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［教材：人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第二十四章第84~86页］
一、 教材分析
（一） 教材的地位和作用
本课的主要内容是“圆的定义”以及一些相关概念，在小学里对圆的形象认识的基础上，通过观察、抽象、概括得到的，它是学习圆的后继知识的基础．学好本节内容，对于今后的学习至关重要．同时，圆的集合定义的得出过程，对今后的数学学习也具有方法论的意义．
（二） 教学目标
1． 知识与技能：（1） 探索圆的两种定义，从运动变化的观点理解圆的集合定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；
（2） 培养学生观察、抽象、概括能力和语言表达能力以及思维的严密性．
2． 过程与方法：（1） 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系；
（2） 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
3． 情感、态度:（1） 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性；
（2） 注意渗透事物是相互联系的辩证唯物观点．
（三） 重点、难点
重点是圆的两种定义的探索，圆的集合定义；难点是圆的集合定义．
二、 教学方法
本课采用师生互动方法，以多媒体手段辅助教学，帮助学生在观察中思考、在思考中发现、在发现后初步应用．
三、 教学程序
结果的获得要依靠过程，过程支配着整个数学活动，是获得结果的向导．本课拟采用下列六步进行教学：
1． 铺垫
通过多媒体动画演示，得出从本节课开始所研究的主要问题是“圆”．揭示本节课课题“圆的定义”．
由于学生对圆这个图形并不陌生，早在小学高年级阶段就已经有“圆心”、“半径”等概念，知道“圆心到圆周上任意点的距离都相等”．这些知识是学习本节课的基础，也是新知识的生长点，因此，在引出圆的发生定义时，通过多媒体辅助教学，演示圆的形成过程，让学生自主发现“变”与“不变”的辩证关系，鼓励学生用自己的语言去叙述画圆的过程，最后获得圆的发生定义．教师要引导学生注意三个要点：① 圆是一个平面图形；② 圆是指圆周而不是圆面；③ 圆心定位置，半径定大小．为学习圆的集合定义作好铺垫．
这种设计有利于中小学知识的衔接，但衔接不是停滞，而是为了发展．
2． 联想
通过对八年级有关概念的描述，揭示其中所蕴含的集合思想，通过类比，引出本节的“主问题”——用集合的语言怎样给圆下定义？(见下表)
平分线线段的垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．(无杂点)和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． (无遗漏)
这种设计体现了学生认知结构是一个动态的扩展、生长过程，它离不开原有的基础．
3． 概括
在此基础上，引导学生观察、分析：圆上各点有何共同特征？满足这个条件的点都在圆上吗？得到“无杂点”、“无遗漏”的结论．启发同学们用自己的语言概括得出圆的集合定义．(续表)
(学生概括：)
圆是到定点的距离等于定长的点的集合．并适时给出圆的表示法．
这说明了概念的产生是学生在原有的基础上提炼、概括得到的．数学语言必须是确定的、严密的、简洁的．
4． 反例
对于“到定点的距离等于定长的点都在这个圆上．”即“无遗漏”，启发学生得到反例图1；
对于“圆上各点到定点的距离都等于定长．”即“无杂点”，给出反例图2；
反例的给出，进一步深化了对圆的集合定义的理解，揭示了圆的本质特征．但反例的出现不宜过早，它的任务是加深理解，而不是冲淡和干扰．
5． 讨论
图3讨论圆中相关元素的定义．
如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？
学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．
在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决，进而帮助学生得出定义，培养学生的语言表达能力．
弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；
直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC；
劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC．
6． 应用
为了进一步理解圆的定义，应用所学知识解决下列三个问题：
(1) 车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．
(2) 如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由．
教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．
(3) 圆内一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题1：圆外一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题2：平面一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题的设计有利于增强学生思维的灵活性，让思维情境的变换，引发学生的思维冲突，从而促进思维品质的优化．
上述过程较完整地体现了一个数学概念的萌芽、发展、完善、拓展的过程，所撷取的各个片段，对于数学概念的教学，具有典型与启发的意义．
课堂小结
(1) 由学生总结本课所研究的主要内容，勾画出本课的知识结构．
(2) 学生总结出本课所蕴含的运动变化观点、类比、抽象概括、集合等思想．
布置作业
为了让“不同的人在数学上得到不同的发展”，进一步深化对圆的定义及圆中相关元素的定义的理解，采用分层布置作业．
