“临界生”的每个人的问题不同，所以在帮助其辅导时必须先制订一个合理的补习计划。计划包括该生的情况分析、存在问题归类及辅导方法等内容。辅导时，要坚持启发学生内在积极性的原则，不是单纯的解决某个具体问题，而是发掘“临界生”的学习潜质，教给学生解决问题的方法。
三、数学“临界生”学习潜质的发掘
对于数学“临界生”有效可行的辅导方式，以升学复习为例作简单的表述如下：
■
下面以“圆”为例仔细阐述笔者的辅导过程：
（一）作好辅前准备，使“临界生”的潜质发掘有的放矢
1.学习考纲，研究中考。考试说明是中考命题的依据，中考试题是对考试说明要求的具体化。只有研究考试说明，同时分析中考试题，才能加深对它的理解；才能体会自己在平时的教学情况与命题专家们在理解考试说明上的差距，并争取缩小这一差距；才能克服辅导的盲目性，增强做题的自觉性，加强命题的针对性，提高复习的有效性。
数学“临界生”最大的学习潜质是能根据教师的指导，对于“阶梯式”的题目有逐步分析解决的能力。也就是说，这些学生只要理解了知识的概念后就能解决一些由简到难的题目。因此，在特别辅导前要做好一些准备工作。例如，在辅导“垂径定理”前，笔者就根据《2012年浙江省普通中考考试说明》的要求，告诉学生“圆”中的垂径定理的考点是：垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线。
在教学过程中几乎每位教师都会提到解决垂径定理的关键是作垂径三角形的辅助线，这里所谓的垂径三角形指的是由半径、弦心距和弦的一半这三个量构成的一个直角三角形，再利用一次勾股定理即可解决。看似很简单，但由于题目的灵活性，学生在实际的解答过程中还是会不断的出现问题，其实，教师只要稍微对问题的关键作适当的点拨，他们就能解决问题。但如果教师没有重视“临界生”存在这种学习上的潜质，这样简短易懂的题目就会成为学生的失分点，其结果是非常可惜的。
2.教给学生备好“工具”方便运用。这里的工具，一是基础知识、概念、定理、公式、法则，二是数学思想方法。“临界生”基础知识掌握不扎实，有些该记忆的公式没有记住，该理解的概念没有理解，尤其是几何基本问题的求法，函数解析式的求解等，做题时不知该用哪个公式，还得去翻书。针对这种情况，在复习之初，就应先让学生把该掌握的掌握好，并整理出知识脉络。在此基础上，教师再对个别重点、难点予以强调和讲解。这样做的结果是，学生自我归纳了知识的精髓，教师的指点又弥补了其中的不足。
例如，在“圆”的复习中首先要求学生对圆的定义、垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弧长和扇形的面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式等这些概念、公式都掌握好。在此基础上，再让他们做一些简单的公式应用训练，以强化公式的记忆和提高公式的熟练应用能力。
（二）有效辅导，使“临界生”的学习潜质得以有效发掘 1.依据考纲，精选练习，逐步提高解题能力。题海之战，无异于将人引入无舵舢板，很难达到预定的彼岸。在初中数学的分析阶段，提高数学的复习效果，更不能搞题海战术。特别是面对这些“临界生”，更应做到题少，题精。教师可先精选一些简单题给他们练，引导他们如何审题，如何通过关键信息寻找线索，从而找到解题的突破口；如何利用各种解题技巧、方法得出正确答案。对于教师来说，应该注意引导学生的表现欲，采用低起点，让他们先享受一下成功，然后不断深入，提高其解题的能力。
2.合作学习，挖掘潜力，努力激发解题兴趣。著名教育家陶行知先生提出“六大解放”思想，其中就有“解放学生的头脑，解放学生的嘴巴，解放学生的空间”，这就要求教师在初中数学的复习教学的过程中，尽量发挥学生的主观能动性。教师要采取有效的方法，在指导“临界生”的复习时要“能放”“会引”“多探”“善启”，让学生自己去选择，去挑战，去合作，完成自己的目标。学生在不断运用大脑的同时，各项能力也就有了增长。
小组合作解题笔者在初三的课堂教学中采用的较少，主要是时间太紧，但是小组合作对于“临界生”的课外辅导非常有效，有时也减轻了教师的负担，学生在讨论中更深层次地提高了对题目的认识。
3.教给方法，引发参与，有效发掘学习内驱。数学“临界生”的学习方法不够到位，是他们数学成绩上不去的其中原因之一，所以笔者在辅导“临界生”的数学解题时比较注重解题方法的指导。
