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【摘 要】分析了经典角动量守恒定律不具有伽利略变换的不变性，重新表述了角动量守恒定律，使其满足力学相对性原理。
【关键词】矢量法;角动量守恒定律;角动量定理;力学相对性原理
1.经典角动量守恒定律不满足伽利略变换
例1如图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳（忽略质量）的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，
问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系（O1-x1y1），角动量守恒定律是否都成立？
解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系。
（1）在地面系——设初相为0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt;x'=-Rωsinωt，y'= Rωcosωt;
fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。
=0，质点对圆心的角动量大小为mR2ω，方向不变，角动量守恒定律成立。
（2）小车系。将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：
x1=x-ut=Rcosωt-ut，y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u，y'1= y'= Rωcosωt;
p=mv=（-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0），r=（ Rcosωt-ut，R sinωt，0），
fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。
L1=r1p1=（0，0，mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt），L1'=（0，0，utmRω2sinωt），
M1= r1f=（0，0，utmRω2sinωt）。
根据上面的计算可以得出，角动量、合力矩不具有伽利略变换的不变性，经典角动量守恒定律也不具有伽利略变换的不变性，即不满足力学相对性原理，文献[1～4]也说明了这个问题。伽利略相对性原理仅指经典力学定律在任何惯性参考系中数学形式不变——所有惯性系都是等价（平权）的。因为力学相对性原理要求所有的惯性系等价，同一个物理过程在静止惯性参照系角动量守恒，在运动惯性参照系角动量不守恒，这是力学相对性原理所不允许的。在同一个坐标系中，质点即使受到有心力的作用，对某个作用点角动量守恒，对另一个作用点也可能不守恒，因为此时合力矩不再为0，因此经典角动量守恒定律也不具有普适性，需要进行重新表述。
2.对于角动量守恒定律表述的重新思考
笔者认为，作为力学定律（或者力学定理）必须具有普遍性，不具有协变性的命题不能称之为力学定律（或者力学定理），不能等同于一般的真命题，对于某一个确定的物理过程，在一个惯性系成立，在另一个惯性系也必须成立（在这里所说的成立不仅包括命题的条件成立，结论也必须成立，即满足协变性的要求）。经典角动量守恒定律不能满足这个要求，而且在很多情况下质点受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角动量守恒定律，使其满足上述要求[5]。在创立狭义相对论时，爱因斯坦利用了洛仑兹变换的不变性，而在创立广义相对论时，他把变换不变性提升为物理学的普遍原理，并从引力质量与惯性质量等同这一经验事实出发，把某种变换不变性作为表示空间结构四维性和对称张量的引力方程的前提。洛伦兹说过：“爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从已知的方程组出发去证明协变性是存在的，而是把协变性应当存在这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有的形式。”
把角动量定理两边同时积分可以得到角动量定理的积分形式——质点对于某一点（或某轴）的角动量与该点受到的合力矩对于时间的积分之差不变，
即
该命题与角动量定理的微分形式是等价命题，具有伽利略变换的不变性，满足力学相对性原理。
下面类比机械能中势能概念我们引入角动量势的概念——
定义：质点对于某一点（或某轴）受到的合力矩对于时间积分称之为角动量势，
记为
角动量守恒定律——对于任何参照系，质点在运动过程中对于某一点（或某轴）的角动量与角动量势之差不变，L（t）- N（t）= L（t0）=const。
這样表述角动量守恒定律与角动量定理积分形式比较，只是改变了一个物理量的名称，所以对于所有惯性系都成立，是经典角动量守恒定律的一个推广。对于非惯性系只要引入惯性力矩，推广后的角动量守恒定律依然成立，符合爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的观察者都相同。
类似地，动量守恒定律表述为——对于任何参照系，一个系统的动量与合外力冲量差是一个常数。动量类比上面的角动量，合外力冲量类比角动量势。
