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必做题部分（共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分
1.若（1 ai）2=-1 bi（a，b∈R，a>0，i是虚数单位），则a bi=.
2.若集合M={x|x2-2x-3<0}，P={y|y=x-1}，那么M∩P=.
3.若不等式x-m 1x-2m<0成立的一个充分非必要条件是13 4.如图所示的程序运行的结果为.
a←1
b←1
While b<15
a←a b，
b←a b
End While
c←a b
Print c
5.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知a2=2a1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为.
6.设函数f（x）=1-xsinx在x=x0处取得极值，则（1 x20）（1 cos2x0）-1=.
7.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC=2，CD=1，∠ABD=45°，则AD=.
8.设α、β、γ为平面，a、b为直线，给出下列条件，其中能使α∥β成立的条件是.
①aα，bβ，a∥β，b∥α②α∥γ，β∥γ
③α⊥γ，β⊥γ④a⊥α，b⊥β，a∥b
9.若椭圆x2m y2n=1（m>0，n>0）与曲线x2 y2=|m-n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是.
10.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x） 11.设O为△ABC的三个内角平分线的交点，当AB=AC=5，BC=6时，AO=λAB μBC，（λ，μ∈R），则λ μ=.
12.以原点为圆心的圆全部在区域x-3y 6≥02x y-4≤03x 4y 9≥0 内，则圆面积的最大值为.
13.设函数f（x）=x-[x]，x≥0f（x 1），x<0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx k（k>0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是.
14.已知三次函数f（x）=a3x3 b2x2 cx d（a 二、解答题：本大题共6小题，15～17每小题14分，18～20每小题16分，共计90分
15.直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2.
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.
16.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若a，b，c成等比数列，求f（B）=sinB 3cosB的值域；
（2）若a，b，c成等差数列，且A-C=π3，求cosB的值.
17.在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层.
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
18.已知A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R.若RM=λMQ，RN=μNQ，证明：λ μ为定值.
19.已知函数f（x）=mx3-x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立；
（3）求证：|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
20.已知数列{an}中，a1=1，an an 1=2n（n∈N*），bn=3an.
（1）试证数列{an-13×2n}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式.
（2）在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由.
（3）试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1 附加题部分（共40分）
21.[选做题] 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题评分
A.选修41：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC. （1）求证：∠P=∠EDF；
（2）求证：CE·EB=EF·EP；
（3）若CE∶BE=3∶2，DE=6，EF=4，求PA的长.
B.选修42：矩阵与变换
线性变换T把（1，0）变成了（1，-1），并且把圆x2 y2-2y=0变成圆x2 y2-2x-2y=0.
（1）试求变换T所表示的矩阵M；
（2）求直线x-y=1在T变换下的所得直线的方程.
C.选修44：坐标系与参数方程
已知圆M：x=1 cosθ，y=sinθ（θ为参数）的圆心F是抛物线E：x=2pt2y=2pt的焦点，过焦点F的直线交抛物线与A、B两点，求AF·FB的取值范围.
D.选修45：不等式选讲
设a、b、c均为实数，求证：12a 12b 12c≥1b c 1c a 1a b.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共计20分
22.抛物线y2=4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≥x2，y1>0，y2<0）在抛物线上，且存在λ，使AF λBF=0.
（1）若|AB|=254.求直线AB的方程；
（2）过A、B两点分别作直线l：x=-1的垂线，垂足分别是A′，B′，求四边形AA′B′B面积的最小值.
23.如图，在体积为1的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1=1，P为线段AB上的动点.
（1）求证：CA1⊥C1P；
（2）当AP为何值时，二面角C1PB1A1的大小为π6？
参考答案
必做题部分
1.2 22i
2.[0，3）
3.[14，43]
4.34
5.160
6.1
7.5
8.②④
9.（0，22）
10.35
11.1516
12.165π
13.[14，13）
14.3
15.解：（1）直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.
（2）存在点P，P为A1B1的中点.
证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=12AB.
又∵DC∥AB，DC=12AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP.
又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.
同理，DP∥面BCB1.
16.解：（1）∵b2=ac，a2 c2≥2ac，
∴cosB=a2 c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，
当且仅当a=c时取等号，∴0 由于f（B）=sinB 3cosB=2sin（B π3），
又B π3∈（π3，2π3]，∴3≤f（B）≤2，
即f（B）的值域为[3，2].