（1）理考点，解题思路。首先根据章节知识所运用到的数学思想和方法，引导学生回顾它们的雏形，然后组织学生小组讨论，认真分析运用这些数学思想和方法的条件和背景，使学生真正从理性的高度去掌握数学思想方法。
（2）让学生来讲题。理性、规范、统一、严格的传统教学与学习环境严重挫伤了学生学习的积极性和创造性，不仅浪费了学习时间，还导致一大批学生对数学学习产生恐惧，从而讨厌学习数学。要改变这种状态，除了要改变课堂的教学模式外，更要改变课外辅导模式。重视学生解决问题的过程体验，感悟数学的教学方式，使学生真正体会自己不是一台解题机器，而是在享受数学之美。
数学课外辅导的讲解，并非是教师的专利。选择适当的问题，让学生自己登台去讲解，能起到更好的复习效果。关键是能否相信学生，并给他们这种机会。不少学生深有体会地说：“准备登台讲解的过程，其实就是自主学习的过程，它要求自己必须学透，学精，而且可以锻炼自己的表达能力。”给他们机会，就是给自己放松，而且事半功倍，何乐而不为。
4.全面关注，内外结合，创造条件加深理解。“临界生”不应只在辅导课上才是临界生，在日常的数学课中，教师更要注意他们作为“临界生”的身份。对“临界生”的辅导，只靠课余，显然是不够的。与其让他们课堂上听不懂，留下更多的问题课外解决，不如让他们在课堂上掌握更多的知识，解决更多的问题。因而，平时备每一节课时，教师应多花一点时间备一下“临界生”，上课时则就他们常出现的问题多加提问。课堂上多给“临界生”机会去补救不足或者加深对知识的理解，切切实实提高他们学习数学的兴趣和热情，能收到极佳的效果。
（三）及时巩固练习，使发掘的“临界生”潜质巩固提升
1.变式训练，增添新鲜，提升演练。在进行了有针对性的辅导后，教师应单独针对他们的特点，设置几个问题；问题不需要太多，有时可以用一个问题进行课后的反馈，使其牢固掌握好。同一个问题应采用多个不同的提问形式、多个不同的提问角度进行提问，给学生一种新鲜感，不至于同一个问题多次提问，使学生产生一种重复训练的疲劳感。
2.小结反思，自我提升，巩固发掘。学生将题目做完了，但对这道题的学习并不应就此简单地结束，还应让他们想想、说说为什么自己选了某个答案，讨论为什么这个答案是对的或不对的，自己当时的思路是什么，用了什么方法，这样思考问题的方向对不对，这种解题技巧是否可行，以后应注意什么，有什么需要改进，等等。
每当复习完一个专题之后，要求学生做到两点：一是充分利用章节后面“复习与小结”的内容，弄清本章本节的知识结构。二是避开课本上“复习与小结”的内容，自己列出详尽的复习提纲。其中包括系统知识、典型例题、能力要求、思想方法、解题技巧、学习体会等，使其感到自己的学习潜力是巨大的，巩固在教师指导下发掘到的学习成果。
每个人从一出生都注定有不平凡的一面，“临界生”也一样可以通过持之以恒的努力、决不放弃的精神，尽情绽放属于他们的美丽，而他们的成功对于学校和他们个人都有十分重要的意义。
参考文献：
[1]（前苏联）B.A.苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，1999.
[2]（美）G.波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
[3]王工一.数学教育新视野[M].杭州：浙江大学出版社，2006.
关键词：九年级学生；升学辅导；临界生；潜质发掘
关于“临界生”，本文主要是指智力正常，而由于各种原因造成了他们的数学成绩仅处于班级中等水平，预计在中考中成绩录取是处于普高和职高之间，但在数学学习上又很有潜力的那些学生。重视这部分“临界”学生的学习潜质的培养和挖掘，把他们作为重点研究和培养的对象，对于整个班级的教学、管理和升学成绩都至关重要。可以说，他们的数学成绩提高了，整个班级或年级的数学成绩就会有一个大的飞跃。因而，做好这一些数学“临界生”的辅导，是初三数学教学的一个重要环节，也是对数学教师的一个挑战。
一、帮助“临界生”重拾学习信心
美国著名心理学家威廉·詹姆斯说：“人性最高层次的需求就是渴望别人欣赏。”及时的表扬与评价对培养数学“临界生”的成功意识，增强他们成功的信心十分重要。如果教师能够及时满足他们的这一个心理期望，就能极大地激发他们成功的强烈欲望与自信，并且使他们心中的希望之灯越燃越亮，学习的动力也越来越足，对于提高自己的数学学习成绩的希望也就会越来越大。