文献[6]证明了动量定理对于所有参照系都协变，动量守恒定律对于所有惯性系守恒条件协变，对于非惯性系不协变;角动量守恒定律对于惯性系也不协变。重新表述角动量守恒定律、动量守恒定律后分别是角动量定理、动量定理的等价形式，自然符合相对性原理的要求。
在机械能方面，保守力作用下系统的拉格朗日量定义为动能与势能之差：，与此类似。在均匀时空下，体系的拉氏函数就反映了体系运动的能量。于是，我们可以这样理解：当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀的时空时，体系所具有的运动能量就是拉格朗日函数。类似地，当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀时空时，体系所具有的运动动量就是系统的动量与合外力冲量之差;体系所具有的运动旋转量就是系统的角动量与角动量势之差。
牛顿讲：“大自然总是喜欢变化与快乐。”变化不可能只有一个物理量发生变化，在变化过程中几个物理量之间以某种关系保持守恒，在变化过程中找寻不变量应当是物理学的重要任务之一。在物理学中，发现任何一个能概括许多现象的守恒量都是令人欣喜的事。赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的。因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性。 朗道的力学中说：“如果系统整体相对参考系K′静止，则V是系统质心的速度，而μV是系统相对于参考系K的总动量P，进而有M=M+R×P。就是说，力学系统的角动量是由其相对静止的参考系中的“内禀角动量”和整体运动的角动量R×P构成。笔者认为朗道所指的整体运动的角动量就是角动量势，在这里多出一个物理量——角动量势，类似于在某参考系观察一个静止电荷，它只激发静电场，只需用标势ψ描述，但是变换到另一参考系时，电荷是运动的，除了电场之外还有磁场，必须用A和ψ描述。在上面匀速圆周运动的实例中，对于小车系而言mR2ω是内禀角动量，整体运动的角动量——角动量势umRsinωt-utmRωcosωt，角动量为mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt，角动量与角动量势之差为mR2ω，这个守恒量是对于所有的参照系相同，只与参考点的选择有关。
在上面的命题中，当合力矩也等于0时，便是经典角动量守恒定律，符合对应原理要求，即经典角动量守恒定律是上述命题的一个特例，经典角动量守恒定律在运动系需要增加一个物理量——角动量势，对于固有参照系这一项正好为0。在地球绕日运动的椭圆轨道中，以太阳为参照系角动量守恒，以相对于太阳匀速运动的参照系看来角动量不守恒，但是角动量与角动量势之差守恒。容易验证在上面的匀速圆周运动中，考察上述命题显然满足伽利略变换的不变性。假设把单摆固定在地面上，在地面上有一辆匀速运动的小车，在小车系看来摆锤的角动量不守恒，但是角动量与角动量势之差守恒。角动量守恒定律不但与参考系无关（对于非惯性系考虑惯性力力矩即可），而且与参考点无关。本文验证了相对性原理和单独的协变性是一回事，文献[7～11]的观点是完全错误的。
3.力学中三大守恒定律的比较
动量守恒定律、角動量守恒定律与机械能守恒定律之间的类比——动量、角动量类似于动能，冲量、角动量势类似于势能。动能和势能可以变化，但是机械能不变;同理对于不同的参照系，动量和冲量可以相互转化，角动量和角动量势可以变化，但是它们的差不变。区别：对于不同的参照系，机械能的守恒量不相同，但是动量和冲量只差保持不变。同理角动量与角动量势之差的守恒量不变，因为它描述的是质点的旋转特性，对于不同的惯性系，旋转特性相同，该旋转量对于不同的惯性系都成立，所以在狭义相对论框架内角动量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有别，这是对称的绝对性和相对性的表现形式。地球围绕太阳公转，以太阳为参考点，地球看做质点的话，受到的合力矩为0，可是事实上地球并不是质点，其内部存在着其他力，因此地球的公转的角动量应该稍微减少，不过日—地轨道角动量是十分巨大的，相比之下地球的自转角动量十分渺小，不容易观察而已。对称性原理在上述研究工作中起着重大作用，它能使我们从事物之间的联系上考虑问题，从而使我们迅速抓住问题的实质。”
在牛顿力学理论中，质点的动量和能量是两个彼此独立的物理量，动量守恒定律、能量守恒定律是两个彼此独立的定律;可是在狭义相对论中，质点的动量和能量紧密结合成四维动量，因而动量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—动量守恒定律，亦即四维动量守恒定律。牛顿力学理论中容许超距力（在弹簧振子和单摆问题中弹力虽然是接触力，但是由于力源不是研究对象，仍然按超距力处理），须引入势能，可是在狭义相对论中，不存在超距力，只有接触作用，不需引入势能。狭义相对论的能量—动量守恒定律特别适用于研究基本粒子之间，包括湮灭、创生等现象在内的反应，而牛顿力学理论的动量守恒定律、能量守恒定律与质量守恒定律无法研究这些反应。类似地，在狭义相对论中无需引入冲量和角动量势的概念，因此牛顿力学中的动量守恒定律、角动量守恒定律与狭义相对论中动量守恒定律、角动量守恒定律的表述有一定的区别。爱因斯坦讲：“物理学构成一种处在不断进化过程中的思想逻辑体系。”
参考文献
[1]高炳坤.用伽利略变换审视牛顿力学.大学物理，2010年第29卷第6期：1～2，8.