（2）∵a c=2b，∴sinA sinC=2sinB，又
∵A-C=π3，A C=π-B，
∴A=2π3-B2，C=π3-B2，
∴sin（2π3-B2） sin（π3-B2）=2sinB，
展开化简，得3cosB2=2×2sinB2cosB2，
∵cosB2≠0，∴sinB2=34，
∴cosB=1-2sin2B2=1-38=58.
17.解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由2009-n（n 1）2 当n=62时，使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余了56根圆钢；
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx 12n（n-1）=2009，
即n（2x n-1）=2×2009=2×7×7×41，
因n-1与n的奇偶性不同，所以2x n-1与n的奇偶性也不同，且n<2x n-1，从而由上述等式得：
n=72x n-1=574或n=142x n-1=287
或n=412x n-1=98或n=492x n-1=82，
所以共有4种方案可供选择.
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长都为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为2003cm，
而2003 10<400，所以符合条件；
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，
两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为2403cm，显然大于4m，不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 18.解：（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵P是线段AB的中点，∴x=x1 x22，y=y1 y22.
∵A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的点，∴y1=33x1和y2=-33x2.
∴x1-x2=23y，y1-y2=233x.，又|AB|=23，
∴（x1-x2）2 （y1-y2）2=12.
∴12y2 43x2=12，
∴动点P的轨迹C的方程为x29 y2=1.
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）.
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），
则M、N两点坐标满足方程组y=k（x-1），x29 y2=1.
消去y并整理，得（1 9k2）x2-18k2x 9k2-9=0，
∴x3 x4=18k21 9k2，①
x3x4=9k2-91 9k2.②
∵RM=λMQ，∴（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）].
即x3=λ（1-x3）y3-y5=-λy3，∴x3=λ（1-x3）.∵l与x轴不垂直，∴x3≠1，
∴λ=x31-x3，同理μ=x41-x4.
∴λ μ=x31-x3 x41-x4=（x3 x4）-2x3x41-（x3 x4） x3x4.
将①②代入上式可得λ μ=-94.
19.解：（1）f′（x）=3mx2-1，依题意，得tanπ4=f′（1），即1=3m-1，m=23.
∴f（x）=23x3-x.把N（1，n）代入，得n=f（1）=-13.∴m=23，n=-13.
（2）令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22.
当-10；当-22 当220.
又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15.
因此，当x∈[-1，3]时-23≤f（x）≤15；
要使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15 1991=2006.
所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立.
（3）（方法1）：|f（sinx） f（cosx）|=|（23sin3x-sinx） （23cos3x-cosx）|
=|23（sin3x cos3x）-（sinx cosx）|
=|（sinx cosx）[23（sin2x-sinxcosx cos2x）-1]|
=|sinx cosx|·|-23sinxcosx-13|
=13|sinx cosx|3=13|2sin（x π4）|3≤223.
又∵t>0，∴t 12t≥2，t2 14t2≥1.
∴2f（t 12t）=2[23（t 12t）3-（t 12t）]
=2（t 12t）[23（t2 1 14t2）-1]
=2（t 12t）[23（t2 14t2）-13]
≥22（23-13）=223.
综上可得，|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
（方法2）：由（2）知，函数f（x）在[-1，-22]上是增函数；在[-22，22]上是减函数；在[22，1]上是增函数.又因为f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，
所以，当x∈[-1，1]时，-23≤f（x）≤23，
即|f（x）|≤23.
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，
|f（cosx）|≤23.
∴|f（sinx） f（cosx）|≤|f（sinx）| |f（cosx）|≤23 23≤223.
又∵t>0，∴t 12t≥2>1，且函数f（x）在[1， ∞）上是增函数.
∴2f（t 12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.
综上可得，|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
20.解：（1）证明：由an an 1=2n，得an 1=2n-an，所以
an 1-13×2n 1an-13×2n=2n-an-13×2n 1an-13×2n
=-an 13×2nan-13×2n=-1.
又因为a1-23=13，
所以数列{an-13×2n}是首项为13，公比为-1的等比数列.
所以an-13×2n=13×（-1）n-1，
即an=13[2n-（-1）n]，所以bn=2n-（-1）n.
（2）假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk 1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则bk-1 bk 1=2bk，即[2k-1-（-1）k-1] [2k 1-（-1）k 1]=2[2k-（-1）k]，即2k-1=4（-1）k-1.
