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课本是中学数学教学的依据,是高考命题的源泉,而例(习)题是教材的重要组成部分,这些例(习)题是编者从茫茫题海中经过反复筛选、精心选择出来的,是学生掌握双基的重要来源,也是教师传授知识的纽带,它蕴含着丰富的教学功能,处理好例(习)题的教学,对教学质量大面积的提高、学生智力的发展、解题能力的培养都是至关重要的.
1 引申拓广,培养解题的发散性
教学中,若对一些典型的例、习题进行变式处理,如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等,即可以在一题多解过程中,使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸,培养学生的发散性思维.
例1 1数学必修(4)P122第3题证明:对任意a,b,c,d∈R,
恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2)(1)
先让学生推证,发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问:能否有更新颖的证法呢?引导学生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的结构特征,因此可考虑用构造法证明.
证法1 (向量法)
构造向量u=(a,b),v=(c,d),u•v=|u||v|cosθ(其中θ为向量u与 v夹角)则ac+bd=a2+b2•c2+d2cosθ,(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2)
证法2 (构造三角形)利用“三角形的两边之和大于第三边”(上图中OBCA为平行四边形)由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|,不等式(1)迅速得证.
由解法一不少学生都能发现a与b,c与d可交换位置.
[变1]求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc) 2(2)
[变2](1)式两边开方可否?求证:a2+b2c2+d2≥|ac+bd|(3)
[变3](3)式右边去掉绝对值可否?求证:a2+b2c2+d2≥ac+bd(4)
对于(1)式能否有更深刻的变化呢?将不等式(1)字母分别排序,得
(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2(5)
通过分析知道,可以按字母增加的方向演变.
[变4]设a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R,
求证:(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2(6)
此时,利用学生的连续思维所产生的思维惯性,教师因势利导,把问题推广.
设ai,bi∈R(i=1,2……n),则
(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
(当且仅当ai=kbi时,取“=”号)
这是一个重要的定理,叫柯西不等式.不等式(5)、(6)即柯西不等式当n=2和 n=3时的特例.如此层层推进,使结论更加完美,更具有普遍性.
上述对原题从不同角度进行演变和多解,这样从一题多变到一题多解,使知识横向联系,纵向深入,拓宽了学生的思路,培养了学生解题的发散性.
2. 融会贯通,培养解题的灵活性
数学中有很多知识是相互联系的,现行新教材特别注意用联系的观点处理问题,课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此,在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律,引导学生串通教材,做到融会贯通,开阔学生的视野,增强学生思维的灵活性.如研究空间面面关系,线面关系,线线关系时经常要用到转化思想方法来解题,通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题,而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.
例2 数学必修(2)P72例3,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明:PA⊥平面ABC
BC平面ABCPA⊥BC
AC⊥BC
BC⊥平面PAC
BC平面PBC
面PAC⊥平面PBC
这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子,这样解剖一例串通一片,揭示了问题的本质,勾通了内在联系,使学生学过的知识结构化,系统化,学生的思维灵活性得到有效激活.
3. 标新立异,培养解题的创造性
例、习题教学中,在学生掌握基本方法的同时,应有意识地创设新活的思维情境,激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚,引导学生多角度、全方位地思考问题,鼓励学生标新立异、探究新解,达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.
例3 数学必修(4)P111例7,已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)试判断A、B、C三点之间的位置关系.
这是一道基本题,但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系,寻求不同解法,如一些学生仅想到一些常规解法:
(1) 证明|AB|+|BC|=|AC|;(2) 证明点B在直线AC上;(3) 证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同学,联想宽广深刻,不但有上述解法,还得到了如下的非常规解法;(4) 证明点C到直线AB的距离为0;(5) 证明△ABC的面积等于零;(6) 证明点B是有向线段AC的一个定比分点,显然后者的解法较之于前者,更难想到,更独到,因而更具有创新性,有利于培养解题的广泛性、创造性
4. 联想转化,培养解题的广阔性
数学是一个具有内在联系的有机整体,不同分支,不同部分都是相互联系、相互渗透的,解题方法、解题思路更是如此,因而,在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法,以提高学生分析问题、解决问题的能力,促进知识的正向迁移,培养解题的广阔性.
例4 高中数学必修第二册(上)29页例1已知a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
分析1 用比较法.本题只要证1-(ax+by)≥0.为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决.
证法1 ∵1-(ax+by)=12(1+1)-(ax+by)=12(a2+b2+x2+y2)-(ax+by)
=12[(a2-2ax+x2)+(b2-2by+y2)]
=12[(a-x)2+(b-y)2]≥0,
∴ax+by≤1.
分析2 运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论.从而证明原结论正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此,证明过程必须步步可逆,并注意书写规范.