当然，每个学生都不一样，对每个数学“临界生”要有针对性地开导鼓励，帮助他们调整好心态。教师可以从思想上关注他们，而不要过分注重分数。对于已经取得进步并已达到“临界线”的学生，要充分肯定其进步，将其成绩纵向、综合作比较，培养其备战中考的信心。对每一次考试，特别是比较重要的考试都要加以关注。学生进步了要及时给予鼓励，希望其戒骄戒躁，更上一层楼。退步了就更要与其沟通，帮助其分析原因，制定下阶段的辅导计划。
二、了解辅导对象，帮助其制订合理的学习计划
（一）研究“临界生”具体的学习情况，有针对性地分组辅导
要想使辅导收到较好的效果，就要在辅导之前，针对这些数学“临界生”的数学学习情况进行具体分析，找出“症结”所在。首先要了解和研究辅导对象的不同特点。比如，就学习成绩不突出来说就有多方面的原因，有的是学习态度问题，有的是学习方法问题，更多的是由于基础知识不牢。基础知识不牢也分多方面，有的是代数好几何差，有的是几何好函数差，各个学生的情况有相似也有不同。要根据这些学生平时的作业、考试情况，再根据“临界生”自己提供的数学薄弱环节，按模块进行大致的分组，最后以小组为单位进行辅导。
（二）帮助“临界生”制订科学的补习计划
数学“临界生”的数学成绩不上不下，说明他们在学习方面肯定存在着许多的问题。光在课堂上是不可能解决所有问题的，数学“临界生”存在的诸多问题还是需要靠教师在课外的辅导中帮助解决。
由于数学“临界生”的每个人的问题不同，所以在帮助其辅导时必须先制订一个合理的补习计划。计划包括该生的情况分析、存在问题归类及辅导方法等内容。辅导时，要坚持启发学生内在积极性的原则，不是单纯的解决某个具体问题，而是发掘“临界生”的学习潜质，教给学生解决问题的方法。
三、数学“临界生”学习潜质的发掘
对于数学“临界生”有效可行的辅导方式，以升学复习为例作简单的表述如下：
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下面以“圆”为例仔细阐述笔者的辅导过程：
（一）作好辅前准备，使“临界生”的潜质发掘有的放矢
1.学习考纲，研究中考。考试说明是中考命题的依据，中考试题是对考试说明要求的具体化。只有研究考试说明，同时分析中考试题，才能加深对它的理解；才能体会自己在平时的教学情况与命题专家们在理解考试说明上的差距，并争取缩小这一差距；才能克服辅导的盲目性，增强做题的自觉性，加强命题的针对性，提高复习的有效性。
数学“临界生”最大的学习潜质是能根据教师的指导，对于“阶梯式”的题目有逐步分析解决的能力。也就是说，这些学生只要理解了知识的概念后就能解决一些由简到难的题目。因此，在特别辅导前要做好一些准备工作。例如，在辅导“垂径定理”前，笔者就根据《2012年浙江省普通中考考试说明》的要求，告诉学生“圆”中的垂径定理的考点是：垂径定理的应用及逆定理的应用，会添加与之相关的辅助线。
在教学过程中几乎每位教师都会提到解决垂径定理的关键是作垂径三角形的辅助线，这里所谓的垂径三角形指的是由半径、弦心距和弦的一半这三个量构成的一个直角三角形，再利用一次勾股定理即可解决。看似很简单，但由于题目的灵活性，学生在实际的解答过程中还是会不断的出现问题，其实，教师只要稍微对问题的关键作适当的点拨，他们就能解决问题。但如果教师没有重视“临界生”存在这种学习上的潜质，这样简短易懂的题目就会成为学生的失分点，其结果是非常可惜的。
2.教给学生备好“工具”方便运用。这里的工具，一是基础知识、概念、定理、公式、法则，二是数学思想方法。“临界生”基础知识掌握不扎实，有些该记忆的公式没有记住，该理解的概念没有理解，尤其是几何基本问题的求法，函数解析式的求解等，做题时不知该用哪个公式，还得去翻书。针对这种情况，在复习之初，就应先让学生把该掌握的掌握好，并整理出知识脉络。在此基础上，教师再对个别重点、难点予以强调和讲解。这样做的结果是，学生自我归纳了知识的精髓，教师的指点又弥补了其中的不足。
例如，在“圆”的复习中首先要求学生对圆的定义、垂径定理、圆心角定理、圆周角定理、弧长和扇形的面积公式、圆锥的侧面积和全面积公式等这些概念、公式都掌握好。在此基础上，再让他们做一些简单的公式应用训练，以强化公式的记忆和提高公式的熟练应用能力。
（二）有效辅导，使“临界生”的学习潜质得以有效发掘 1.依据考纲，精选练习，逐步提高解题能力。题海之战，无异于将人引入无舵舢板，很难达到预定的彼岸。在初中数学的分析阶段，提高数学的复习效果，更不能搞题海战术。特别是面对这些“临界生”，更应做到题少，题精。教师可先精选一些简单题给他们练，引导他们如何审题，如何通过关键信息寻找线索，从而找到解题的突破口；如何利用各种解题技巧、方法得出正确答案。对于教师来说，应该注意引导学生的表现欲，采用低起点，让他们先享受一下成功，然后不断深入，提高其解题的能力。
