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【摘要】 本文通过对一道选择题的推广研究,给出了该类问题的一般解法,并揭示了m·OA n·OB p·OC = 0 与S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 问题的等价性实质.
【关键词】 向量重心面积比
问题:设点O在△ABC的内部,且有OA 2OB 3OC = 0 ,则△ABC的面积与△AOC
的面积比为( ).
A.2 B. 3 2 C.3 D. 5 3
图 1 解 选C.
参考书给出的答案:如图1,设M,N分别为AC,BC的中点,则
OA OC =2OM ,2(OB OC )=4ON .
从而OA 2OB 3OC =2(OM 2ON )= 0 .
即:OM 与ON 共线,且 OM =2 ON .
所以: S△ANC SAOC = 3 2 ,于是 S△ABC SAOC = 3·2 2 =3.
图 2 换个角度思考:如图2,延长OB至E,使OE=2OB,延长OC至F,使OF=3OC.
则OA OE OF = 0 .
从而得知点O为△AEF的重心,
S△AOC= 1 3 S△AOF= 1 9 S△AEF.
S△AOB= 1 2 S△AOE= 1 6 S△AEF.
S△BOC= 1 6 SΔEOF= 1 18 S△AEF.
所以:S△ABC= 1 3 S△AEF,
故S△ABC=3S△AOC.
且S△BOC:S△COA:S△AOB=1∶ 2∶ 3.
试题推广:设O在△ABC的内部,且有
m·OA n·OB p·OC = 0 (m,n,p∈ R )则:△ABC的面积与△AOB,△BOC,△AOC的面积比分别为: m n p p , m n p m , m n p n .
图 3 事实上,如图3,延长OA至D,使OD=m·OA,延长OB至E,使OE=n·OB,
延长OC至F,使OF=p·OC,
则OD OE OF = 0 ,从而点O为△DEF的重心,
显然,S△AOB= 1 mn S△DOE= 1 3mn S△DEF.
S△BOC= 1 np SΔEOF= 1 3np S△DEF.
S△AOC= 1 mp S△DOF= 1 3mp S△DEF.
所以S△ABC= m n p 3mnp S△DEF.
故S△ABC= m n p p S△AOB.
S△ABC= m n p m S△BOC.
S△ABC= m n p n S△AOC.
且S△BOC∶ S△COA∶ S△AOB=m∶ n∶ p.
进一步思考:如图4所示,设点O是△ABC内的一点,则:
S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
图 4 证明:OA = AO AD ·AD = AO AD · DC BC ·AB AO AD · BD BC ·AC
= S△COA S△ACD · S△ACD S△ABC ·AB S△AOB S△ABD · S△ABD S△ABC ·AC = S△COA S△ABC ·AB S△AOB S△ABC ·AC
= S△COA S△ABC ·(OB -OA ) S△AOB S△ABC ·(OC -OA ).
S△ABC·AO =S△COA·(OB -OA ) S△AOB(OC -OA ).所以S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
若设S△BOC=λ·mS△COA=λ·n.
S△AOB=λ·p(λ≠0且λ>0).
则有:m·OA n·OB p·OC = 0 .
结束语
综上所述,三角函数的学习是数学教程中的一个关键部分,其包含的变化规律,具有很强的适应性.本文通过逻辑思维推理,对一道选择题的解题思路进行分析,以展现三角函数解题的奥妙.通过上述分析可知,三角函数的解题思路是环环相扣,并且只要寻找到解题的奥妙,就很容易感受到函数学习的趣味性.然而数学三角函数解题思路千变万化,要想真正掌握每一道选择题的解答方法,就需要发现定律,不断拓展自己的逻辑思维和空间想象力.只有这样才能真正的学好数学知识.
【参考文献】
[1]漆常秋.三角形重心问题向量法探究[J].新高考(高二数学).2013(1).
[2]林新军.三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用[J].中学数学教学.2007(3).
