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摘 要：基于学生数学素养提高的高中数学教学需要高度重视数学意识的培养. 数学意识是学生形成数学知识、生成数学思维的基础，提高学生的数学意识，关键在于认识到数学意识必须形成于数学知识生成的过程，因而在数学教学中要重视数学知识的生成，重视其中的学生思维细节. 数学意识要通过变式训练来来促进生成，通过生活运用来固化.
关键词：高中数学；数学意识；培养
数学是一门基础学科，如果将建筑当成学习的隐喻的话，那数学在人的发展中的作用，就类似于地基或墙体在建筑中的作用——尽管重要却不外显. 这句话显然也需要反过来理解：虽不外显却很重要. 当然，没有人会反对数学的重要性，但在高中数学教学中，这种重要性如何体现却值得教师认真研究. 在实际教学中笔者感觉到数学的基础性、重要性，与实际教学之间存在着一定的背离情形. 应试教育环境下的高中数学教学，更多地成为学生提升解题能力的核心，一切围绕应试转的教学现状使得高中数学教学的许多营养流失比较严重，数学意识则是其中之一.
笔者所理解的数学意识，是指学生在遇到实际问题时能够数学地看待问题，能够数学地思考问题，能够建构出适当的数学模型并分析之. 事实证明，经过数学化的过程，再复杂的事物也都能表现出其美丽的一面，很多看似与数学无关的事物背后，也常常隐藏着数学规律，譬如纳什借助于数学基础演变出来的博弈论，竟然成为经济学的重要理论之一，并由此获得了诺贝尔经济学奖，这不能不说是数学基础作用的充分体现. 纳什演变出博弈论的过程我们不得而知，但有一点可以肯定的是，数学意识一定帮了他不少大忙. 那么，高中数学教学如何培养学生的数学意识呢？笔者结合苏教版高中数学必修五的“不等关系、不等式”的教学，谈谈自己的一些不成熟的想法.
[?] 数学意识是源于数学的意识
从心理的角度来看，数学意识是数学的一种. 意识是什么？意识是影响人生活行为但却不外显的心理因素. 同样一个瀑布，诗人看到就想到赋诗，而学物理的则想到能量的转化与利用，数学家则会考虑其高度以及是否可以用数学关系描述其运动，这就是不同的意识所产生的结果. 从这个角度来看，数学意识显然就是指基于数学、源于数学的意识.
在“不等关系”的教学中，有两个关键概念：一是不等关系；二是不等式. 从“不等关系”到“不等式”，看起来是一个简单的变化，在数学教师看来也是一个自然且简单的由前者过渡到后者的关系. 既然是自然而然的过程，自然就不需要花费太多的精神力气了. 那么事实是不是如此呢？笔者以为，这两个知识点之间实际上却包含着丰富的内容：
其一，“不等关系”与“不等式”存在的背景不同. 前者存在于生活，在生活中有着丰富的不等关系. 事实上，相对于等量关系而言，生活中更多的是不等关系. 教材上所举的例子则更具挑战性，以第一个例子为例：某博物馆的门票为每位10元，20人以上（含20人）团体票8折优惠. 那么，不足20人时，应该选择什么样的购票策略. 显然，这是一个源自于生活的例子，不等关系蕴涵其中.
其二，后者是前者的数学化体. 不等式存在于数学，将不等关系用数学式子表达出来即为不等式. 从不等关系过渡到不等式，需要的是学生的不等关系数学化的意识，这就是数学意识的存在场所.
其三，数学化源于数学意识. 对于学生而言，怎样才能顺利地将不等关系变成不等式呢？这不是一个轻松的话题，因为在实际教学中我们看到的更多的现象是，当学生遇到类似于购票策略的问题时，他们往往无法将这一问题与不等式联系起来，这恰恰说明了学生不等意识即数学意识的缺失.