证法2 要证ax+by≤1.只需证1-(ax+by)≥0,
即2-2(ax+by)≥0,
因为a2+b2=1,x2+y2=1.所以只需证(a2+b2+x2+y2)-2(ax+by)≥0,
即(a-x)2+(b-y)2≥0.
因为最后的不等式成立,且步步可逆.所以原不等式成立.
分析3 运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理(主要是平均值不等式)进行推理、运算,从而达到证明需求证的不等式成立的方法)
证法3 ∵ax≤a2+x22,by≤b2+y22.∴ax+by≤a2+x22+b2+y22=1.
即ax+by≤1.
分析4 三角换元法:由于已知条件为两数平方和等于1的形式,符合三角函数同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代换的可能,从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系,给证明带来方便.
证法4 ∵a2+b2=1,x2+y2=1,
∴可设a=sinα,b=cosα.x=sinβ,y=cosβ
∴ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1,
分析5 数形结合法:由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心,半径为1的单位圆,而ax+by=ax+bya2+b2.联系到点到直线距离公式,可得下面证法.
证法5 如图,因为直线l:ax+by=0经过圆x2+y2=1的圆心O,所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1,
即d=|ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1.
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应该掌握的重要方法.除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外,前三种证法都是好方法.可在具体应用过程中,根据题目的变化的需要适当进行选择.
5 结束语
综上所述,课本是教学之本,深挖教材的潜力,充分发挥教材的自身作用,处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本,对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用,由点到面,由题及类,解剖一例,带活一串,注意数学思想方法的渗透,这样教学,深化了基础知识,培养了思维品质,发展了思维能力,这正是我们所要追求的目标.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008
[2]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准(实验)教科书.数学15(必修A版)[M].北京:人民教育出版社,2004
1 引申拓广,培养解题的发散性
教学中,若对一些典型的例、习题进行变式处理,如改变原题的条件、结论、方法或逆向思维、反例分析等,即可以在一题多解过程中,使得学生在知识及方法的纵横方向分别得以拓广和延伸,培养学生的发散性思维.
例1 1数学必修(4)P122第3题证明:对任意a,b,c,d∈R,
恒有不等式(ac+bd)2≤(a2+b2) (c2+d2)(1)
先让学生推证,发现他们用比较法、综合法、反证法、放缩法都可以得到证明.此时进一步追问:能否有更新颖的证法呢?引导学生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的结构特征,因此可考虑用构造法证明.
证法1 (向量法)
构造向量u=(a,b),v=(c,d),u•v=|u||v|cosθ(其中θ为向量u与 v夹角)则ac+bd=a2+b2•c2+d2cosθ,(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)cos2θ≤(a2+b2)(c2+d2)
证法2 (构造三角形)利用“三角形的两边之和大于第三边”(上图中OBCA为平行四边形)由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|,不等式(1)迅速得证.
由解法一不少学生都能发现a与b,c与d可交换位置.
[变1]求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ad+bc) 2(2)
[变2](1)式两边开方可否?求证:a2+b2c2+d2≥|ac+bd|(3)
[变3](3)式右边去掉绝对值可否?求证:a2+b2c2+d2≥ac+bd(4)
对于(1)式能否有更深刻的变化呢?将不等式(1)字母分别排序,得
(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2(5)
通过分析知道,可以按字母增加的方向演变.
[变4]设a1、a2、a3、b1、b2、b3∈R,
求证:(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2(6)
此时,利用学生的连续思维所产生的思维惯性,教师因势利导,把问题推广.
设ai,bi∈R(i=1,2……n),则
(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2
(当且仅当ai=kbi时,取“=”号)
这是一个重要的定理,叫柯西不等式.不等式(5)、(6)即柯西不等式当n=2和 n=3时的特例.如此层层推进,使结论更加完美,更具有普遍性.
上述对原题从不同角度进行演变和多解,这样从一题多变到一题多解,使知识横向联系,纵向深入,拓宽了学生的思路,培养了学生解题的发散性.
2. 融会贯通,培养解题的灵活性
数学中有很多知识是相互联系的,现行新教材特别注意用联系的观点处理问题,课本中例、习题为我们提供了充足的素材和广阔的空间.因此,在教学中充分利用课本例、习题之间相互联系、互相作用、互相影响这一规律,引导学生串通教材,做到融会贯通,开阔学生的视野,增强学生思维的灵活性.如研究空间面面关系,线面关系,线线关系时经常要用到转化思想方法来解题,通常有关线面平行、垂直的问题可转化为线线平行、垂直的问题,而有关面面平行、垂直的问题可转化为线面平行、垂直的问题.