①若k为偶数，则2k-1>0，4（-1）k-1=-4<0，所以，不存在偶数k，使得bk-1，bk，bk 1成等差数列.
②若k为奇数，则当k≥3时，2k-1≥4，而4（-1）k-1=4，所以，当且仅当k=3时，bk-1，bk，bk 1成等差数列. 综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列.
（3）要使b1，br，bs成等差数列，只需b1 bs=2br，
即3 2s-（-1）s=2[2r-（-1）r]，即2s-2r 1=（-1）s-2（-1）r-3，（﹡）
①若s=r 1，在（﹡）式中，左端2s-2r 1=0，
右端（-1）s-2（-1）r-3=（-1）s 2（-1）s-3=3（-1）s-3，
要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时.又s>r>1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s=r 1时，b1，br，bs成等差数列.
②若s≥r 2时，在（﹡）式中，左端2s-2r 1≥2r 2-2r 1=2r 1，
由（2）可知，r≥3，所以r 1≥4，所以左端2s-2r 1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（-1）s-2（-1）s-3≤0.所以当s≥r 2时，b1，br，bs不成等差数列.
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r 1，使得b1，br，bs成等差数列.
附加题部分
21.A.选修41：几何证明选讲
解：（1）∵DE2=EF·EC，∴DE∶CE=EF∶ED.又∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED.∴∠EDF=∠C.
又∵CD∥AP，
∴∠C=∠P.∴∠P=∠EDF.
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE=EF∶EA.即EF·EP=DE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP.
（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF=4，∴EC=9.∵CE∶BE=3∶2，∴BE=6.
∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP.解得：EP=272.∴PB=PE-BE=152，PC=PE EC=452.
由切割线定理得：PA2=PB·PC，∴PA2=152×452.∴PA=1523.
B.选修42：矩阵与变换
解：（1）设M=abcd，则abcd10=1-1，∴a=1，c=-1.
圆x2 y2-2y=0可化为x2 （y-1）2=1，它的圆心为（0，1）；圆x2 y2-2x-2y=0可化为（x-1）2 （y-1）2=2，它的圆心为（1，1），
故有1b-1d01=11，
∴b=1，d=1.∴M=11-11.
（2）设xy为直线x-y=1上的任意一点，则x-y=1，且11-11xy=x y-x y=x y-1，
故所得直线的方程为y=-1.
C.选修44：坐标系与参数方程
解：曲线M：x=1 cosθy=sinθ的普通方程是（x-1）2 y2=1，∴F（1，0）.
抛物线E：x=2pt2y=2pt的普通方程是y2=2px，
∴p2=1，p=2，抛物线的方程为y2=4x.
设过焦点F的直线的参数方程为x=1 tcosθ，y=tsinθ （t为参数），代入y2=4x，得t2sin2θ-4tcosθ-4=0.∴AF·FB=|t1t2|=4sin2θ.
∵0 ∴AF·FB的取值范围是[4， ∞）.
D.选修45：不等式选讲
证明：∵a、b、c均为实数，
∴12（12a 12b）≥12ab≥1a b，当a=b时等号成立；
12（12b 12c）≥12bc≥1b c，当b=c时等号成立；
12（12c 12a）≥12ca≥1c a，当c=a时等号成立.
三个不等式相加即得12a 12b 12c≥1b c 1c a 1a b，
当且仅当a=b=c时等号成立.
22.解：（1）∵AF λBF=0，∴A，B，F三点共线.当直线AB斜率不存在时不合题意，当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x-1），
由y=k（x-1）y2=4xk2x2-2（k2 2）x k2=0，∴x1 x2=2（k2 2）k2x1·x2=1.
∴|AB|=（1 k2）[4（k2 2）2k4-4]=4（k2 1）k2=254k=±43.
又k=y1-y2x1-x2，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0.从而k=43.
故直线AB的方程为：y=43（x-1），即4x-3y-4=0.
（2）设直线AB的倾斜角为α，梯形AA′B′B的高为h，利用（1）及抛物线的定义：
S=12（AA′ BB′）h=12（AF BF）AB·sinα
=12AB21 1k2=12×16（k2 1）k21 1k2
=8（1 1k2）32>8.