由此也可以确定，数学意识是基于生活而源于数学的，只有带着数学意识去看待生活中的事物，才有可能敏锐地寻找到生活事物数学化的描述方式. 那么，在实际教学中，学生的数学意识是怎样形成的呢？是不是可以坐等呢？教学实践表明，事实不是这样的，学生数学意识的形成，关键在于教师.
[?] 数学意识的培养关键靠教师
在面对购票策略这一问题时，笔者发现学生的思维难点不在不等式的理解上，而在不等关系向不等式过渡的这一过程中. 也就是说当不等式8×20≤10x出现后学生理解是没有问题的，但这个不等式的生成却是更难的. 这给高中数学教学敲响了一记警句：目前我们的高中学生并不缺乏数学自身的逻辑思维能力，但恰恰在数学地看待生活问题上存在不小的挑战，而近年来的数学测试又有向生活转化的趋势，因此培养学生的数学意识可谓是一个重要任务.
在学生数学意识不够明确时，显然教师在其中应当发挥重要的作用. 而这一作用的发挥关键也没有其他捷径可走，只能通过变式训练来让学生在比较鉴别中生成数学意识. 应当承认，变式教学是中国教育尤其是中国数学教育的一大法宝，自从二十多年前变式教育为国内某知名高中践行之后，变式思想在高中数学教学中就占有重要的地位. 有一点可能为大家所忽视的是，教材在建立不等关系的时候，引用了三个例子，除了上面的购票策略之外，还有杂志发行、维生素含量与成本关系两个例子，在实际教学中这三个例子如何综合运用，直接关系到学生的数学意识能否有效生成. 笔者的处理方法是这样的：先呈现购票策略的例子，在学生思维困难的时候，告诉学生发现其中的不等关系并列出不等式，是解决问题的关键所在. 事实证明，学生这个时候思维常常有瞬间被打开的感觉，当他们意识到复杂的生活事例可以用简单的数学关系来表达时，就是加强学生数学意识的关键时刻.
笔者这样跟学生强调：购票策略这一问题，起初我们能够发现其中存在着技巧问题，但无法发现如何寻找到这一技巧，而当不等关系被发现，不等式列出来之后，就发现这一关系其实又是那么的简单. 同学们想想，这其中的关键在哪里呢？
这是一个类似于元认知策略的教学过程，既基于数学又不只是指向数学知识，更指向数学能力与数学意识. 学生在这一问题的驱动之下，思维会将购票策略的实例，与不等关系及不等式结合起来，并努力发现其中的关系. 而这一关系的构建，恰恰是数学意识形成的关键.有了这一步之后，此处学生的数学意识就算被激活了. 从以上分析可以看出，教师采用什么样的教学方式，直接影响着学生的数学意识形成的质量. 如果教师过多讲授，或者不提供给学生分析综合的机会，那学生的数学意识生成就有困难. 相反，采用了变式的教学思路之后，学生的思维就有了加工数学实例与数学知识的关系，从而让两者产生联系.
[?] 数学意识的生成关键靠训练
待学生的数学意识激活之后，变式过程中学生的训练就成为数学意识有效生成的关键. 在这个过程中同样有教学细节需要关注，因为学生数学意识被激活之后如何培养还是一个问题.上面提到的除购票策略之外的两个例子如何变式，这是本训练环节中的一个关键.笔者在其中做了两点努力：
一是给学生提供杂志发行的例子，让学生分析其与购票策略例子的区别. 事实表明，学生会发现这两个例子均存在着两个关系：一是变量关系. 购票策略中购票人数与价格之间存在关系；杂志发行的价格与发行量之间存在关系. 二是不等关系，而这个关系又是建立在前者的基础上的. 多个教学研究的实例均表明，学生经过分析可以发现，从不等关系到不等式有两个关键：不等关系词；不等式.而这恰恰是不等关系的数学模型建立的两个关键. 需要指出的是，这两个关键既是数学模型的关系，也是不等关系中数学思维的模式.