[3]徐加生.与三角形“四心”有关的向量问题[J].中学生数理化(高考版).2009(11).
【关键词】 向量重心面积比
问题:设点O在△ABC的内部,且有OA 2OB 3OC = 0 ,则△ABC的面积与△AOC
的面积比为( ).
A.2 B. 3 2 C.3 D. 5 3
图 1 解 选C.
参考书给出的答案:如图1,设M,N分别为AC,BC的中点,则
OA OC =2OM ,2(OB OC )=4ON .
从而OA 2OB 3OC =2(OM 2ON )= 0 .
即:OM 与ON 共线,且 OM =2 ON .
所以: S△ANC SAOC = 3 2 ,于是 S△ABC SAOC = 3·2 2 =3.
图 2 换个角度思考:如图2,延长OB至E,使OE=2OB,延长OC至F,使OF=3OC.
则OA OE OF = 0 .
从而得知点O为△AEF的重心,
S△AOC= 1 3 S△AOF= 1 9 S△AEF.
S△AOB= 1 2 S△AOE= 1 6 S△AEF.
S△BOC= 1 6 SΔEOF= 1 18 S△AEF.
所以:S△ABC= 1 3 S△AEF,
故S△ABC=3S△AOC.
且S△BOC:S△COA:S△AOB=1∶ 2∶ 3.
试题推广:设O在△ABC的内部,且有
m·OA n·OB p·OC = 0 (m,n,p∈ R )则:△ABC的面积与△AOB,△BOC,△AOC的面积比分别为: m n p p , m n p m , m n p n .
图 3 事实上,如图3,延长OA至D,使OD=m·OA,延长OB至E,使OE=n·OB,
延长OC至F,使OF=p·OC,
则OD OE OF = 0 ,从而点O为△DEF的重心,
显然,S△AOB= 1 mn S△DOE= 1 3mn S△DEF.
S△BOC= 1 np SΔEOF= 1 3np S△DEF.
S△AOC= 1 mp S△DOF= 1 3mp S△DEF.
所以S△ABC= m n p 3mnp S△DEF.
故S△ABC= m n p p S△AOB.
S△ABC= m n p m S△BOC.
S△ABC= m n p n S△AOC.
且S△BOC∶ S△COA∶ S△AOB=m∶ n∶ p.
进一步思考:如图4所示,设点O是△ABC内的一点,则:
S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
图 4 证明:OA = AO AD ·AD = AO AD · DC BC ·AB AO AD · BD BC ·AC
= S△COA S△ACD · S△ACD S△ABC ·AB S△AOB S△ABD · S△ABD S△ABC ·AC = S△COA S△ABC ·AB S△AOB S△ABC ·AC
= S△COA S△ABC ·(OB -OA ) S△AOB S△ABC ·(OC -OA ).
S△ABC·AO =S△COA·(OB -OA ) S△AOB(OC -OA ).所以S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
若设S△BOC=λ·mS△COA=λ·n.
S△AOB=λ·p(λ≠0且λ>0).
则有:m·OA n·OB p·OC = 0 .
结束语
综上所述,三角函数的学习是数学教程中的一个关键部分,其包含的变化规律,具有很强的适应性.本文通过逻辑思维推理,对一道选择题的解题思路进行分析,以展现三角函数解题的奥妙.通过上述分析可知,三角函数的解题思路是环环相扣,并且只要寻找到解题的奥妙,就很容易感受到函数学习的趣味性.然而数学三角函数解题思路千变万化,要想真正掌握每一道选择题的解答方法,就需要发现定律,不断拓展自己的逻辑思维和空间想象力.只有这样才能真正的学好数学知识.
【参考文献】
[1]漆常秋.三角形重心问题向量法探究[J].新高考(高二数学).2013(1).
[2]林新军.三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用[J].中学数学教学.2007(3).
[3]徐加生.与三角形“四心”有关的向量问题[J].中学生数理化(高考版).2009(11).