当AB⊥x轴时，四边形AA′B′B是矩形，且S=12AB2=12×22=2=12×42=8，
所以四边形AA′B′B面积的最小值为8.
23.解：（1）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.又∵AB⊥AC，
∴以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.
又∵VABCA1B1C1=12AB×AC×AA1=1，
∴AB=2.
设AP=m，则P（0，m，0），而C1（1，0，1），C（1，0，0），A1（0，0，1），
∴CA1=（-1，0，1），C1P=（-1，m，-1），
∴CA1·C1P=（-1）×（-1） 0×m 1×（-1）=0，∴CA1⊥C1P.
（2）设平面C1PB1的一个法向量n=（x，y，z），则.
令y=1，则n=（2，1，m-2），
而平面A1B1P的一个法向量AC=（1，0，0），
依题意可知
cosπ6=|n·AC||n||AC|=2（m-2）2 5=32，
∴m=2 33（舍去）或m=2-33.
∴当AP=2-33时，二面角C1PB1A1的大小为π6.
（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分
1.若（1 ai）2=-1 bi（a，b∈R，a>0，i是虚数单位），则a bi=.
2.若集合M={x|x2-2x-3<0}，P={y|y=x-1}，那么M∩P=.
3.若不等式x-m 1x-2m<0成立的一个充分非必要条件是13
a←1
b←1
While b<15
a←a b，
b←a b
End While
c←a b
Print c
5.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大构成等差数列{an}，已知a2=2a1，且样本容量为400，则小长方形面积最大的一组的频数为.
6.设函数f（x）=1-xsinx在x=x0处取得极值，则（1 x20）（1 cos2x0）-1=.
7.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，D在边AC上，已知BC=2，CD=1，∠ABD=45°，则AD=.
8.设α、β、γ为平面，a、b为直线，给出下列条件，其中能使α∥β成立的条件是.
①aα，bβ，a∥β，b∥α②α∥γ，β∥γ
③α⊥γ，β⊥γ④a⊥α，b⊥β，a∥b
9.若椭圆x2m y2n=1（m>0，n>0）与曲线x2 y2=|m-n|无交点，则椭圆的离心率e的取值范围是.
10.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）
12.以原点为圆心的圆全部在区域x-3y 6≥02x y-4≤03x 4y 9≥0 内，则圆面积的最大值为.
13.设函数f（x）=x-[x]，x≥0f（x 1），x<0，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2]=-2，[1.2]=1，[1]=1，若直线y=kx k（k>0）与函数y=f（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是.
14.已知三次函数f（x）=a3x3 b2x2 cx d（a
15.直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2.
（1）求证：AC⊥平面BB1C1C；
（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论.
16.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.
（1）若a，b，c成等比数列，求f（B）=sinB 3cosB的值域；
（2）若a，b，c成等差数列，且A-C=π3，求cosB的值.
17.在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.
（1）若堆放成纵断面为正三角形（每一层的根数比上一层根数多1根），并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢？
（2）若堆成纵断面为等腰梯形（每一层的根数比上一层根数多1根），且不少于七层.
（Ⅰ）共有几种不同的方案？
（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？
18.已知A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的两个动点，线段AB的长为23，P是AB的中点.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R.若RM=λMQ，RN=μNQ，证明：λ μ为定值.
19.已知函数f（x）=mx3-x的图象上，以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为π4.
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立；
（3）求证：|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
20.已知数列{an}中，a1=1，an an 1=2n（n∈N*），bn=3an.
（1）试证数列{an-13×2n}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式.
（2）在数列{bn}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明理由.
（3）试证在数列{bn}中，一定存在满足条件1
21.[选做题] 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，每小题10分，共20分.若多做，则按作答的前两题评分
A.选修41：几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC. （1）求证：∠P=∠EDF；
（2）求证：CE·EB=EF·EP；
（3）若CE∶BE=3∶2，DE=6，EF=4，求PA的长.
B.选修42：矩阵与变换
线性变换T把（1，0）变成了（1，-1），并且把圆x2 y2-2y=0变成圆x2 y2-2x-2y=0.
（1）试求变换T所表示的矩阵M；
（2）求直线x-y=1在T变换下的所得直线的方程.
C.选修44：坐标系与参数方程
已知圆M：x=1 cosθ，y=sinθ（θ为参数）的圆心F是抛物线E：x=2pt2y=2pt的焦点，过焦点F的直线交抛物线与A、B两点，求AF·FB的取值范围.