二是给学生提供训练的机会. 基于上面的分析，可以让学生对第三个例子进行这种模式化的分析，譬如学生在分析维生素含量与价格的时候，不等关系词可以这样描述：食物X和Y的质量分别设为x和y千克，那食物Z的质量则可由总质量减得；于是可以根据题意建立这样的不等式关系：300x 500y 300（100-x-y）≥35000；700x 100y 300（100-x-y）≥40000.
在这样的教学过程中，学生相当于经历了一个举二反一的过程，这对于相当一部分学生来说，或许有些困难，但这不是关键，只要再加一些例子即可. 关键在于引领学生认识到不等关系的发现对于解决问题所起的作用，认识到不等关系模型建立的两个关键因素. 通过变式训练形成良好的数学直觉，是生成数学意识的主要思维过程.
[?] 数学意识的固化关键靠生活
在应试形态的高中数学教学中，一般是不考虑学生将数学知识应用到生活当中的，纯粹的数知识之间的推理让学生的数学思维容易固定在数学知识之内. 而这对于数学意识的培养来说，可能是弊大于利. 笔者以为，数学意识在激活生成之后，面临的临门一脚的关键问题就是意识的固化问题.
如文章开头说所，意识原本属于心理学方面的内容，因而意识的固化需要符合学生的认知规律，而意识的固化的规律，又在于学生对所形成意识的生活运用. 不等关系的建立本身经历了从生活实例到数学的过程，但应当认识到那个生活实例是经过抽象的，而反过来将不等关系运用到生活当中时，则是一个演绎的过程，是一个将生成的数学关系应用到更加真实的生活情境中的过程.譬如有教师将酒驾实例中血液中酒精含量的不等关系，将某个路口中人流量的不等关系，真实地呈现在学生的面前，让学生在分析的过程中，自觉地将不等关系的数学模型运用到实例当中去，在这个过程中学生的思维不仅瞄准不等关系的结果，还瞄准不等关系建立的过程，非常有利于学生数学意识的固化.
综上所述，高中数学中要高度重视学生的数学意识培养，以切实提高学生的数学素养.
关键词：高中数学；数学意识；培养
数学是一门基础学科，如果将建筑当成学习的隐喻的话，那数学在人的发展中的作用，就类似于地基或墙体在建筑中的作用——尽管重要却不外显. 这句话显然也需要反过来理解：虽不外显却很重要. 当然，没有人会反对数学的重要性，但在高中数学教学中，这种重要性如何体现却值得教师认真研究. 在实际教学中笔者感觉到数学的基础性、重要性，与实际教学之间存在着一定的背离情形. 应试教育环境下的高中数学教学，更多地成为学生提升解题能力的核心，一切围绕应试转的教学现状使得高中数学教学的许多营养流失比较严重，数学意识则是其中之一.
笔者所理解的数学意识，是指学生在遇到实际问题时能够数学地看待问题，能够数学地思考问题，能够建构出适当的数学模型并分析之. 事实证明，经过数学化的过程，再复杂的事物也都能表现出其美丽的一面，很多看似与数学无关的事物背后，也常常隐藏着数学规律，譬如纳什借助于数学基础演变出来的博弈论，竟然成为经济学的重要理论之一，并由此获得了诺贝尔经济学奖，这不能不说是数学基础作用的充分体现. 纳什演变出博弈论的过程我们不得而知，但有一点可以肯定的是，数学意识一定帮了他不少大忙. 那么，高中数学教学如何培养学生的数学意识呢？笔者结合苏教版高中数学必修五的“不等关系、不等式”的教学，谈谈自己的一些不成熟的想法.
