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摘要： 考虑中继广播信道（RBC）中，发射机在中继的帮助下，与两个接收机通信.根据中继和接收机输出之间的退化顺序，定义了3种退化型中继广播信道（PDRBC）模型，并确定了高斯PDRBC的信道容量.
关键词：
中继广播信道； 退化型信道； 信道容量
中图分类号： TN 929.5文献标志码： A文章编号： 10005137（2018）02023007
Research on capacity region of Gaussian degraded
relay broadcast channel
Ma Yingying， Wang Ke， Wu Youlong*
（School of Information and technology，Shanghai Tech University，Shanghai 201210，China）
Abstract：
Considering the relay broadcast channel （RBC），the transmitter communicates with two receivers with the assistance of a relay.Based on degradation orders among the relay and the receiver outputs，three types of physically degraded RBCs （PDRBCs） model are introduced and the Gaussian PDRBC channel capacity is determined.
Key words：
relay broadcast channel； degraded channel； channel capacity
中繼信道[1]包含了3个节点通信的信道，其中发射机在中继的帮助下与接收机进行通信.Cover等[2]研究了中继信道的容量，并且提出了两种基本的中继策略：压缩转发和解码转发.当中继的输出是接收机输出的退化形式时，中继发送一个常量符号使信道达到饱和；当接收机的输出是中继输出的退化形式时，解码转发策略使信道达到饱和.但研究人员还未确定中继信道确切的饱和容量.
在中继信道中，如果中继节点也对发送机发送的信息进行解码，则该信道变成部分合作中继广播信道（RBC）[3-4].退化型的部分合作RBC建立了容量区域[4]，发送机向接收机发送相同的信息，向中继发送一个私人信息.完全合作RBC 是中的两个接收机也可以作为中继.已有研究人员对带有反馈的部分合作RBC和完全合作RBC进行了相关研究[3，5].
专用RBC模型[6-7]的中继节点参与双接收机广播信道的协作.即使在物理退化的信道下，专用RBC的信道容量也是未知的.专用高斯RBC的信道容量[8]中的一个接收机的输出是另一个接收机输出的退化形式时，较强的接收机的输出是中继的输出的退化形式.
本文作者考虑了一个4节点的专用物理退化型中继广播信道（PDRBC）模型，求得该模型信道容量的内边界和外边界，建立高斯PDRBC的信道容量.
1系统模型
考虑一个4个节点的离散无记忆中继广播信道（DMRBC），其包括1个发送机、2个接收机和1个中继，如图1所示.这个信道包含5个有限字母表（X，X3，Y1，Y2，Y3）和概率质量函数的集合p（y1，y2，y3|x，x3），其中x∈X，是发送机的输入；x3∈X3是中继的输入；y3∈Y3，是中继的输出；yk∈Yk，是第k个接收机的输出，k∈{1，2}.
发射机要通过中继发送信息Mk∈[1∶2nRk]到第k个接收机，n表示传输的块长度，Rk表示第k个接收机的传输速率.信道中一个（2nR1，2nR2，n）节点包含以下性质：1） 两个信息块M1=[1∶2nR1]和M2=[1∶2nR2]；2） 源编码器将（M1，M2）映射到信道输入Xi（M1，M2），其中，i∈[1∶n]；3） 中继编码器将Yi-13映射到序列X3，i（Yi-13），其中i∈[1∶n]；4） 两个解码器分别根据Yn1和Yn2估计M^1和M^2.
假设对于信息集Mk进行统一分发.如果存在一个（2nR1，2nR2，n）码使得错误的平均概率为：
当n趋近于无穷时，概率趋近于0.信道容量C是所有可达的（R1，R2）的闭集.
用CPD表示PDRBC的信道容量.不失一般性，假设Y2是Y1的随机退化.提出一种离散无记忆PDRBC，根据Y1，Y2，Y3的退化顺序，提出3种DMPDRBC模型：
① I型 PDRBC：X-X3Y3-Y1-Y2构成马尔可夫链.
② II型 PDRBC：X-X2Y1-Y3-Y2构成马尔可夫链.
③ III型 PDRBC：X-X3Y1-Y2-Y3构成马尔可夫链.
考虑高斯PDRBC，Yi可以表示为：
其中，Z1，Z2，Z3是均值为0，方差分别为σ21，σ22，σ23的高斯噪声信号.假设发射机平均发射功率限制为P，中继平均发射功率限制为Pr.