D.选修45：不等式选讲
设a、b、c均为实数，求证：12a 12b 12c≥1b c 1c a 1a b.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共计20分
22.抛物线y2=4x的焦点为F，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≥x2，y1>0，y2<0）在抛物线上，且存在λ，使AF λBF=0.
（1）若|AB|=254.求直线AB的方程；
（2）过A、B两点分别作直线l：x=-1的垂线，垂足分别是A′，B′，求四边形AA′B′B面积的最小值.
23.如图，在体积为1的三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1=1，P为线段AB上的动点.
（1）求证：CA1⊥C1P；
（2）当AP为何值时，二面角C1PB1A1的大小为π6？
参考答案
必做题部分
1.2 22i
2.[0，3）
3.[14，43]
4.34
5.160
6.1
7.5
8.②④
9.（0，22）
10.35
11.1516
12.165π
13.[14，13）
14.3
15.解：（1）直棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=2AD=2CD=2，
∴AC=2，∠CAB=45°，∴BC=2，∴BC⊥AC.
又BB1∩BC=B，BB1，BC平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C.
（2）存在点P，P为A1B1的中点.
证明：由P为A1B1的中点，有PB1∥AB，且PB1=12AB.
又∵DC∥AB，DC=12AB，∴DC∥PB1，且DC=PB1，
∴DCPB1为平行四边形，从而CB1∥DP.
又CB1面ACB1，DP面ACB1，∴DP∥面ACB1.
同理，DP∥面BCB1.
16.解：（1）∵b2=ac，a2 c2≥2ac，
∴cosB=a2 c2-b22ac≥2ac-ac2ac=12，
当且仅当a=c时取等号，∴0
又B π3∈（π3，2π3]，∴3≤f（B）≤2，
即f（B）的值域为[3，2].
（2）∵a c=2b，∴sinA sinC=2sinB，又
∵A-C=π3，A C=π-B，
∴A=2π3-B2，C=π3-B2，
∴sin（2π3-B2） sin（π3-B2）=2sinB，
展开化简，得3cosB2=2×2sinB2cosB2，
∵cosB2≠0，∴sinB2=34，
∴cosB=1-2sin2B2=1-38=58.
17.解：（1）当纵断面为正三角形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以1为首项、1为公差的等差数列，且剩余的圆钢一定小于n根，从而由2009-n（n 1）2
（2）（Ⅰ）当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n层，则从上到下每层圆钢根数是以x为首项、1为公差的等差数列，从而nx 12n（n-1）=2009，
即n（2x n-1）=2×2009=2×7×7×41，
因n-1与n的奇偶性不同，所以2x n-1与n的奇偶性也不同，且n<2x n-1，从而由上述等式得：
n=72x n-1=574或n=142x n-1=287
或n=412x n-1=98或n=492x n-1=82，
所以共有4种方案可供选择.
（Ⅱ）因层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：
若n=41，则x=29，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时如图所示，两腰之长都为400cm，上下底之长为280cm和680cm，从而梯形之高为2003cm，
而2003 10<400，所以符合条件；
若n=49，则x=17，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时如图所示，
两腰之长为480cm，上下底之长为160cm和640cm，从而梯形之高为2403cm，显然大于4m，不合条件，舍去；
综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 18.解：（1）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）.
∵P是线段AB的中点，∴x=x1 x22，y=y1 y22.
∵A、B分别是直线y=33x和y=-33x上的点，∴y1=33x1和y2=-33x2.
∴x1-x2=23y，y1-y2=233x.，又|AB|=23，
∴（x1-x2）2 （y1-y2）2=12.
∴12y2 43x2=12，
∴动点P的轨迹C的方程为x29 y2=1.
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）.
设M（x3，y3）、N（x4，y4）、R（0，y5），
则M、N两点坐标满足方程组y=k（x-1），x29 y2=1.
消去y并整理，得（1 9k2）x2-18k2x 9k2-9=0，
∴x3 x4=18k21 9k2，①
x3x4=9k2-91 9k2.②
∵RM=λMQ，∴（x3，y3）-（0，y5）=λ[（1，0）-（x3，y3）].
即x3=λ（1-x3）y3-y5=-λy3，∴x3=λ（1-x3）.∵l与x轴不垂直，∴x3≠1，
∴λ=x31-x3，同理μ=x41-x4.