[?] 数学意识是源于数学的意识
从心理的角度来看，数学意识是数学的一种. 意识是什么？意识是影响人生活行为但却不外显的心理因素. 同样一个瀑布，诗人看到就想到赋诗，而学物理的则想到能量的转化与利用，数学家则会考虑其高度以及是否可以用数学关系描述其运动，这就是不同的意识所产生的结果. 从这个角度来看，数学意识显然就是指基于数学、源于数学的意识.
在“不等关系”的教学中，有两个关键概念：一是不等关系；二是不等式. 从“不等关系”到“不等式”，看起来是一个简单的变化，在数学教师看来也是一个自然且简单的由前者过渡到后者的关系. 既然是自然而然的过程，自然就不需要花费太多的精神力气了. 那么事实是不是如此呢？笔者以为，这两个知识点之间实际上却包含着丰富的内容：
其一，“不等关系”与“不等式”存在的背景不同. 前者存在于生活，在生活中有着丰富的不等关系. 事实上，相对于等量关系而言，生活中更多的是不等关系. 教材上所举的例子则更具挑战性，以第一个例子为例：某博物馆的门票为每位10元，20人以上（含20人）团体票8折优惠. 那么，不足20人时，应该选择什么样的购票策略. 显然，这是一个源自于生活的例子，不等关系蕴涵其中.
其二，后者是前者的数学化体. 不等式存在于数学，将不等关系用数学式子表达出来即为不等式. 从不等关系过渡到不等式，需要的是学生的不等关系数学化的意识，这就是数学意识的存在场所.
其三，数学化源于数学意识. 对于学生而言，怎样才能顺利地将不等关系变成不等式呢？这不是一个轻松的话题，因为在实际教学中我们看到的更多的现象是，当学生遇到类似于购票策略的问题时，他们往往无法将这一问题与不等式联系起来，这恰恰说明了学生不等意识即数学意识的缺失.
由此也可以确定，数学意识是基于生活而源于数学的，只有带着数学意识去看待生活中的事物，才有可能敏锐地寻找到生活事物数学化的描述方式. 那么，在实际教学中，学生的数学意识是怎样形成的呢？是不是可以坐等呢？教学实践表明，事实不是这样的，学生数学意识的形成，关键在于教师.
[?] 数学意识的培养关键靠教师
在面对购票策略这一问题时，笔者发现学生的思维难点不在不等式的理解上，而在不等关系向不等式过渡的这一过程中. 也就是说当不等式8×20≤10x出现后学生理解是没有问题的，但这个不等式的生成却是更难的. 这给高中数学教学敲响了一记警句：目前我们的高中学生并不缺乏数学自身的逻辑思维能力，但恰恰在数学地看待生活问题上存在不小的挑战，而近年来的数学测试又有向生活转化的趋势，因此培养学生的数学意识可谓是一个重要任务.
在学生数学意识不够明确时，显然教师在其中应当发挥重要的作用. 而这一作用的发挥关键也没有其他捷径可走，只能通过变式训练来让学生在比较鉴别中生成数学意识. 应当承认，变式教学是中国教育尤其是中国数学教育的一大法宝，自从二十多年前变式教育为国内某知名高中践行之后，变式思想在高中数学教学中就占有重要的地位. 有一点可能为大家所忽视的是，教材在建立不等关系的时候，引用了三个例子，除了上面的购票策略之外，还有杂志发行、维生素含量与成本关系两个例子，在实际教学中这三个例子如何综合运用，直接关系到学生的数学意识能否有效生成. 笔者的处理方法是这样的：先呈现购票策略的例子，在学生思维困难的时候，告诉学生发现其中的不等关系并列出不等式，是解决问题的关键所在. 事实证明，学生这个时候思维常常有瞬间被打开的感觉，当他们意识到复杂的生活事例可以用简单的数学关系来表达时，就是加强学生数学意识的关键时刻.
