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对于任意正整数a,令σ（a）表示a的所有因子之和.设n是一个固定的正整数,称正整数x是n-完全数,如果它满足σ（x）＋σ（nx）=2（n＋1）x.运用σ（a）的一些性质讨论了2^r-完全数的存在性,其中r是固定的正整数,证明了x是2^r-完全数当且仅当x=2^s（2^r＋s＋2^s-1）,其中s是正整数,2^r＋s＋2^s-1是一个奇素数.