(1) 决定圆的大小的是圆的______,决定圆的位置的是圆的_____．
(2) 从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．
如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，
这棵红杉树平均每年半径增加 _____cm．
(3) 如图，点A、B、D、E都在⊙O上，点A、O、C；B、O、D；D、C、E分别在三条直线上，则图中的弦有条，
劣弧有_____条，优弧有________条，它们分别是________．
(4) 下列说法中：① 直径是弦；② 弦是直径；③ 半圆是弧；④ 弧不一定是半圆．
正确的命题有________个．
(5) (有兴趣的同学可以一试)求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
板书设计：
教案说明
怎样运用集合的语言给圆下定义，是本节的中心课题，也是教学的难点．为了突出这个中心，让难点不难，在教学过程中注意了以下几点：
1． 认知理论引路
教学中围绕圆的集合定义这个中心，在铺垫、联想、概括、反例、讨论、应用等环节中，始终贯穿着认知理论．圆的集合定义是严谨的，是用现代的数学语言给出的，但缺少动感．为此用发生定义作为它的铺垫（用线段的长在旋转中不变，为“圆上的点到定点的距离都等于定长”作铺垫，用线段旋转一周，为“到定点的距离等于定长的点都在圆上”作铺垫）从而把圆的发生定义与集合定义之间的联系揭示出来，体现了知识内部是有结构的观点．
为了让学生自己得出圆的集合定义，采用了联想“角的平分线”、“线段的垂直平分线”的有关定理，进而概括出它们集合定义的方法，既为学生的抽象概括作了准备，也让认知结构的生长建立在坚实的基础上，是学生的意义建构过程．
反例是本节课的特色，它直观形象，既有助于从正、反两方面深入理解定义，也让认知结构有明晰的边界．构造反例也是一种建构．
对于圆中相关元素的定义，我们采用自学、讨论的方式，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决，进而帮助学生得出定义，培养学生的语言表达能力．
2． 尊重学生主体
充分尊重学生的主体地位，让学生通过联想探求新知、通过概括表述新知、通过变化熟悉新知，而教师在教学过程中始终起到诱导、点拨、示范作用．构建“数学共同体”真诚、自由、和谐的交流环境，给学生动眼看的机会、动脑想的机会、动口说的机会．使学生能不受约束地将自己在活动中的所感、所思、所悟，伴随着具体的见解和认知模式显现出来，并在此基础上进行检讨、修正、批判和利用．
3． 倡导一题多变
“变题”是创设新的思维情境，培养学生思维灵活性的重要手段，在本节课设计中予以了适当的应用．使同学在变化中加深对所学知识的理解，提高学生的应变能力．
总之，用适当的教学理论来指导数学教学，不但使一节课脉络分明，理论基础更坚实，而且让教师懂得为什么要这样教，使学习教育理论成为自觉的行为．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 教材分析
（一） 教材的地位和作用
本课的主要内容是“圆的定义”以及一些相关概念，在小学里对圆的形象认识的基础上，通过观察、抽象、概括得到的，它是学习圆的后继知识的基础．学好本节内容，对于今后的学习至关重要．同时，圆的集合定义的得出过程，对今后的数学学习也具有方法论的意义．
（二） 教学目标
1． 知识与技能：（1） 探索圆的两种定义，从运动变化的观点理解圆的集合定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别；
（2） 培养学生观察、抽象、概括能力和语言表达能力以及思维的严密性．
2． 过程与方法：（1） 体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系；
（2） 培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
3． 情感、态度:（1） 在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性；
（2） 注意渗透事物是相互联系的辩证唯物观点．
（三） 重点、难点
重点是圆的两种定义的探索，圆的集合定义；难点是圆的集合定义．
二、 教学方法
本课采用师生互动方法，以多媒体手段辅助教学，帮助学生在观察中思考、在思考中发现、在发现后初步应用．
三、 教学程序
结果的获得要依靠过程，过程支配着整个数学活动，是获得结果的向导．本课拟采用下列六步进行教学：
1． 铺垫
通过多媒体动画演示，得出从本节课开始所研究的主要问题是“圆”．揭示本节课课题“圆的定义”．
由于学生对圆这个图形并不陌生，早在小学高年级阶段就已经有“圆心”、“半径”等概念，知道“圆心到圆周上任意点的距离都相等”．这些知识是学习本节课的基础，也是新知识的生长点，因此，在引出圆的发生定义时，通过多媒体辅助教学，演示圆的形成过程，让学生自主发现“变”与“不变”的辩证关系，鼓励学生用自己的语言去叙述画圆的过程，最后获得圆的发生定义．教师要引导学生注意三个要点：① 圆是一个平面图形；② 圆是指圆周而不是圆面；③ 圆心定位置，半径定大小．为学习圆的集合定义作好铺垫．
这种设计有利于中小学知识的衔接，但衔接不是停滞，而是为了发展．
2． 联想
通过对八年级有关概念的描述，揭示其中所蕴含的集合思想，通过类比，引出本节的“主问题”——用集合的语言怎样给圆下定义？(见下表)
平分线线段的垂直平分线是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．(无杂点)和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． (无遗漏)
这种设计体现了学生认知结构是一个动态的扩展、生长过程，它离不开原有的基础．
3． 概括
在此基础上，引导学生观察、分析：圆上各点有何共同特征？满足这个条件的点都在圆上吗？得到“无杂点”、“无遗漏”的结论．启发同学们用自己的语言概括得出圆的集合定义．(续表)
(学生概括：)