2.合作学习，挖掘潜力，努力激发解题兴趣。著名教育家陶行知先生提出“六大解放”思想，其中就有“解放学生的头脑，解放学生的嘴巴，解放学生的空间”，这就要求教师在初中数学的复习教学的过程中，尽量发挥学生的主观能动性。教师要采取有效的方法，在指导“临界生”的复习时要“能放”“会引”“多探”“善启”，让学生自己去选择，去挑战，去合作，完成自己的目标。学生在不断运用大脑的同时，各项能力也就有了增长。
小组合作解题笔者在初三的课堂教学中采用的较少，主要是时间太紧，但是小组合作对于“临界生”的课外辅导非常有效，有时也减轻了教师的负担，学生在讨论中更深层次地提高了对题目的认识。
3.教给方法，引发参与，有效发掘学习内驱。数学“临界生”的学习方法不够到位，是他们数学成绩上不去的其中原因之一，所以笔者在辅导“临界生”的数学解题时比较注重解题方法的指导。
（1）理考点，解题思路。首先根据章节知识所运用到的数学思想和方法，引导学生回顾它们的雏形，然后组织学生小组讨论，认真分析运用这些数学思想和方法的条件和背景，使学生真正从理性的高度去掌握数学思想方法。
（2）让学生来讲题。理性、规范、统一、严格的传统教学与学习环境严重挫伤了学生学习的积极性和创造性，不仅浪费了学习时间，还导致一大批学生对数学学习产生恐惧，从而讨厌学习数学。要改变这种状态，除了要改变课堂的教学模式外，更要改变课外辅导模式。重视学生解决问题的过程体验，感悟数学的教学方式，使学生真正体会自己不是一台解题机器，而是在享受数学之美。
数学课外辅导的讲解，并非是教师的专利。选择适当的问题，让学生自己登台去讲解，能起到更好的复习效果。关键是能否相信学生，并给他们这种机会。不少学生深有体会地说：“准备登台讲解的过程，其实就是自主学习的过程，它要求自己必须学透，学精，而且可以锻炼自己的表达能力。”给他们机会，就是给自己放松，而且事半功倍，何乐而不为。
4.全面关注，内外结合，创造条件加深理解。“临界生”不应只在辅导课上才是临界生，在日常的数学课中，教师更要注意他们作为“临界生”的身份。对“临界生”的辅导，只靠课余，显然是不够的。与其让他们课堂上听不懂，留下更多的问题课外解决，不如让他们在课堂上掌握更多的知识，解决更多的问题。因而，平时备每一节课时，教师应多花一点时间备一下“临界生”，上课时则就他们常出现的问题多加提问。课堂上多给“临界生”机会去补救不足或者加深对知识的理解，切切实实提高他们学习数学的兴趣和热情，能收到极佳的效果。
（三）及时巩固练习，使发掘的“临界生”潜质巩固提升
1.变式训练，增添新鲜，提升演练。在进行了有针对性的辅导后，教师应单独针对他们的特点，设置几个问题；问题不需要太多，有时可以用一个问题进行课后的反馈，使其牢固掌握好。同一个问题应采用多个不同的提问形式、多个不同的提问角度进行提问，给学生一种新鲜感，不至于同一个问题多次提问，使学生产生一种重复训练的疲劳感。
2.小结反思，自我提升，巩固发掘。学生将题目做完了，但对这道题的学习并不应就此简单地结束，还应让他们想想、说说为什么自己选了某个答案，讨论为什么这个答案是对的或不对的，自己当时的思路是什么，用了什么方法，这样思考问题的方向对不对，这种解题技巧是否可行，以后应注意什么，有什么需要改进，等等。
每当复习完一个专题之后，要求学生做到两点：一是充分利用章节后面“复习与小结”的内容，弄清本章本节的知识结构。二是避开课本上“复习与小结”的内容，自己列出详尽的复习提纲。其中包括系统知识、典型例题、能力要求、思想方法、解题技巧、学习体会等，使其感到自己的学习潜力是巨大的，巩固在教师指导下发掘到的学习成果。
每个人从一出生都注定有不平凡的一面，“临界生”也一样可以通过持之以恒的努力、决不放弃的精神，尽情绽放属于他们的美丽，而他们的成功对于学校和他们个人都有十分重要的意义。
参考文献：
[1]（前苏联）B.A.苏霍姆林斯基.给教师的建议[M].杜殿坤，编译.北京：教育科学出版社，1999.
[2]（美）G.波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2002.
[3]王工一.数学教育新视野[M].杭州：浙江大学出版社，2006.