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[摘 要]基于弹性理论，利用弹性半空间体在边界上受法向集中力作用的布西内斯克应力解，建立了弹性理论空间模型，对预应力锚索锚固段剪应力沿长度方向的分布规律进行模型研究。得到剪应力沿锚固段轴向的分布曲线，求出了剪应力分布曲线的特征点；并通过与现场试验结果对比，验证了该模型的合理性，得出锚固段周边剪应力分布的合理结论。
[关键词]弹性力学；预应力锚索；锚固段；剪应力分布
中图分类号：TD324 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）13-0399-01
文章基于弹性理论，按照半空间体在边界上受法向集中力作用，建立弹性理论空间模型，对预应力锚索锚固段剪应力沿长度方向的分布规律进行模型研究。
1 锚固段力学分析模型的建立
锚固段实际受力情况见图1，此时锚索自由段在预应力作用下对位于钻孔深部的锚固段产生一个向外的张拉力P，张拉力P通过锚索体与浆体的粘结作用，将其传递给锚固体，在浆体与锚索体界面，锚固体受到一组沿孔轴向分布的剪应力作用。这组剪应力通过浆体与孔壁的粘结作用，又将力传递给周围岩土体，在岩土体的牵制作用下，锚固体周边将受到一组沿孔轴向分布的剪应力τ的作用。通过分析可知，剪应力τ是在张拉力P的作用下通过锚固体的传递作用所产生的，它是张拉力P在锚固体中传递作用的结果。因此，可以考虑用弹性理论中集中力在半无限体中应力分布的分析方法，来研究锚固体周边剪应力分布的规律。考虑到岩土介质结构性状的复杂性给理论分析带来的诸多困难，为了便于分析且使分析结果能反应出锚固段剪应力分布的趋势规律，可将锚固段的受力状态作些简化。
预应力锚索锚固段的空间形状近似为圆柱体且关于钻孔中心线轴对称，另外，在锚固段端口平面处的岩土体，虽然一方面要受到上覆岩土体重力以及其它应力的影响，但这些影响只改变锚固体周边剪应力的大小，而不改变剪应力沿孔壁方向的总体分布趋势，也就是说，这些因素不会改变应力分布曲线的总体形状。在分析锚固体周边剪应力沿孔壁方向的分布规律时，可以忽略这些因素的影响。因此，可以将锚固体实力受力状态，简化为如图2所示的弹性半无限体上受集中力作用的情况，同时，假设半无限体为均质连续体各向同性完全弹性体，图中D表示锚固体（钻孔）的直径。
2 锚固段周边剪应力分布的弹性理论分析
根据上述建立的弹性理论空间模型，利用布西内斯克解，可得半空间体中任一点处的剪应力特性可以为：τ =3P2πx3（x2+y2+z2）5/2 （1）
式（1）中，考虑当（y2+z2）1/2=0.5D时（D为钻孔直径），则可得到锚固体与岩体界面上剪应力特性的表达式为：
τ=48Pπx3（D2+4x2）5/2 （2）
利用公式（2）可以研究预应力锚索锚固段上剪应力的分布特征为：
1）极值点：令τ的一阶导数等于0，则当x=64d=0.6124D时，得到τmax=1.116PπD2。
2）端点：当x=0时，则有τ0=0；当x=Lc时（Lc为锚固段长度），则有τLc=48PπL3c（D2+4L2c）5/2。
对于工程中常用的预应力锚索而言，由于Lc=20D～30D（甚至更长），则有τLc≤0.00374PπD2=0.00335τmax。
3）拐点：令τ的二阶导数等于0，可知当时x1=0.159D，有τ1=0.152PπD2=0.428τmax；当x2=0.642D时，τ2=0.276PπD2=0.777τmax。
从特征点的数值可以看出，在x=0.6124D处，锚固段剪应力取得最大值，所以，锚固段最大剪应力并不是出现在锚固段中点，而是出现在靠近锚固段前端的一侧。当0≤x≤Lc时，锚固段剪应力的分布为两端为零（或近似为零）、中间某处有最大值（峰值）的单峰曲线。在x=0.159D和在x=0.642D两处曲线出现拐点。
由图3表示，这与采用构造指数函数、双曲线函数、复合幂函数、正态分布函数来描述锚固段剪应力分布曲线的结果基本一致。
3 模型计算与现场试验结果比较
3.1 锚固段周邊剪应力分布状态的分析
为了分析锚固段周边剪应力沿孔轴向的分布形式，可以对式（2）中每个参数赋予具体的数值，求出各对应点上的剪应力，然后作图，就可以得出剪应力沿孔轴向上的应力分布曲线。这里假设锚索分别受到3种大小不同的张拉力P的作用，即P为400kN/m，600kN/m和800kN/m，锚孔直径D=180mm，从锚固段端口开始，沿孔轴向赋予x不同的值，分别求出不同位置上的τ值，然后作图，得到如图4所示的剪应力分布曲线图。