笔者这样跟学生强调：购票策略这一问题，起初我们能够发现其中存在着技巧问题，但无法发现如何寻找到这一技巧，而当不等关系被发现，不等式列出来之后，就发现这一关系其实又是那么的简单. 同学们想想，这其中的关键在哪里呢？
这是一个类似于元认知策略的教学过程，既基于数学又不只是指向数学知识，更指向数学能力与数学意识. 学生在这一问题的驱动之下，思维会将购票策略的实例，与不等关系及不等式结合起来，并努力发现其中的关系. 而这一关系的构建，恰恰是数学意识形成的关键.有了这一步之后，此处学生的数学意识就算被激活了. 从以上分析可以看出，教师采用什么样的教学方式，直接影响着学生的数学意识形成的质量. 如果教师过多讲授，或者不提供给学生分析综合的机会，那学生的数学意识生成就有困难. 相反，采用了变式的教学思路之后，学生的思维就有了加工数学实例与数学知识的关系，从而让两者产生联系.
[?] 数学意识的生成关键靠训练
待学生的数学意识激活之后，变式过程中学生的训练就成为数学意识有效生成的关键. 在这个过程中同样有教学细节需要关注，因为学生数学意识被激活之后如何培养还是一个问题.上面提到的除购票策略之外的两个例子如何变式，这是本训练环节中的一个关键.笔者在其中做了两点努力：
一是给学生提供杂志发行的例子，让学生分析其与购票策略例子的区别. 事实表明，学生会发现这两个例子均存在着两个关系：一是变量关系. 购票策略中购票人数与价格之间存在关系；杂志发行的价格与发行量之间存在关系. 二是不等关系，而这个关系又是建立在前者的基础上的. 多个教学研究的实例均表明，学生经过分析可以发现，从不等关系到不等式有两个关键：不等关系词；不等式.而这恰恰是不等关系的数学模型建立的两个关键. 需要指出的是，这两个关键既是数学模型的关系，也是不等关系中数学思维的模式.
二是给学生提供训练的机会. 基于上面的分析，可以让学生对第三个例子进行这种模式化的分析，譬如学生在分析维生素含量与价格的时候，不等关系词可以这样描述：食物X和Y的质量分别设为x和y千克，那食物Z的质量则可由总质量减得；于是可以根据题意建立这样的不等式关系：300x 500y 300（100-x-y）≥35000；700x 100y 300（100-x-y）≥40000.
在这样的教学过程中，学生相当于经历了一个举二反一的过程，这对于相当一部分学生来说，或许有些困难，但这不是关键，只要再加一些例子即可. 关键在于引领学生认识到不等关系的发现对于解决问题所起的作用，认识到不等关系模型建立的两个关键因素. 通过变式训练形成良好的数学直觉，是生成数学意识的主要思维过程.
[?] 数学意识的固化关键靠生活
在应试形态的高中数学教学中，一般是不考虑学生将数学知识应用到生活当中的，纯粹的数知识之间的推理让学生的数学思维容易固定在数学知识之内. 而这对于数学意识的培养来说，可能是弊大于利. 笔者以为，数学意识在激活生成之后，面临的临门一脚的关键问题就是意识的固化问题.
如文章开头说所，意识原本属于心理学方面的内容，因而意识的固化需要符合学生的认知规律，而意识的固化的规律，又在于学生对所形成意识的生活运用. 不等关系的建立本身经历了从生活实例到数学的过程，但应当认识到那个生活实例是经过抽象的，而反过来将不等关系运用到生活当中时，则是一个演绎的过程，是一个将生成的数学关系应用到更加真实的生活情境中的过程.譬如有教师将酒驾实例中血液中酒精含量的不等关系，将某个路口中人流量的不等关系，真实地呈现在学生的面前，让学生在分析的过程中，自觉地将不等关系的数学模型运用到实例当中去，在这个过程中学生的思维不仅瞄准不等关系的结果，还瞄准不等关系建立的过程，非常有利于学生数学意识的固化.
综上所述，高中数学中要高度重视学生的数学意识培养，以切实提高学生的数学素养.