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一元一次不等式(组)的解法是华师大版七年级下册第三单元的教学内容,是初中数学的重要内容,在中考中占有非常重要的地位.但在学生的日常学习活动中发现,不少同学对于这部分内容的学习感到茫然,杂乱,无头绪.笔者在多年的一线教学活动经验中总结梳理了以下几点,希望对同行的教学有抛砖引玉的作用.
一、正确理解概念,牢记解题依据,使用类比法准确解一元一次不等式
1.不等式的定义:一般地,用符合“>”(或“≥”)“<”(或“≤”)“≠”连接的式子叫做不等式.
2.只含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1,系数不为0,且左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.一元一次不等式的解和解集两个概念要分清.
3.解题依据:不等式的基本性质,尤其是性质3的运用要细心.为准确运用性质3,笔者在教学活动中设计了以下问题:
下列四个命题中:①若a>b,则a 1>b 1;②若a>b,则a-1>b-1;③若a>b,则-2a<-2b;④若a>b,则2a<2b.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.解法:使用类比法.一元一次不等式的解法与一元一次方程类似,即去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,差别在最后一步.
在教学中,先让学生解两个方程,然后把等号去掉改为不等号,让学生探究如下:
(1)2(5x 3)≤x-3(1-2x) (2)->1
然后及时概括:当ax>b或者ax 如果不等式(a-2)x>a-2的解集是x<1,那么a必须满足( )
A.a>0 B.a<1 C.a>2 D.a<2
二、巧借数轴,注意运用数形结合思想解一元一次不等式(组)
1.一元一次不等式的解集可用数轴表示,重点在于分清数轴上的射线向左还是向右,用空心小圆圈,还是实心的小圆点.结合图形,要求学生记如下口诀:
数轴上描解集,不等符号看仔细,有等号实心点,要把该数包裹严。
没等号空心圈,该数占据圆心点,位置确定还不全,最后再把方向添。
2.一元一次不等式组解集的确定.确定一元一次不等式组的解集,是解一元一次不等式组的关键点.因此我结合具体题目及数轴,自创口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了.
3.一元一次不等式组解题的要领:必须严格按照步骤完整写出过程.即①先各自解两个不等式;②在同一数轴上表示两个不等式的解集;③确定不等式组的解集,并得出结论.
三、一元一次不等式(组)的常见题型
1.常规型:解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来:
2.特解型:求不等式2(5x 3)≤x-3(1-2x)的最大负整数解.
3.与方程(组)结合的问题,题型如下:
(1)当k?摇 ?摇时,关于x的方程2x-3=3k的解为正数.
(2)已知关于x,y的方程组x 2y=1 (1)x-2y=m (2),
①求这个方程组的解(用含m的代数式表示);
②当m取何值时,这个方程组的解中,x大于1,y不小于-1.
4.综合应用型,如
(1)若不等式组x<2x>m无解,则m的取值范围是?摇 ?摇.
(2)已知关于x的不等式组x-a≥05-2x>1,只有四个整数解,则实数a的取值范围是?摇 ?摇.
5.列一元一次不等式(组)解实际问题:关键在于抓住题中重要字眼,如大于、小于、不超过、不低于等,找出题中直接的,或隐含的不等关系列不等式(组),再根据实际需要取正整数解,从而进行方案的设计或比较最优方案.
例1:“五·四”青年节,市团委组织部分中学的团员去南山植树.某校九年级(3)班团支部领到一批树苗,若每人植4棵树,还剩37棵;若每人植6棵树,则最后一人有树植,但不足3棵,这批树苗共有?摇 ?摇棵.
分析:设有x名学生,则可得两不等式即(4x 37)-6(x-1)>0和(4x 37)-6(x-1)<3.联立起来解不等式组,然后再取其正整数解.
例2:某中学为丰富学生的校园生活,准备从商店购买若干个足球和篮球,已知购买2个足球和4个篮球共需420元,购买3个足球比1个篮球要多花70元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球共30个,则学校有哪几种购买方案?
分析:(1)易列方程组的足球每个50元,篮球每个80元;
(2)设购买篮球m个,则购买足球(30-m)个由题意,得80m 50(30-m)≤1600,解得m≤1.由题意,知m只能取正整数,∴m=1,2,3.所以,该学校共有3种购买方案,分别如下:①购买篮球1个,足球29个;②购买篮球2个,足球28个;③购买篮球3个,足球27个.
