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一、一条重要的线段——“三线合一”
例1 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么三角形，并证明你的结论。
【解析】由于AB=AC，M是BC的中点，可联想到“三线合一”定理，考虑连接AM，则可证明△BFM≌△AEM，然后证明MF=ME和∠EMF=90°，即可证明△MEF为等腰直角三角形。
证明：连接AM。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°。
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=[12]∠CAB=45°。
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴MA=MB，
∵DF⊥AB，∠B=45°，
∴DF=BF。
∵∠BAC=90°，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴∠DFE=∠AEF，∠AFE=∠DEF。
在△AEF和△DFE中：[∠DFE=∠AEF，EF=EF，∠AFE=∠DEF，]
∴△AEF≌△DFE。
∴DF=AE，
∴BF=AE。
在△BFM和△AEM中：[BF=AE，∠B=∠EAM，MB=MA，]
∴△BFM≌△AEM，
∴ME=MF，∠BMF=∠AME。
∵∠BMF ∠AMF=90°，
∴∠AME ∠AMF=90°，
∴∠EMF=90°。
∴△MEF是等腰直角三角形。
【点评】等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系提供了又一个理论根据。同时，同学们还应熟练掌握“三线合一”性质的转化。
二、在等腰三角形中找条件
例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC，交CE的延长线于点F。求证：DB=BF。
【解析】要证明DB=BF，由于D为BC的中点，所以CD=BD，因此本题可转证CD=BF，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD≌△CBF。
证明：∵BF∥AC，
∴∠CBF ∠ACB=180°。
∵∠ACB=90°，
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ACE ∠DCE=90°。
∵CE⊥AD，
∴∠CAD ∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠DCE=∠BCF。
在△ACD和△CBF中：[∠ACD=∠CBF，AC=CB，∠CAD=∠BCF，]
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴DB=BF。
【点评】本题证明△ACD≌△CBF需要的3个要素都和△ABC是等腰直角三角形相关。在证明过程中，当图形中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等内容时，往往隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等相关。
三、既是角平分线又是垂线，补成等腰三角形
例3 如图3，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE垂直BD的延长线于E点。求证：BD=2AE。
【解析】由于BE既是角平分线，又垂直于AE，所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC，构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质和全等，证明BD和AE的关系。
证明：延长AE、BC，交于点F。
∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF=2AE。
∵AE⊥BE，
∴∠F ∠DBC=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB ∠DBC=90°，
∴∠F=∠CDB。
在△FAC和△DBC中：[∠F=∠CDB，∠FCA=∠DCB，AC=BC，]
∴△FAC≌△DBC（AAS），
∴AF=BD，
∴BD=2AE。
【点评】当一条线段具备以下3个条件中的两个条件时，可考虑构造等腰三角形，运用“三线合一”定理解决问题：（1）平分一个角;（2）垂直一条边;（3）平分一条线段。
四、等边三角形中的全等
例4 如图4，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，求∠BFD的度数。
【解析】由于∠BFD=∠ABE ∠BAD，可通过证明△ABE≌△CAD，将∠ABE ∠BAD转化为∠CAD ∠BAD，即∠BAC。
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中：[AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，]
∴△ABE≌△CAD。
∴∠CAD=∠ABE。
∴∠ABE ∠BAD=∠BAD ∠CAD=60°。
∴∠BFD=60°。
例5 如图5，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE、CD相交于O。
（1）求证：BE=DC。
（2）求∠BOC的度数。
【解析】（1）BE和DC可分别置于△ACD、△AEB中，通过证明△ACD≌△AEB，来证得BE=DC。证明△ACD≌△AEB需要的条件可从等边三角形中获得。（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO ∠DBO，可將求的角转化为求∠BDO ∠DBO。
证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°。
∴∠DAC=∠BAE。
在△ACD和△AEB中：[AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，]
∴△ACD≌△AEB。
∴BE=DC。
（2）∵△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE。
∴∠BDO ∠DBO=∠ADB ∠ABD=120°。
∴∠BOC=∠BDO ∠DBO=120°。