从图中可以看出，锚固段周边剪应力的分布是极不均匀的，在锚固段端口处，剪应力基本为0，从端口处向内，剪应力随深度增加而迅速增大，在深度达到x=0.6124D=11cm左右处，剪应力达到峰值。从峰值点往内，随深度增加，剪应力开始递减，直至递减为0。在整个内锚固段长度上，剪应力的分布是呈集中态势的。在锚固段前端1.0～1.5m内，剪应力的分布几乎占了整个分布的80%左右。随着预应力的增加，剪应力也随之增大，其分布区域也向孔底方向扩展。虽然预应力在增加，但剪应力峰值点的位置却几乎固定不变，都集中在距锚固段端口10cm的部位。
3.2 理论分析结果同现场试验结果的对比分析，图5为现场试验所得到的注浆体与孔壁之间的剪应力沿内锚固段的分布曲线。由图4，5可以看出，利用弹性理论所得到的剪应力分布曲线
同现场试验所得结果基本一致。所不同的是现场试验所得到的剪应力峰值，位于距锚固段端口20cm左右的部位，而理论分析的峰值点则出现在距锚固段端口x=0.6124D=11cm左右的位置。另外，理论分析的剪应力衰减距离较远，而试验结果剪应力则在2m左右处就衰减为0。二者分析结果的不同之处，主要是因为弹性理论分析时是假设岩土体与锚固体为均质连续各向同性完全弹性体，忽略了介质的非均质性和非线性的属性，没有考虑到介质中的节理裂隙等的影响作用。
4 结论
1）运用弹性理论空间模型，对预应力锚索锚固段剪应力沿长度方向的分布规律进行研究，得到内锚固段周边剪应力分布在锚固段的起点处的值并非最大而是为0；剪应力的峰值点出现在距锚固段端口处往内一定距离的部位，而不是端口位置。
2）同现场试验结果相比，尽管存在一定的误差，但是，弹性理论的分析结果是基本符合实际的。可以为设计和施工提供依据和参考。
3）对预应力锚索锚固段剪应力的分布分析，作为一种定性分析手段，弹性理论的分析方法行之有效，但是，弹性理论的假设和力学模型还比较粗糙，与实际还有较大出入，因此，仍需进一步完善。
参考文献
[1] 郑全民.拉力型土锚最优长度及最大极限承载力的确定[J]西部探矿工程，2000，（2）：27～28.
[2] 王见宇，牟瑞芳.按共同作用变形原理计算地锚工程中粘结型锚头内力[M].北京：人民交通出版社，1998.
[3] 顾金才，沈俊，陈安敏，等.预应力锚索内锚固段受力特点现场试验研究[J].岩石力学与工程学报，1998，17（增）：788～792.
[4] 程良奎.土层锚杆的几个力学问题[C]//岩土锚固工程技术：A集.北京：人民交通出版社，1996，1～6.
[5] 徐芝纶.弹性力学（第三版）[M].北京：人民教育出版社，2002.（责任编辑潘启新）.
[关键词]弹性力学；预应力锚索；锚固段；剪应力分布
中图分类号：TD324 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）13-0399-01
文章基于弹性理论，按照半空间体在边界上受法向集中力作用，建立弹性理论空间模型，对预应力锚索锚固段剪应力沿长度方向的分布规律进行模型研究。
1 锚固段力学分析模型的建立
锚固段实际受力情况见图1，此时锚索自由段在预应力作用下对位于钻孔深部的锚固段产生一个向外的张拉力P，张拉力P通过锚索体与浆体的粘结作用，将其传递给锚固体，在浆体与锚索体界面，锚固体受到一组沿孔轴向分布的剪应力作用。这组剪应力通过浆体与孔壁的粘结作用，又将力传递给周围岩土体，在岩土体的牵制作用下，锚固体周边将受到一组沿孔轴向分布的剪应力τ的作用。通过分析可知，剪应力τ是在张拉力P的作用下通过锚固体的传递作用所产生的，它是张拉力P在锚固体中传递作用的结果。因此，可以考虑用弹性理论中集中力在半无限体中应力分布的分析方法，来研究锚固体周边剪应力分布的规律。考虑到岩土介质结构性状的复杂性给理论分析带来的诸多困难，为了便于分析且使分析结果能反应出锚固段剪应力分布的趋势规律，可将锚固段的受力状态作些简化。
预应力锚索锚固段的空间形状近似为圆柱体且关于钻孔中心线轴对称，另外，在锚固段端口平面处的岩土体，虽然一方面要受到上覆岩土体重力以及其它应力的影响，但这些影响只改变锚固体周边剪应力的大小，而不改变剪应力沿孔壁方向的总体分布趋势，也就是说，这些因素不会改变应力分布曲线的总体形状。在分析锚固体周边剪应力沿孔壁方向的分布规律时，可以忽略这些因素的影响。因此，可以将锚固体实力受力状态，简化为如图2所示的弹性半无限体上受集中力作用的情况，同时，假设半无限体为均质连续体各向同性完全弹性体，图中D表示锚固体（钻孔）的直径。
2 锚固段周边剪应力分布的弹性理论分析
根据上述建立的弹性理论空间模型，利用布西内斯克解，可得半空间体中任一点处的剪应力特性可以为：τ =3P2πx3（x2+y2+z2）5/2 （1）
