近几年的高考实现了从知识立意到能力立意的转变，以考查学生思维能力为目的的好题层出不穷，这些题目也给考生带来了很大的挑战.笔者在对试题的研究过程中发现，这些对学生思维深度要求较高的好题大部分都似曾相识，只不过在我们熟悉的题型上做了一些小的变化，正是这些变化阔出了一片新天地，成为考生解题的障碍.笔者以2012年高考山东卷理科第(12)题和2013年高考湖北卷第（10）题为例，浅谈试题的细微变化，寻找本质的解题方法，以求抛砖引玉，引起读者的共鸣.
　　
　　例1（2012山东理（12））设函数
　　
　　f (x)=1 x，g(x)=ax2+bx(a,b∈
　　R,a≠0) ．若y=f (x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点
　　A(x1,y1),B(x2,y2)，则下列判断正确的是()
　　
　　(A) 当a<0时， x1+x2<0,y1+y2>0
　　
　　(B) 当a<0时， x1+x2>0,y1+y2<0
　　(C) 当a>0时， x1+x2<0,y1+y2<0
　　(D) 当a>0时， x1+x2>0,y1+y2>0
　　
　　考题分析：本题以函数图象和性质为依托，巧妙结合了函数图象的公共点、函数图象的对称性、数形结合的思想、分类讨论的思想．本题题干“设函数
　　
　　f (x)=1 x
　　，g(x)=ax2+bx(a,b∈
　　R,a≠0)．若y=f (x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点”是一个考生很熟悉的情景，考生马上就会想到，利用数形结合，将这一条件转化为方程1=ax3+bx2(x≠0)有两个不等根，进而转化为函数F(x)=ax3+bx2的图象与y=1
　　
　　有且只有两个公共点．如果这个题要求a,b的关系，只要成绩稍好一点的同学都没有问题，能够顺利地得到答案．而本题没有沿着寻常路走下去,而是做了一点延伸，分类讨论，判断x1+x2和y1+y2的符号．正是这一点延伸,极大地丰富了该题的思维含量，正可谓，小变化阔出一片天．
　　
　　
　　方法1：沿着熟悉的思路继续思考，利用解选择题的特殊值法解决．
　　
　　令1 x=ax2+bx，则
　　1=ax3+bx2(x≠0)，设F(x)=ax3+bx2,F′(x)=3ax2+2bx.
　　令F′(x)=3ax2+2bx=0，则
　　
　　x=-2b 3a．要使y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点，只需
　　
　　F(-2b 3a)=a(-2b 3a)3+b
　　(-2b 3a)2=1，整理得
　　
　　4b3=27a2．于是可取
　　a=±2,b=3来检验．当
　　a=2,b=3时，
　　2x3+3x2=1，解得x1=-1,x2=1 2，此时
　　y1=-1,y2=2，此时x1+x2<0,y1+y2>0；当
　　a=-2,b=3时，-2x3+3x2=1，解得x1=1,x2=-1 2，此时
　　
　　y1=1,y2=-2，此时
　　x1+x2>0,y1+y2<0．答案应选(B)．
　　
　　方法2：思路不变，方法不变，将方程稍作变形，解法更简单．
　　
　　令1 x=ax2+bx，则
　　1 x2=ax+b．则函数t(x)=1 x2的图象与函数
　　s(x)=ax+b的图象有两个不同的公共点A(x1,1 x21),
　　B(x2,1 x22)．不妨设
　　x1　　[TP<4S3
　　.tif>,Y#][TS（][HT5”SS]图1
　　[TS）]
　　
　　当a<0时如图1，此时
　　|x1|<
　　|x2|,
　　
　　即0<-x1　　x1+x2>0， y2=1 x2<-1 x1=-y1，即y1+y2<0；同理可由图形经过推理可得当
　　
　　a>0时
　　x1+x2<0,y1+y2>0．答案应选(B)．
　　
　　方法3：利用代数法研究根与系数的关系求解．
　　
　　令1 x=ax2+bx，则
　　
　　1=ax3+bx2(a≠0)．即方程
　　1=ax3+bx2有两个非零实根
　　
　　x1,x2，不妨设
　　x1　　y=f (x)的图象与y=g(x)的图象知
　　x1<0　　ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2)