与离散无记忆信道相似，也可以根据接收机和中继输出的退化顺序提出3种高斯PDRBC模型：
1） I型高斯PDRBC：X-X3Y3-Y1-Y2构成马尔可夫链，等价于：
其中，Z^a～N（0，σ21-σ23），Z～a～N（0，σ22-σ21），且相互独立.
2） II型高斯PDRBC：X-X3Y1-Y3-Y2构成马尔可夫链，等价于：
反向证明完毕. 3.3III型高斯PDRBC的信道容量
3.3.1可行性证明
在第三种类型的高斯PDRBC中，不考虑中继的作用，仅仅通过传统的叠加码来证明信道容量的可达性.令
X=U+V，
其中U～N（0，α—P）， V～N（0，αP），并且它们之间相互独立.因此，不难得到公式（2）中的结论.
3.3.2逆定理证明
考虑
4总结
根据中继和接收机信号的不同退化顺序，提出了3种退化型中继广播信道模型，并确定了高斯退化中继广播信道的信道容量.
参考文献：
[1]Van Der Meulen E C.Threeterminal communication channels [J].Advances in Applied Probability，1971，3（1）：120-154.
[2]Cover T，Gamal A E.Capacity theorems for the relay channel [J].IEEE Transactions on Information Theory，1979，25（5）：572-584.
[3]Liang Y B，Veeravalli V V.Cooperative relay broadcast channels [J].IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（3）：900-928.
[4]Liang Y B，Kramer G.Rate regions for relay broadcast channels [J].IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（10）：3517-3535.
[5]Wu Y L.Achievable rate regions for cooperative relay broadcast channels with ratelimited feedback [C].Proceedings of 2016 IEEE International Symposium on Information Theory，Barcelona：IEEE，2016.
[6]Dabora R，Servetto S D.Broadcast channels with cooperating decoders [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（12）：5438-5454.
[7]Kramer G，Gastpar M，Gupta P.Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks [J].IEEE Transactions on Information Theory，2005，51（9）：3037-3063.
[8]Bhaskaran S R.Gaussian degraded relay broadcast channel [J].IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（8）：3699-3709.
[9]El Gamal A，Kim Y H.Network information theory [M].Cambridge：Cambridge University Press，2011.
[10]Wang K，Wu Y L，Ma Y Y.Capacity region of degraded relay broadcast channel [R].arXiv：1801.00992，2018.
（責任编辑：包震宇）
关键词：
中继广播信道； 退化型信道； 信道容量
中图分类号： TN 929.5文献标志码： A文章编号： 10005137（2018）02023007
Research on capacity region of Gaussian degraded
relay broadcast channel
Ma Yingying， Wang Ke， Wu Youlong*
（School of Information and technology，Shanghai Tech University，Shanghai 201210，China）
Abstract：
Considering the relay broadcast channel （RBC），the transmitter communicates with two receivers with the assistance of a relay.Based on degradation orders among the relay and the receiver outputs，three types of physically degraded RBCs （PDRBCs） model are introduced and the Gaussian PDRBC channel capacity is determined.
Key words：
relay broadcast channel； degraded channel； channel capacity
中繼信道[1]包含了3个节点通信的信道，其中发射机在中继的帮助下与接收机进行通信.Cover等[2]研究了中继信道的容量，并且提出了两种基本的中继策略：压缩转发和解码转发.当中继的输出是接收机输出的退化形式时，中继发送一个常量符号使信道达到饱和；当接收机的输出是中继输出的退化形式时，解码转发策略使信道达到饱和.但研究人员还未确定中继信道确切的饱和容量.
在中继信道中，如果中继节点也对发送机发送的信息进行解码，则该信道变成部分合作中继广播信道（RBC）[3-4].退化型的部分合作RBC建立了容量区域[4]，发送机向接收机发送相同的信息，向中继发送一个私人信息.完全合作RBC 是中的两个接收机也可以作为中继.已有研究人员对带有反馈的部分合作RBC和完全合作RBC进行了相关研究[3，5].
专用RBC模型[6-7]的中继节点参与双接收机广播信道的协作.即使在物理退化的信道下，专用RBC的信道容量也是未知的.专用高斯RBC的信道容量[8]中的一个接收机的输出是另一个接收机输出的退化形式时，较强的接收机的输出是中继的输出的退化形式.
本文作者考虑了一个4节点的专用物理退化型中继广播信道（PDRBC）模型，求得该模型信道容量的内边界和外边界，建立高斯PDRBC的信道容量.