一、正确理解概念,牢记解题依据,使用类比法准确解一元一次不等式
1.不等式的定义:一般地,用符合“>”(或“≥”)“<”(或“≤”)“≠”连接的式子叫做不等式.
2.只含有一个未知数,并且含有未知数项的次数都是1,系数不为0,且左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.一元一次不等式的解和解集两个概念要分清.
3.解题依据:不等式的基本性质,尤其是性质3的运用要细心.为准确运用性质3,笔者在教学活动中设计了以下问题:
下列四个命题中:①若a>b,则a 1>b 1;②若a>b,则a-1>b-1;③若a>b,则-2a<-2b;④若a>b,则2a<2b.正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.解法:使用类比法.一元一次不等式的解法与一元一次方程类似,即去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,差别在最后一步.
在教学中,先让学生解两个方程,然后把等号去掉改为不等号,让学生探究如下:
(1)2(5x 3)≤x-3(1-2x) (2)->1
然后及时概括:当ax>b或者ax 如果不等式(a-2)x>a-2的解集是x<1,那么a必须满足( )
A.a>0 B.a<1 C.a>2 D.a<2
二、巧借数轴,注意运用数形结合思想解一元一次不等式(组)
1.一元一次不等式的解集可用数轴表示,重点在于分清数轴上的射线向左还是向右,用空心小圆圈,还是实心的小圆点.结合图形,要求学生记如下口诀:
数轴上描解集,不等符号看仔细,有等号实心点,要把该数包裹严。
没等号空心圈,该数占据圆心点,位置确定还不全,最后再把方向添。
2.一元一次不等式组解集的确定.确定一元一次不等式组的解集,是解一元一次不等式组的关键点.因此我结合具体题目及数轴,自创口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小无解了.
3.一元一次不等式组解题的要领:必须严格按照步骤完整写出过程.即①先各自解两个不等式;②在同一数轴上表示两个不等式的解集;③确定不等式组的解集,并得出结论.
三、一元一次不等式(组)的常见题型
1.常规型:解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来:
2.特解型:求不等式2(5x 3)≤x-3(1-2x)的最大负整数解.
3.与方程(组)结合的问题,题型如下:
(1)当k?摇 ?摇时,关于x的方程2x-3=3k的解为正数.
(2)已知关于x,y的方程组x 2y=1 (1)x-2y=m (2),
①求这个方程组的解(用含m的代数式表示);
②当m取何值时,这个方程组的解中,x大于1,y不小于-1.
4.综合应用型,如
(1)若不等式组x<2x>m无解,则m的取值范围是?摇 ?摇.
(2)已知关于x的不等式组x-a≥05-2x>1,只有四个整数解,则实数a的取值范围是?摇 ?摇.
5.列一元一次不等式(组)解实际问题:关键在于抓住题中重要字眼,如大于、小于、不超过、不低于等,找出题中直接的,或隐含的不等关系列不等式(组),再根据实际需要取正整数解,从而进行方案的设计或比较最优方案.
例1:“五·四”青年节,市团委组织部分中学的团员去南山植树.某校九年级(3)班团支部领到一批树苗,若每人植4棵树,还剩37棵;若每人植6棵树,则最后一人有树植,但不足3棵,这批树苗共有?摇 ?摇棵.
分析:设有x名学生,则可得两不等式即(4x 37)-6(x-1)>0和(4x 37)-6(x-1)<3.联立起来解不等式组,然后再取其正整数解.
例2:某中学为丰富学生的校园生活,准备从商店购买若干个足球和篮球,已知购买2个足球和4个篮球共需420元,购买3个足球比1个篮球要多花70元.
(1)购买一个足球、一个篮球各需多少元?
(2)若学校准备用不超过1600元购买足球和篮球两种球共30个,则学校有哪几种购买方案?
分析:(1)易列方程组的足球每个50元,篮球每个80元;
(2)设购买篮球m个,则购买足球(30-m)个由题意,得80m 50(30-m)≤1600,解得m≤1.由题意,知m只能取正整数,∴m=1,2,3.所以,该学校共有3种购买方案,分别如下:①购买篮球1个,足球29个;②购买篮球2个,足球28个;③购买篮球3个,足球27个.