例2 数学必修(2)P72例3,AB为⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.
证明:PA⊥平面ABC
BC平面ABCPA⊥BC
AC⊥BC
BC⊥平面PAC
BC平面PBC
面PAC⊥平面PBC
这是一个典型的通过线线垂直去证线面垂直再去证面面垂直的例子,这样解剖一例串通一片,揭示了问题的本质,勾通了内在联系,使学生学过的知识结构化,系统化,学生的思维灵活性得到有效激活.
3. 标新立异,培养解题的创造性
例、习题教学中,在学生掌握基本方法的同时,应有意识地创设新活的思维情境,激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚,引导学生多角度、全方位地思考问题,鼓励学生标新立异、探究新解,达到开拓学生思维、锻炼学生思维创造的目的.
例3 数学必修(4)P111例7,已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5)试判断A、B、C三点之间的位置关系.
这是一道基本题,但应要求学生尽可能多地进行多方位、多层次的联系,寻求不同解法,如一些学生仅想到一些常规解法:
(1) 证明|AB|+|BC|=|AC|;(2) 证明点B在直线AC上;(3) 证明直线AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同学,联想宽广深刻,不但有上述解法,还得到了如下的非常规解法;(4) 证明点C到直线AB的距离为0;(5) 证明△ABC的面积等于零;(6) 证明点B是有向线段AC的一个定比分点,显然后者的解法较之于前者,更难想到,更独到,因而更具有创新性,有利于培养解题的广泛性、创造性
4. 联想转化,培养解题的广阔性
数学是一个具有内在联系的有机整体,不同分支,不同部分都是相互联系、相互渗透的,解题方法、解题思路更是如此,因而,在课本例、习题的教学中应有意识地教给学生类比、联想、转化的方法,以提高学生分析问题、解决问题的能力,促进知识的正向迁移,培养解题的广阔性.
例4 高中数学必修第二册(上)29页例1已知a2+b2=1,x2+y2=1.求证:ax+by≤1.
分析1 用比较法.本题只要证1-(ax+by)≥0.为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决.
证法1 ∵1-(ax+by)=12(1+1)-(ax+by)=12(a2+b2+x2+y2)-(ax+by)
=12[(a2-2ax+x2)+(b2-2by+y2)]
=12[(a-x)2+(b-y)2]≥0,
∴ax+by≤1.
分析2 运用分析法,从所需证明的不等式出发,运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论.从而证明原结论正确.分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件.因此,证明过程必须步步可逆,并注意书写规范.
证法2 要证ax+by≤1.只需证1-(ax+by)≥0,
即2-2(ax+by)≥0,
因为a2+b2=1,x2+y2=1.所以只需证(a2+b2+x2+y2)-2(ax+by)≥0,
即(a-x)2+(b-y)2≥0.
因为最后的不等式成立,且步步可逆.所以原不等式成立.
分析3 运用综合法(综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理(主要是平均值不等式)进行推理、运算,从而达到证明需求证的不等式成立的方法)
证法3 ∵ax≤a2+x22,by≤b2+y22.∴ax+by≤a2+x22+b2+y22=1.
即ax+by≤1.
分析4 三角换元法:由于已知条件为两数平方和等于1的形式,符合三角函数同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代换的可能,从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系,给证明带来方便.
证法4 ∵a2+b2=1,x2+y2=1,
∴可设a=sinα,b=cosα.x=sinβ,y=cosβ
∴ax+by=sinαsinβ+cosαcosβ=cos(α-β)≤1,
分析5 数形结合法:由于条件x2+y2=1可看作是以原点为圆心,半径为1的单位圆,而ax+by=ax+bya2+b2.联系到点到直线距离公式,可得下面证法.
证法5 如图,因为直线l:ax+by=0经过圆x2+y2=1的圆心O,所以圆上任意一点M(x,y)到直线ax+by=0的距离都小于或等于圆半径1,
即d=|ax+by|a2+b2=|ax+by|≤1ax+by≤1.
简评 五种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应该掌握的重要方法.除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外,前三种证法都是好方法.可在具体应用过程中,根据题目的变化的需要适当进行选择.
5 结束语
综上所述,课本是教学之本,深挖教材的潜力,充分发挥教材的自身作用,处理好课本例、习题的教学十分重要.立足课本,对课本典型例、习题进行演变、探究、引申、拓广、应用,由点到面,由题及类,解剖一例,带活一串,注意数学思想方法的渗透,这样教学,深化了基础知识,培养了思维品质,发展了思维能力,这正是我们所要追求的目标.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社,2008
[2]人民教育出版社中学数学室.普通高中课程标准(实验)教科书.数学15(必修A版)[M].北京:人民教育出版社,2004