【摘要】 本文通过对一道选择题的推广研究，给出了该类问题的一般解法，并揭示了m·OA n·OB p·OC = 0 与S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 问题的等价性实质.
　　【关键词】 向量重心面积比
　　问题：设点O在△ABC的内部，且有OA 2OB 3OC = 0 ，则△ABC的面积与△AOC
　　的面积比为（ ）.
　　A.2 B. 3 2 C.3 D. 5 3
　　图 1 解 选C.
　　参考书给出的答案：如图1，设M，N分别为AC，BC的中点，则
　　OA OC =2OM ，2（OB OC ）=4ON .
　　从而OA 2OB 3OC =2（OM 2ON ）= 0 .
　　即：OM 与ON 共线，且 OM =2 ON .
　　所以： S△ANC SAOC = 3 2 ，于是 S△ABC SAOC = 3·2 2 =3.
　　图 2 换个角度思考：如图2，延长OB至E，使OE=2OB，延长OC至F，使OF=3OC.
　　则OA OE OF = 0 .
　　从而得知点O为△AEF的重心，
　　S△AOC= 1 3 S△AOF= 1 9 S△AEF.
　　S△AOB= 1 2 S△AOE= 1 6 S△AEF.
　　S△BOC= 1 6 SΔEOF= 1 18 S△AEF.
　　所以：S△ABC= 1 3 S△AEF，
　　故S△ABC=3S△AOC.
　　且S△BOC：S△COA：S△AOB=1∶ 2∶ 3.
　　试题推广：设O在△ABC的内部，且有
　　m·OA n·OB p·OC = 0 （m，n，p∈ R ）则：△ABC的面积与△AOB，△BOC，△AOC的面积比分别为： m n p p ， m n p m ， m n p n .
　　图 3 事实上，如图3，延长OA至D，使OD=m·OA，延长OB至E，使OE=n·OB，
　　延长OC至F，使OF=p·OC，
　　则OD OE OF = 0 ，从而点O为△DEF的重心，
　　显然，S△AOB= 1 mn S△DOE= 1 3mn S△DEF.
　　S△BOC= 1 np SΔEOF= 1 3np S△DEF.
　　S△AOC= 1 mp S△DOF= 1 3mp S△DEF.
　　所以S△ABC= m n p 3mnp S△DEF.
　　故S△ABC= m n p p S△AOB.
　　S△ABC= m n p m S△BOC.
　　S△ABC= m n p n S△AOC.
　　且S△BOC∶ S△COA∶ S△AOB=m∶ n∶ p.
　　进一步思考：如图4所示，设点O是△ABC内的一点，则：
　　S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
　　图 4 证明：OA = AO AD ·AD = AO AD · DC BC ·AB AO AD · BD BC ·AC
　　= S△COA S△ACD · S△ACD S△ABC ·AB S△AOB S△ABD · S△ABD S△ABC ·AC = S△COA S△ABC ·AB S△AOB S△ABC ·AC
　　= S△COA S△ABC ·（OB -OA ） S△AOB S△ABC ·（OC -OA ）.
　　S△ABC·AO =S△COA·（OB -OA ） S△AOB（OC -OA ）.所以S△BOC·OA S△COA·OB S△AOB·OC = 0 .
　　若设S△BOC=λ·mS△COA=λ·n.
　　S△AOB=λ·p（λ≠0且λ>0）.
　　则有：m·OA n·OB p·OC = 0 .
　　结束语
　　综上所述，三角函数的学习是数学教程中的一个关键部分，其包含的变化规律，具有很强的适应性.本文通过逻辑思维推理，对一道选择题的解题思路进行分析，以展现三角函数解题的奥妙.通过上述分析可知，三角函数的解题思路是环环相扣，并且只要寻找到解题的奥妙，就很容易感受到函数学习的趣味性.然而数学三角函数解题思路千变万化，要想真正掌握每一道选择题的解答方法，就需要发现定律，不断拓展自己的逻辑思维和空间想象力.只有这样才能真正的学好数学知识.
　　【参考文献】
　　[1]漆常秋.三角形重心问题向量法探究[J].新高考（高二数学）.2013（1）.
　　[2]林新军.三角形重心的向量形式及推论的巧妙应用[J].中学数学教学.2007（3）.
　　[3]徐加生.与三角形“四心”有关的向量问题[J].中学生数理化（高考版）.2009（11）.