∴λ μ=x31-x3 x41-x4=（x3 x4）-2x3x41-（x3 x4） x3x4.
将①②代入上式可得λ μ=-94.
19.解：（1）f′（x）=3mx2-1，依题意，得tanπ4=f′（1），即1=3m-1，m=23.
∴f（x）=23x3-x.把N（1，n）代入，得n=f（1）=-13.∴m=23，n=-13.
（2）令f′（x）=2x2-1=0，得x=±22.
当-1
又f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（3）=15.
因此，当x∈[-1，3]时-23≤f（x）≤15；
要使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立，则k≥15 1991=2006.
所以，存在最小的正整数k=2006，使得不等式f（x）≤k-1991对于x∈[-1，3]恒成立.
（3）（方法1）：|f（sinx） f（cosx）|=|（23sin3x-sinx） （23cos3x-cosx）|
=|23（sin3x cos3x）-（sinx cosx）|
=|（sinx cosx）[23（sin2x-sinxcosx cos2x）-1]|
=|sinx cosx|·|-23sinxcosx-13|
=13|sinx cosx|3=13|2sin（x π4）|3≤223.
又∵t>0，∴t 12t≥2，t2 14t2≥1.
∴2f（t 12t）=2[23（t 12t）3-（t 12t）]
=2（t 12t）[23（t2 1 14t2）-1]
=2（t 12t）[23（t2 14t2）-13]
≥22（23-13）=223.
综上可得，|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
（方法2）：由（2）知，函数f（x）在[-1，-22]上是增函数；在[-22，22]上是减函数；在[22，1]上是增函数.又因为f（-1）=13，f（-22）=23，f（22）=-23，f（1）=-13，
所以，当x∈[-1，1]时，-23≤f（x）≤23，
即|f（x）|≤23.
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴|f（sinx）|≤23，
|f（cosx）|≤23.
∴|f（sinx） f（cosx）|≤|f（sinx）| |f（cosx）|≤23 23≤223.
又∵t>0，∴t 12t≥2>1，且函数f（x）在[1， ∞）上是增函数.
∴2f（t 12t）≥2f（2）=2[23（2）3-2]=223.
综上可得，|f（sinx） f（cosx）|≤2f（t 12t）（x∈R，t>0）.
20.解：（1）证明：由an an 1=2n，得an 1=2n-an，所以
an 1-13×2n 1an-13×2n=2n-an-13×2n 1an-13×2n
=-an 13×2nan-13×2n=-1.
又因为a1-23=13，
所以数列{an-13×2n}是首项为13，公比为-1的等比数列.
所以an-13×2n=13×（-1）n-1，
即an=13[2n-（-1）n]，所以bn=2n-（-1）n.
（2）假设在数列{bn}中，存在连续三项bk-1，bk，bk 1（k∈N*，k≥2）成等差数列，则bk-1 bk 1=2bk，即[2k-1-（-1）k-1] [2k 1-（-1）k 1]=2[2k-（-1）k]，即2k-1=4（-1）k-1.
①若k为偶数，则2k-1>0，4（-1）k-1=-4<0，所以，不存在偶数k，使得bk-1，bk，bk 1成等差数列.
②若k为奇数，则当k≥3时，2k-1≥4，而4（-1）k-1=4，所以，当且仅当k=3时，bk-1，bk，bk 1成等差数列. 综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列.
（3）要使b1，br，bs成等差数列，只需b1 bs=2br，
即3 2s-（-1）s=2[2r-（-1）r]，即2s-2r 1=（-1）s-2（-1）r-3，（﹡）
①若s=r 1，在（﹡）式中，左端2s-2r 1=0，
右端（-1）s-2（-1）r-3=（-1）s 2（-1）s-3=3（-1）s-3，
要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时.又s>r>1，且s，r为正整数，
所以当s为不小于4的正偶数，且s=r 1时，b1，br，bs成等差数列.
②若s≥r 2时，在（﹡）式中，左端2s-2r 1≥2r 2-2r 1=2r 1，
由（2）可知，r≥3，所以r 1≥4，所以左端2s-2r 1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”）；右端（-1）s-2（-1）s-3≤0.所以当s≥r 2时，b1，br，bs不成等差数列.
综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s=r 1，使得b1，br，bs成等差数列.