式（1）中，考虑当（y2+z2）1/2=0.5D时（D为钻孔直径），则可得到锚固体与岩体界面上剪应力特性的表达式为：
τ=48Pπx3（D2+4x2）5/2 （2）
利用公式（2）可以研究预应力锚索锚固段上剪应力的分布特征为：
1）极值点：令τ的一阶导数等于0，则当x=64d=0.6124D时，得到τmax=1.116PπD2。
2）端点：当x=0时，则有τ0=0；当x=Lc时（Lc为锚固段长度），则有τLc=48PπL3c（D2+4L2c）5/2。
对于工程中常用的预应力锚索而言，由于Lc=20D～30D（甚至更长），则有τLc≤0.00374PπD2=0.00335τmax。
3）拐点：令τ的二阶导数等于0，可知当时x1=0.159D，有τ1=0.152PπD2=0.428τmax；当x2=0.642D时，τ2=0.276PπD2=0.777τmax。
从特征点的数值可以看出，在x=0.6124D处，锚固段剪应力取得最大值，所以，锚固段最大剪应力并不是出现在锚固段中点，而是出现在靠近锚固段前端的一侧。当0≤x≤Lc时，锚固段剪应力的分布为两端为零（或近似为零）、中间某处有最大值（峰值）的单峰曲线。在x=0.159D和在x=0.642D两处曲线出现拐点。
由图3表示，这与采用构造指数函数、双曲线函数、复合幂函数、正态分布函数来描述锚固段剪应力分布曲线的结果基本一致。
3 模型计算与现场试验结果比较
3.1 锚固段周邊剪应力分布状态的分析
为了分析锚固段周边剪应力沿孔轴向的分布形式，可以对式（2）中每个参数赋予具体的数值，求出各对应点上的剪应力，然后作图，就可以得出剪应力沿孔轴向上的应力分布曲线。这里假设锚索分别受到3种大小不同的张拉力P的作用，即P为400kN/m，600kN/m和800kN/m，锚孔直径D=180mm，从锚固段端口开始，沿孔轴向赋予x不同的值，分别求出不同位置上的τ值，然后作图，得到如图4所示的剪应力分布曲线图。
从图中可以看出，锚固段周边剪应力的分布是极不均匀的，在锚固段端口处，剪应力基本为0，从端口处向内，剪应力随深度增加而迅速增大，在深度达到x=0.6124D=11cm左右处，剪应力达到峰值。从峰值点往内，随深度增加，剪应力开始递减，直至递减为0。在整个内锚固段长度上，剪应力的分布是呈集中态势的。在锚固段前端1.0～1.5m内，剪应力的分布几乎占了整个分布的80%左右。随着预应力的增加，剪应力也随之增大，其分布区域也向孔底方向扩展。虽然预应力在增加，但剪应力峰值点的位置却几乎固定不变，都集中在距锚固段端口10cm的部位。
3.2 理论分析结果同现场试验结果的对比分析，图5为现场试验所得到的注浆体与孔壁之间的剪应力沿内锚固段的分布曲线。由图4，5可以看出，利用弹性理论所得到的剪应力分布曲线
同现场试验所得结果基本一致。所不同的是现场试验所得到的剪应力峰值，位于距锚固段端口20cm左右的部位，而理论分析的峰值点则出现在距锚固段端口x=0.6124D=11cm左右的位置。另外，理论分析的剪应力衰减距离较远，而试验结果剪应力则在2m左右处就衰减为0。二者分析结果的不同之处，主要是因为弹性理论分析时是假设岩土体与锚固体为均质连续各向同性完全弹性体，忽略了介质的非均质性和非线性的属性，没有考虑到介质中的节理裂隙等的影响作用。
4 结论
1）运用弹性理论空间模型，对预应力锚索锚固段剪应力沿长度方向的分布规律进行研究，得到内锚固段周边剪应力分布在锚固段的起点处的值并非最大而是为0；剪应力的峰值点出现在距锚固段端口处往内一定距离的部位，而不是端口位置。
2）同现场试验结果相比，尽管存在一定的误差，但是，弹性理论的分析结果是基本符合实际的。可以为设计和施工提供依据和参考。
3）对预应力锚索锚固段剪应力的分布分析，作为一种定性分析手段，弹性理论的分析方法行之有效，但是，弹性理论的假设和力学模型还比较粗糙，与实际还有较大出入，因此，仍需进一步完善。
参考文献
[1] 郑全民.拉力型土锚最优长度及最大极限承载力的确定[J]西部探矿工程，2000，（2）：27～28.
[2] 王见宇，牟瑞芳.按共同作用变形原理计算地锚工程中粘结型锚头内力[M].北京：人民交通出版社，1998.
[3] 顾金才，沈俊，陈安敏，等.预应力锚索内锚固段受力特点现场试验研究[J].岩石力学与工程学报，1998，17（增）：788～792.
[4] 程良奎.土层锚杆的几个力学问题[C]//岩土锚固工程技术：A集.北京：人民交通出版社，1996，1～6.
[5] 徐芝纶.弹性力学（第三版）[M].北京：人民教育出版社，2002.（责任编辑潘启新）.