　　 或ax3+bx2-1=a(x-x1)(x-x2)2．
　　
　　（1）若
　　
　　ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2),
　　
　　则
　　ax3+bx2-1=a(x-x1)2(x-x2)=ax3-a(2x1+x2)x2+a(x21
　　+2x1x2)x-ax21x2,
　　
　　则
　　b=-a(2x1+x2)
　　0=a(x21+2x1x2)
　　
　　-1=-ax21x2
　　
　　，显然
　　
　　a>0,x1+2x2=0，则
　　a>0,x1+x2<0，
　　
　　y2=1 x2>-1 x1=-y1，即
　　y1+y2>0；
　　
　　（2）若
　　ax3+bx2-1=a(x-x1)(x-x2)2,
　　
　　则ax3+bx2-1=a(x-x1)(x-x2)2=ax3-a(2x2+x1)x2
　　
　　+a(x22+2x1x2)x-ax22x1，
　　
　　则
　　b=-a(2x2+x1)
　　0=a(x22+2x1x2)
　　-1=-ax1x22
　　,显然a<0,2x1+x2=0，则a>0,x1+x2>0，
　　y2=1 x2<-1 x1=-y1
　　，即y1+y2<0．答案应选(B)．
　　
　　例2（2013湖北理（10））已知a为常数,函数
　　f (x)=x(lnx-ax)有两个极值点x1,x2(x1　　
　　(A) f (x1)>0,f (x2)>-1 2
　　(B) f (x1)<0,f (x2)<-1 2
　　(C) f (x1)>0,f (x2)<-1 2
　　(D) f (x1)<0,f (x2)>-1 2
　　
　　
　　考题分析：根据学生高考复习中常见的题型，考生一读到第一句话“已知a为常数,函数
　　
　　f (x)=x(lnx-ax)
　　有两个极值点
　　
　　x1,x2(x1　　
　　
　　方法1：沿着熟悉的思路继续思考，探究解决新问题．
　　f ′(x)=lnx-ax+x(1 x-a)=lnx
　　-2ax+1
　　 ，因为f (x)有两个极值点，所以f ′(x)有两个零点.
　　f ″(x)=1 x-2a=
　　
　　1-2ax x，解
　　f ″（x)=0，得
　　x=1 2a
　　.所以1 2a>0，即a>0，当x∈(0,1 2a)时，
　　
　　f ″(x)>0，f ′(x)单调递增；当x∈(1 2a,+∞)时，
　　
　　f ″(x)<0，f ′(x)单调递减，所以x=1 2a时，
　　f ′(x)取得最大值，所以
　　f ′(1 2a)=-
　　ln2a>0，
　　所以0　　
　　因为x1,x2(x1　　f ′(1)=-2a+1>0，
　　
　　所以
　　0　　
　　且f ′(x1)=lnx1-2ax1+1=0，
　　f ′(x2)=lnx2-2ax2+1=0.
　　
　　所以f (x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(ax1-1)　　(a•1 2a-1)<0,
　　f (x2)=x2(lnx2-ax2)=ax2-1
　　>a•1 2a-1=-1 2.
　　
　　知选(D).
　　
　　方法2：沿着熟悉的思路，采用数形结合的方法解决.
　　
　　f ′(x)=lnx-ax+x(1 x-a)=lnx
　　
　　-2ax+1，因为f (x)有两个极值点，所以f ′(x)有两个零点.即
　　y=lnx+1和y=2ax的图象有两个交点.这又转化为了我们熟悉的切线问题.设曲线
　　
　　y=lnx+1的过原点的切线斜率为k，切点为
　　(x0,lnx0+1)，则
　　k=1 x0=
　　lnx0+1 x0，解得
　　k=1,x0=1.所以0<2a<1,0　　
　　所以f (x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(ax1-1)　　
　　1 2a-1)<0,
　　f (x2)=x2(lnx2-ax2)=ax2-1>a•
　　
　　1 2a-1=-1 2.
　　
　　
　　知选(D).
　　
　　小变化阔出一片天．很多高考题都是在平时常见的问题的基础上做了一点小变化而成为新的经典好题．这也给我们一个启示：在平时的复习中多想一想，在常见问题的基础上多做些思考，你可能就能做到未来的高考题.