附加题部分
21.A.选修41：几何证明选讲
解：（1）∵DE2=EF·EC，∴DE∶CE=EF∶ED.又∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED.∴∠EDF=∠C.
又∵CD∥AP，
∴∠C=∠P.∴∠P=∠EDF.
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA.
∴DE∶PE=EF∶EA.即EF·EP=DE·EA.
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB.∴CE·EB=EF·EP.
（3）∵DE2=EF·EC，DE=6，EF=4，∴EC=9.∵CE∶BE=3∶2，∴BE=6.
∵CE·EB=EF·EP，∴9×6=4×EP.解得：EP=272.∴PB=PE-BE=152，PC=PE EC=452.
由切割线定理得：PA2=PB·PC，∴PA2=152×452.∴PA=1523.
B.选修42：矩阵与变换
解：（1）设M=abcd，则abcd10=1-1，∴a=1，c=-1.
圆x2 y2-2y=0可化为x2 （y-1）2=1，它的圆心为（0，1）；圆x2 y2-2x-2y=0可化为（x-1）2 （y-1）2=2，它的圆心为（1，1），
故有1b-1d01=11，
∴b=1，d=1.∴M=11-11.
（2）设xy为直线x-y=1上的任意一点，则x-y=1，且11-11xy=x y-x y=x y-1，
故所得直线的方程为y=-1.
C.选修44：坐标系与参数方程
解：曲线M：x=1 cosθy=sinθ的普通方程是（x-1）2 y2=1，∴F（1，0）.
抛物线E：x=2pt2y=2pt的普通方程是y2=2px，
∴p2=1，p=2，抛物线的方程为y2=4x.
设过焦点F的直线的参数方程为x=1 tcosθ，y=tsinθ （t为参数），代入y2=4x，得t2sin2θ-4tcosθ-4=0.∴AF·FB=|t1t2|=4sin2θ.
∵0
D.选修45：不等式选讲
证明：∵a、b、c均为实数，
∴12（12a 12b）≥12ab≥1a b，当a=b时等号成立；
12（12b 12c）≥12bc≥1b c，当b=c时等号成立；
12（12c 12a）≥12ca≥1c a，当c=a时等号成立.
三个不等式相加即得12a 12b 12c≥1b c 1c a 1a b，
当且仅当a=b=c时等号成立.
22.解：（1）∵AF λBF=0，∴A，B，F三点共线.当直线AB斜率不存在时不合题意，当直线AB斜率存在时，设直线AB：y=k（x-1），
由y=k（x-1）y2=4xk2x2-2（k2 2）x k2=0，∴x1 x2=2（k2 2）k2x1·x2=1.
∴|AB|=（1 k2）[4（k2 2）2k4-4]=4（k2 1）k2=254k=±43.
又k=y1-y2x1-x2，x1>x2，y1>0，y2<0，∴k>0.从而k=43.
故直线AB的方程为：y=43（x-1），即4x-3y-4=0.
（2）设直线AB的倾斜角为α，梯形AA′B′B的高为h，利用（1）及抛物线的定义：
S=12（AA′ BB′）h=12（AF BF）AB·sinα
=12AB21 1k2=12×16（k2 1）k21 1k2
=8（1 1k2）32>8.
当AB⊥x轴时，四边形AA′B′B是矩形，且S=12AB2=12×22=2=12×42=8，
所以四边形AA′B′B面积的最小值为8.
23.解：（1）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB.又∵AB⊥AC，
∴以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系.
又∵VABCA1B1C1=12AB×AC×AA1=1，
∴AB=2.
设AP=m，则P（0，m，0），而C1（1，0，1），C（1，0，0），A1（0，0，1），
∴CA1=（-1，0，1），C1P=（-1，m，-1），
∴CA1·C1P=（-1）×（-1） 0×m 1×（-1）=0，∴CA1⊥C1P.
（2）设平面C1PB1的一个法向量n=（x，y，z），则.
令y=1，则n=（2，1，m-2），
而平面A1B1P的一个法向量AC=（1，0，0），
依题意可知
cosπ6=|n·AC||n||AC|=2（m-2）2 5=32，
∴m=2 33（舍去）或m=2-33.
∴当AP=2-33时，二面角C1PB1A1的大小为π6.
（作者：吴雅琴，如皋市第一中学）