【点评】等边三角形3条边相等、3个角相等，是判定三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形。
（作者单位：江苏省海安市紫石中学）
例1 如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任意一点，DF⊥AB于点F，DE⊥AC于点E，M为BC的中点，试判断△MEF是什么三角形，并证明你的结论。
【解析】由于AB=AC，M是BC的中点，可联想到“三线合一”定理，考虑连接AM，则可证明△BFM≌△AEM，然后证明MF=ME和∠EMF=90°，即可证明△MEF为等腰直角三角形。
证明：连接AM。
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°。
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，∠BAM=∠CAM=[12]∠CAB=45°。
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴MA=MB，
∵DF⊥AB，∠B=45°，
∴DF=BF。
∵∠BAC=90°，DF⊥AB，DE⊥AC，
∴DF∥AC，DE∥AB，
∴∠DFE=∠AEF，∠AFE=∠DEF。
在△AEF和△DFE中：[∠DFE=∠AEF，EF=EF，∠AFE=∠DEF，]
∴△AEF≌△DFE。
∴DF=AE，
∴BF=AE。
在△BFM和△AEM中：[BF=AE，∠B=∠EAM，MB=MA，]
∴△BFM≌△AEM，
∴ME=MF，∠BMF=∠AME。
∵∠BMF ∠AMF=90°，
∴∠AME ∠AMF=90°，
∴∠EMF=90°。
∴△MEF是等腰直角三角形。
【点评】等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系提供了又一个理论根据。同时，同学们还应熟练掌握“三线合一”性质的转化。
二、在等腰三角形中找条件
例2 如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD，垂足为E，BF∥AC，交CE的延长线于点F。求证：DB=BF。
【解析】要证明DB=BF，由于D为BC的中点，所以CD=BD，因此本题可转证CD=BF，将这两条线段放置到三角形中，可证明△ACD≌△CBF。
证明：∵BF∥AC，
∴∠CBF ∠ACB=180°。
∵∠ACB=90°，
∴∠CBF=∠ACB=90°，
∴∠ACE ∠DCE=90°。
∵CE⊥AD，
∴∠CAD ∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠DCE=∠BCF。
在△ACD和△CBF中：[∠ACD=∠CBF，AC=CB，∠CAD=∠BCF，]
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF。
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴DB=BF。
【点评】本题证明△ACD≌△CBF需要的3个要素都和△ABC是等腰直角三角形相关。在证明过程中，当图形中出现等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形等内容时，往往隐含着一对全等三角形，这对全等三角形的一对应边往往和等边三角形、等腰三角形、正方形、菱形的边长相等相关。
三、既是角平分线又是垂线，补成等腰三角形
例3 如图3，已知在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，且AE垂直BD的延长线于E点。求证：BD=2AE。
【解析】由于BE既是角平分线，又垂直于AE，所以很容易由“三线合一”联想到延长AE与BC，构造等腰三角形，再结合等腰三角形的性质和全等，证明BD和AE的关系。
证明：延长AE、BC，交于点F。
∵BE平分∠ABF，AE⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，
∴AF=2AE。
∵AE⊥BE，
∴∠F ∠DBC=90°。
∵∠ACB=90°，
∴∠CDB ∠DBC=90°，
∴∠F=∠CDB。
在△FAC和△DBC中：[∠F=∠CDB，∠FCA=∠DCB，AC=BC，]
∴△FAC≌△DBC（AAS），
∴AF=BD，
∴BD=2AE。
【点评】当一条线段具备以下3个条件中的两个条件时，可考虑构造等腰三角形，运用“三线合一”定理解决问题：（1）平分一个角;（2）垂直一条边;（3）平分一条线段。
四、等边三角形中的全等
例4 如图4，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DC=AE，AD、BE交于点F，求∠BFD的度数。
【解析】由于∠BFD=∠ABE ∠BAD，可通过证明△ABE≌△CAD，将∠ABE ∠BAD转化为∠CAD ∠BAD，即∠BAC。
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°。
在△ABE和△CAD中：[AB=AC，∠BAE=∠C，AE=CD，]
∴△ABE≌△CAD。
∴∠CAD=∠ABE。
∴∠ABE ∠BAD=∠BAD ∠CAD=60°。
∴∠BFD=60°。
例5 如图5，△ABD、△AEC都是等边三角形，BE、CD相交于O。
（1）求证：BE=DC。
（2）求∠BOC的度数。
【解析】（1）BE和DC可分别置于△ACD、△AEB中，通过证明△ACD≌△AEB，来证得BE=DC。证明△ACD≌△AEB需要的条件可从等边三角形中获得。（2）根据外角的性质可知∠BOC=∠BDO ∠DBO，可將求的角转化为求∠BDO ∠DBO。
证明：（1）∵△ABD、△AEC都是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠ADB=∠ABD=∠BAD=∠CAE=60°。
∴∠DAC=∠BAE。
在△ACD和△AEB中：[AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，]
∴△ACD≌△AEB。
∴BE=DC。
（2）∵△ACD≌△AEB，
∴∠ADC=∠ABE。
∴∠BDO ∠DBO=∠ADB ∠ABD=120°。
∴∠BOC=∠BDO ∠DBO=120°。
【点评】等边三角形3条边相等、3个角相等，是判定三角形全等的条件，因此当图形中出现两个等边三角形时，一般会出现全等三角形。
（作者单位：江苏省海安市紫石中学）