1系统模型
考虑一个4个节点的离散无记忆中继广播信道（DMRBC），其包括1个发送机、2个接收机和1个中继，如图1所示.这个信道包含5个有限字母表（X，X3，Y1，Y2，Y3）和概率质量函数的集合p（y1，y2，y3|x，x3），其中x∈X，是发送机的输入；x3∈X3是中继的输入；y3∈Y3，是中继的输出；yk∈Yk，是第k个接收机的输出，k∈{1，2}.
发射机要通过中继发送信息Mk∈[1∶2nRk]到第k个接收机，n表示传输的块长度，Rk表示第k个接收机的传输速率.信道中一个（2nR1，2nR2，n）节点包含以下性质：1） 两个信息块M1=[1∶2nR1]和M2=[1∶2nR2]；2） 源编码器将（M1，M2）映射到信道输入Xi（M1，M2），其中，i∈[1∶n]；3） 中继编码器将Yi-13映射到序列X3，i（Yi-13），其中i∈[1∶n]；4） 两个解码器分别根据Yn1和Yn2估计M^1和M^2.
假设对于信息集Mk进行统一分发.如果存在一个（2nR1，2nR2，n）码使得错误的平均概率为：
当n趋近于无穷时，概率趋近于0.信道容量C是所有可达的（R1，R2）的闭集.
用CPD表示PDRBC的信道容量.不失一般性，假设Y2是Y1的随机退化.提出一种离散无记忆PDRBC，根据Y1，Y2，Y3的退化顺序，提出3种DMPDRBC模型：
① I型 PDRBC：X-X3Y3-Y1-Y2构成马尔可夫链.
② II型 PDRBC：X-X2Y1-Y3-Y2构成马尔可夫链.
③ III型 PDRBC：X-X3Y1-Y2-Y3构成马尔可夫链.
考虑高斯PDRBC，Yi可以表示为：
其中，Z1，Z2，Z3是均值为0，方差分别为σ21，σ22，σ23的高斯噪声信号.假设发射机平均发射功率限制为P，中继平均发射功率限制为Pr.
与离散无记忆信道相似，也可以根据接收机和中继输出的退化顺序提出3种高斯PDRBC模型：
1） I型高斯PDRBC：X-X3Y3-Y1-Y2构成马尔可夫链，等价于：
其中，Z^a～N（0，σ21-σ23），Z～a～N（0，σ22-σ21），且相互独立.
2） II型高斯PDRBC：X-X3Y1-Y3-Y2构成马尔可夫链，等价于：
反向证明完毕. 3.3III型高斯PDRBC的信道容量
3.3.1可行性证明
在第三种类型的高斯PDRBC中，不考虑中继的作用，仅仅通过传统的叠加码来证明信道容量的可达性.令
X=U+V，
其中U～N（0，α—P）， V～N（0，αP），并且它们之间相互独立.因此，不难得到公式（2）中的结论.
3.3.2逆定理证明
考虑
4总结
根据中继和接收机信号的不同退化顺序，提出了3种退化型中继广播信道模型，并确定了高斯退化中继广播信道的信道容量.
参考文献：
[1]Van Der Meulen E C.Threeterminal communication channels [J].Advances in Applied Probability，1971，3（1）：120-154.
[2]Cover T，Gamal A E.Capacity theorems for the relay channel [J].IEEE Transactions on Information Theory，1979，25（5）：572-584.
[3]Liang Y B，Veeravalli V V.Cooperative relay broadcast channels [J].IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（3）：900-928.
[4]Liang Y B，Kramer G.Rate regions for relay broadcast channels [J].IEEE Transactions on Information Theory，2007，53（10）：3517-3535.
[5]Wu Y L.Achievable rate regions for cooperative relay broadcast channels with ratelimited feedback [C].Proceedings of 2016 IEEE International Symposium on Information Theory，Barcelona：IEEE，2016.
[6]Dabora R，Servetto S D.Broadcast channels with cooperating decoders [J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（12）：5438-5454.
[7]Kramer G，Gastpar M，Gupta P.Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks [J].IEEE Transactions on Information Theory，2005，51（9）：3037-3063.
[8]Bhaskaran S R.Gaussian degraded relay broadcast channel [J].IEEE Transactions on Information Theory，2008，54（8）：3699-3709.
[9]El Gamal A，Kim Y H.Network information theory [M].Cambridge：Cambridge University Press，2011.
[10]Wang K，Wu Y L，Ma Y Y.Capacity region of degraded relay broadcast channel [R].arXiv：1801.00992，2018.
（責任编辑：包震宇）