[2]易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18～22.
[3]顾国锋.力学守恒定律的相对性.桂林市教育学院学报（综合版），1995年第三期：76～78.
[4]唐淑凡.力学量的守恒性与力学定律的不变性.娄底师专学报，1986（3）：59～64.
[5]刘一贯.关于机械能守恒定律的协变性.华南师范大学学报（自然科学版），1985（1）：155～157.
[6]章鹏.非惯性系中的动量定理和动量守恒定律.重庆建筑大学学报，第16卷第1期，1994（3）：99～102.
[7]朱如曾.相对论力学中普遍定律的实用判别法和协变集的实用构造法.力学与实践，2002年第24卷第3 期： 70～71.
[8]朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求——机械能守恒定律协变性疑难的解答.大学物理，2000（2）：15～19，26.
[9]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求——关于协变性疑难的进一步讨论.大学物理，2002（3）：19～23.
[10]赵凯华.编者的话.大学物理，2002（3）：18.
[11]赵凯华.澄清对相对论性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月：12～13.
【关键词】矢量法;角动量守恒定律;角动量定理;力学相对性原理
1.经典角动量守恒定律不满足伽利略变换
例1如图，有一质量为m的小球（视为质点），在轻绳（忽略质量）的牵制下，在光滑的地面上绕O点做匀速（速率为v）圆周运动，如果忽略地面和空气摩擦阻力，
问：小球在地面系和沿x 轴匀速运动的小车（设小车的速度为u）坐标系（O1-x1y1），角动量守恒定律是否都成立？
解析：地球质量视为充分大，故稳定地保持为惯性系。
（1）在地面系——设初相为0，v=ωR，x=Rcosωt，y= R sinωt;x'=-Rωsinωt，y'= Rωcosωt;
fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。
=0，质点对圆心的角动量大小为mR2ω，方向不变，角动量守恒定律成立。
（2）小车系。将运动方程作伽利略变换，写出小车系运动方程：
x1=x-ut=Rcosωt-ut，y1= y=R sinωt;x'1= x'-u=-Rωsinωt-u，y'1= y'= Rωcosωt;
p=mv=（-mRωsinωt-mu，mRωcosωt，0），r=（ Rcosωt-ut，R sinωt，0），
fx=m x"= -mRω2cosωt，fy=m y"= -mRω2sinωt。
L1=r1p1=（0，0，mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt），L1'=（0，0，utmRω2sinωt），
M1= r1f=（0，0，utmRω2sinωt）。
根据上面的计算可以得出，角动量、合力矩不具有伽利略变换的不变性，经典角动量守恒定律也不具有伽利略变换的不变性，即不满足力学相对性原理，文献[1～4]也说明了这个问题。伽利略相对性原理仅指经典力学定律在任何惯性参考系中数学形式不变——所有惯性系都是等价（平权）的。因为力学相对性原理要求所有的惯性系等价，同一个物理过程在静止惯性参照系角动量守恒，在运动惯性参照系角动量不守恒，这是力学相对性原理所不允许的。在同一个坐标系中，质点即使受到有心力的作用，对某个作用点角动量守恒，对另一个作用点也可能不守恒，因为此时合力矩不再为0，因此经典角动量守恒定律也不具有普适性，需要进行重新表述。
2.对于角动量守恒定律表述的重新思考