圆是到定点的距离等于定长的点的集合．并适时给出圆的表示法．
这说明了概念的产生是学生在原有的基础上提炼、概括得到的．数学语言必须是确定的、严密的、简洁的．
4． 反例
对于“到定点的距离等于定长的点都在这个圆上．”即“无遗漏”，启发学生得到反例图1；
对于“圆上各点到定点的距离都等于定长．”即“无杂点”，给出反例图2；
反例的给出，进一步深化了对圆的集合定义的理解，揭示了圆的本质特征．但反例的出现不宜过早，它的任务是加深理解，而不是冲淡和干扰．
5． 讨论
图3讨论圆中相关元素的定义．
如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？
学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．
在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决，进而帮助学生得出定义，培养学生的语言表达能力．
弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；
直径：经过圆心的弦叫作直径；
弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”；
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．
优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的ABC；
劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的BC．
6． 应用
为了进一步理解圆的定义，应用所学知识解决下列三个问题：
(1) 车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．
(2) 如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由．
教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．
(3) 圆内一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题1：圆外一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题2：平面一点到圆的最小距离是3cm,最大距离是7cm,求该圆的半径．
变题的设计有利于增强学生思维的灵活性，让思维情境的变换，引发学生的思维冲突，从而促进思维品质的优化．
上述过程较完整地体现了一个数学概念的萌芽、发展、完善、拓展的过程，所撷取的各个片段，对于数学概念的教学，具有典型与启发的意义．
课堂小结
(1) 由学生总结本课所研究的主要内容，勾画出本课的知识结构．
(2) 学生总结出本课所蕴含的运动变化观点、类比、抽象概括、集合等思想．
布置作业
为了让“不同的人在数学上得到不同的发展”，进一步深化对圆的定义及圆中相关元素的定义的理解，采用分层布置作业．
(1) 决定圆的大小的是圆的______,决定圆的位置的是圆的_____．
(2) 从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．
如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，
这棵红杉树平均每年半径增加 _____cm．
(3) 如图，点A、B、D、E都在⊙O上，点A、O、C；B、O、D；D、C、E分别在三条直线上，则图中的弦有条，
劣弧有_____条，优弧有________条，它们分别是________．
(4) 下列说法中：① 直径是弦；② 弦是直径；③ 半圆是弧；④ 弧不一定是半圆．
正确的命题有________个．
(5) (有兴趣的同学可以一试)求证：矩形的四个顶点在以对角线交点为圆心的同一个圆上．
板书设计：
教案说明
怎样运用集合的语言给圆下定义，是本节的中心课题，也是教学的难点．为了突出这个中心，让难点不难，在教学过程中注意了以下几点：
1． 认知理论引路
教学中围绕圆的集合定义这个中心，在铺垫、联想、概括、反例、讨论、应用等环节中，始终贯穿着认知理论．圆的集合定义是严谨的，是用现代的数学语言给出的，但缺少动感．为此用发生定义作为它的铺垫（用线段的长在旋转中不变，为“圆上的点到定点的距离都等于定长”作铺垫，用线段旋转一周，为“到定点的距离等于定长的点都在圆上”作铺垫）从而把圆的发生定义与集合定义之间的联系揭示出来，体现了知识内部是有结构的观点．
为了让学生自己得出圆的集合定义，采用了联想“角的平分线”、“线段的垂直平分线”的有关定理，进而概括出它们集合定义的方法，既为学生的抽象概括作了准备，也让认知结构的生长建立在坚实的基础上，是学生的意义建构过程．
反例是本节课的特色，它直观形象，既有助于从正、反两方面深入理解定义，也让认知结构有明晰的边界．构造反例也是一种建构．
对于圆中相关元素的定义，我们采用自学、讨论的方式，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决，进而帮助学生得出定义，培养学生的语言表达能力．
2． 尊重学生主体
充分尊重学生的主体地位，让学生通过联想探求新知、通过概括表述新知、通过变化熟悉新知，而教师在教学过程中始终起到诱导、点拨、示范作用．构建“数学共同体”真诚、自由、和谐的交流环境，给学生动眼看的机会、动脑想的机会、动口说的机会．使学生能不受约束地将自己在活动中的所感、所思、所悟，伴随着具体的见解和认知模式显现出来，并在此基础上进行检讨、修正、批判和利用．
3． 倡导一题多变
“变题”是创设新的思维情境，培养学生思维灵活性的重要手段，在本节课设计中予以了适当的应用．使同学在变化中加深对所学知识的理解，提高学生的应变能力．
总之，用适当的教学理论来指导数学教学，不但使一节课脉络分明，理论基础更坚实，而且让教师懂得为什么要这样教，使学习教育理论成为自觉的行为．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文