笔者认为，作为力学定律（或者力学定理）必须具有普遍性，不具有协变性的命题不能称之为力学定律（或者力学定理），不能等同于一般的真命题，对于某一个确定的物理过程，在一个惯性系成立，在另一个惯性系也必须成立（在这里所说的成立不仅包括命题的条件成立，结论也必须成立，即满足协变性的要求）。经典角动量守恒定律不能满足这个要求，而且在很多情况下质点受到的合力矩不等于0，因此有必要重新表述角动量守恒定律，使其满足上述要求[5]。在创立狭义相对论时，爱因斯坦利用了洛仑兹变换的不变性，而在创立广义相对论时，他把变换不变性提升为物理学的普遍原理，并从引力质量与惯性质量等同这一经验事实出发，把某种变换不变性作为表示空间结构四维性和对称张量的引力方程的前提。洛伦兹说过：“爱因斯坦把方法倒了过来，他不是从已知的方程组出发去证明协变性是存在的，而是把协变性应当存在这一点作为假设提出来，并且用它演绎出方程组应有的形式。”
把角动量定理两边同时积分可以得到角动量定理的积分形式——质点对于某一点（或某轴）的角动量与该点受到的合力矩对于时间的积分之差不变，
即
该命题与角动量定理的微分形式是等价命题，具有伽利略变换的不变性，满足力学相对性原理。
下面类比机械能中势能概念我们引入角动量势的概念——
定义：质点对于某一点（或某轴）受到的合力矩对于时间积分称之为角动量势，
记为
角动量守恒定律——对于任何参照系，质点在运动过程中对于某一点（或某轴）的角动量与角动量势之差不变，L（t）- N（t）= L（t0）=const。
這样表述角动量守恒定律与角动量定理积分形式比较，只是改变了一个物理量的名称，所以对于所有惯性系都成立，是经典角动量守恒定律的一个推广。对于非惯性系只要引入惯性力矩，推广后的角动量守恒定律依然成立，符合爱因斯坦的思想——物理规律对于所有的观察者都相同。
类似地，动量守恒定律表述为——对于任何参照系，一个系统的动量与合外力冲量差是一个常数。动量类比上面的角动量，合外力冲量类比角动量势。
文献[6]证明了动量定理对于所有参照系都协变，动量守恒定律对于所有惯性系守恒条件协变，对于非惯性系不协变;角动量守恒定律对于惯性系也不协变。重新表述角动量守恒定律、动量守恒定律后分别是角动量定理、动量定理的等价形式，自然符合相对性原理的要求。
在机械能方面，保守力作用下系统的拉格朗日量定义为动能与势能之差：，与此类似。在均匀时空下，体系的拉氏函数就反映了体系运动的能量。于是，我们可以这样理解：当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀的时空时，体系所具有的运动能量就是拉格朗日函数。类似地，当一个体系处于外场中，设法消除外场的影响，使之处于局部均匀时空时，体系所具有的运动动量就是系统的动量与合外力冲量之差;体系所具有的运动旋转量就是系统的角动量与角动量势之差。
牛顿讲：“大自然总是喜欢变化与快乐。”变化不可能只有一个物理量发生变化，在变化过程中几个物理量之间以某种关系保持守恒，在变化过程中找寻不变量应当是物理学的重要任务之一。在物理学中，发现任何一个能概括许多现象的守恒量都是令人欣喜的事。赵凯华认为：“研究一个规律的表述所具有的对称性，并设法消除某种不对称因素，从而使其规律的表述具有更多的对称性，这无疑是有重要意义的。因为它不仅满足人类对于美（对称，和谐）的心理追求，而且更重要的是使表述的规律具有更大的普遍性。 朗道的力学中说：“如果系统整体相对参考系K′静止，则V是系统质心的速度，而μV是系统相对于参考系K的总动量P，进而有M=M+R×P。就是说，力学系统的角动量是由其相对静止的参考系中的“内禀角动量”和整体运动的角动量R×P构成。笔者认为朗道所指的整体运动的角动量就是角动量势，在这里多出一个物理量——角动量势，类似于在某参考系观察一个静止电荷，它只激发静电场，只需用标势ψ描述，但是变换到另一参考系时，电荷是运动的，除了电场之外还有磁场，必须用A和ψ描述。在上面匀速圆周运动的实例中，对于小车系而言mR2ω是内禀角动量，整体运动的角动量——角动量势umRsinωt-utmRωcosωt，角动量为mR2ω+umRsinωt-utmRωcosωt，角动量与角动量势之差为mR2ω，这个守恒量是对于所有的参照系相同，只与参考点的选择有关。
在上面的命题中，当合力矩也等于0时，便是经典角动量守恒定律，符合对应原理要求，即经典角动量守恒定律是上述命题的一个特例，经典角动量守恒定律在运动系需要增加一个物理量——角动量势，对于固有参照系这一项正好为0。在地球绕日运动的椭圆轨道中，以太阳为参照系角动量守恒，以相对于太阳匀速运动的参照系看来角动量不守恒，但是角动量与角动量势之差守恒。容易验证在上面的匀速圆周运动中，考察上述命题显然满足伽利略变换的不变性。假设把单摆固定在地面上，在地面上有一辆匀速运动的小车，在小车系看来摆锤的角动量不守恒，但是角动量与角动量势之差守恒。角动量守恒定律不但与参考系无关（对于非惯性系考虑惯性力力矩即可），而且与参考点无关。本文验证了相对性原理和单独的协变性是一回事，文献[7～11]的观点是完全错误的。
3.力学中三大守恒定律的比较
动量守恒定律、角動量守恒定律与机械能守恒定律之间的类比——动量、角动量类似于动能，冲量、角动量势类似于势能。动能和势能可以变化，但是机械能不变;同理对于不同的参照系，动量和冲量可以相互转化，角动量和角动量势可以变化，但是它们的差不变。区别：对于不同的参照系，机械能的守恒量不相同，但是动量和冲量只差保持不变。同理角动量与角动量势之差的守恒量不变，因为它描述的是质点的旋转特性，对于不同的惯性系，旋转特性相同，该旋转量对于不同的惯性系都成立，所以在狭义相对论框架内角动量守恒定律也是成立的。三大守恒定律表述形式既相似也有别，这是对称的绝对性和相对性的表现形式。地球围绕太阳公转，以太阳为参考点，地球看做质点的话，受到的合力矩为0，可是事实上地球并不是质点，其内部存在着其他力，因此地球的公转的角动量应该稍微减少，不过日—地轨道角动量是十分巨大的，相比之下地球的自转角动量十分渺小，不容易观察而已。对称性原理在上述研究工作中起着重大作用，它能使我们从事物之间的联系上考虑问题，从而使我们迅速抓住问题的实质。”
在牛顿力学理论中，质点的动量和能量是两个彼此独立的物理量，动量守恒定律、能量守恒定律是两个彼此独立的定律;可是在狭义相对论中，质点的动量和能量紧密结合成四维动量，因而动量守恒定律、能量守恒定律合并成能量—动量守恒定律，亦即四维动量守恒定律。牛顿力学理论中容许超距力（在弹簧振子和单摆问题中弹力虽然是接触力，但是由于力源不是研究对象，仍然按超距力处理），须引入势能，可是在狭义相对论中，不存在超距力，只有接触作用，不需引入势能。狭义相对论的能量—动量守恒定律特别适用于研究基本粒子之间，包括湮灭、创生等现象在内的反应，而牛顿力学理论的动量守恒定律、能量守恒定律与质量守恒定律无法研究这些反应。类似地，在狭义相对论中无需引入冲量和角动量势的概念，因此牛顿力学中的动量守恒定律、角动量守恒定律与狭义相对论中动量守恒定律、角动量守恒定律的表述有一定的区别。爱因斯坦讲：“物理学构成一种处在不断进化过程中的思想逻辑体系。”
参考文献
[1]高炳坤.用伽利略变换审视牛顿力学.大学物理，2010年第29卷第6期：1～2，8.
[2]易双萍.不同惯性系中的力学规律.工科物理（现名：物理与工程），1998年第8卷第5期：18～22.
[3]顾国锋.力学守恒定律的相对性.桂林市教育学院学报（综合版），1995年第三期：76～78.
[4]唐淑凡.力学量的守恒性与力学定律的不变性.娄底师专学报，1986（3）：59～64.
[5]刘一贯.关于机械能守恒定律的协变性.华南师范大学学报（自然科学版），1985（1）：155～157.
[6]章鹏.非惯性系中的动量定理和动量守恒定律.重庆建筑大学学报，第16卷第1期，1994（3）：99～102.
[7]朱如曾.相对论力学中普遍定律的实用判别法和协变集的实用构造法.力学与实践，2002年第24卷第3 期： 70～71.
[8]朱如曾.相对性原理及其对自然界定律的协变性要求——机械能守恒定律协变性疑难的解答.大学物理，2000（2）：15～19，26.
[9]朱如曾.相对性原理对普遍定律和非普遍定律参考系变换性质的不同要求——关于协变性疑难的进一步讨论.大学物理，2002（3）：19～23.
[10]赵凯华.编者的话.大学物理，2002（3）：18.
[11]赵凯华.澄清对相对论性原理和协变性的误解.大学物理，2020年1月：12～13.