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有效的数学课堂应着力培养学生的问题意识和思维能力,在数学活动中,应不断提高学生理解数学和运用数学的能力。因此,有效的数学课堂需要进行适时的“二次引导”,增强“二次引导”的效能,引导学生的思维逐步走向深入,能实现课堂教学的有效,以至高效。
一、“二次引导”——实现“多样化”到“优化”的转变
数学方法的掌握只有在充分的观察和比较中,学生才会有所体验,有所感受,也才会有所收获。在学习了运算律后,学生最大的收获就是能灵活运用运算律进行简便计算,这是学生感触最深,收益最大的。但在实际运用过程中,学生并没有深刻掌握计算方法最优化与最简便,也就是对各种计算方法没有进行有效的数学甄别,没有彰显简便计算的数学价值。例如:教学25×28的简便计算。学生会呈现以下两种最常见的计算方法:
方法一:25×28方法二:25×28
=5×(5×28) =25×4×7
=5×140=100×7
=700=700
对于这样的计算情景,多数老师因受算法多样化的影响,认为这两种方法均可。因为这两种简算方法均体现了学生在计算过程中已运用了乘法的相关运算律进行简便计算,说明学生已经养成运用运算律进行数学计算的意识,运算律在计算中的简算作用也已被运用。于是老师就说:“这两种方法都可以,你喜欢用哪种方法就用哪种方法。”诚然,这两种方法是对的,也都是简便的,可是教学到这里还不够深入,还不能就此止步,因为学生还没有体会到简便计算的真正价值,需要进行进一步的甄别与引导。所以,教师不要轻易说:“你这样做也行。”要继续引导学生进行深入思考,进行观察比较。虽然在第一步未甄别出最优化与最简便,因为一个是“5×28”,一个是“4×25”,均是两位数乘一位数的进位乘法,但到了第二步学生一定能够比较出“5×140”没有“100×7”计算简便。相信,通过这样深入的观察比较,学生一定会在计算方法上作出新的选择,学生的思维也一定会向更远更深的方向迈进。
二、“二次引导”——实现“感知”到“感悟”的转变
数学知识的延续与发展涵盖数学知识的“来龙”与“去脉”,这就需要我们在平时的教学实践中,不断地追问数学知识的“源头”,追寻数学知识的“根”。
例如:利用商不变的性质教学除法竖式的简便计算。例题的情境为:
情境中“余数为什么是20而不是2”?带着这样的疑问,学生在思维困惑时,最能想到的办法就是运用已有的验算方法进行验证,从而判断出余数究竟是20还是2。在得到正确答案后,学生只是从直观上验证感知,并没有理解感悟这一数学原理。所以,学生的思维步伐并没有戛然而止,仍在不停地追问:“余数为什么是20而不是2?”此时教师需再次引导:你们知道余数是怎么产生的?什么时候会有余数?引导学生思考余数的“由来”。然后再根据商不变的性质再度思考:例题的竖式计算过程实际上是表示多少个十除以多少个十?从而引导学生体会到:(900)个十里面有(22)个(4)个十,还余(2)个十。通过这样的二次引导,学生就会领悟余数的“来龙”与“去脉”,理解余数的“根”,从而帮助学生很好地解决了本题的余数为什么是20而不是2的问题,既知其然,又知其所以然。
三、“二次引导”——实现“浅表”到“深度”的转变
学生思维水平的深浅度反映了一个学生运用已有知识与经验进行观察、猜想、分析、归纳等方面的综合能力,不断提高学生的思维水平对数学学习能力的提升起着至关重要的促进作用。例如:在教学“公平游戏规则的设计”时,出示1～10这10张牌,请学生设计一个两组公平竞争的游戏规则。学生通过独立思考后,汇报出诸如:(1)摸到1～5为红队胜,摸到6～10为蓝队胜;(2)摸到1～4为红队胜,摸到7～10为蓝队胜,摸到5、6平局;(3)摸到2～5红队胜,摸到6～9蓝队胜,摸到1、10平局等设计方案。应该说这样的描述,学生是经过大脑积极思考后得出的,但从这些描述中也可以看出学生的思维仍然停留在浅表层次。为了进一步培养学生的思维能力,教师还应再次引导,激励学生深度思考:在设计一项游戏规则时,人们总是希望规则越简单越明了越好,越容易被人接受。比一比,赛一赛,看看谁设计的游戏规则既符合要求,又受人欢迎。此时对学生敏锐的观察力和判断力的要求就提高了,这不仅要求学生对于数的大小、个数进行判断,还要对数的特征进行分类、整理与判断。在交流时,学生很敏锐地判断出:如果设计出像“大于5小于5”的游戏规则是不公平的,而设计出像“单数、双数”这样的游戏规则是公平的。课堂上经常引领学生进行此类数学判断与思考,学生的数学思维一定会由“浅表”向“深度”不断提升。
四、“二次引导”——实现“直观”到“抽象”的转变
在数学活动中,实现学生的思维由“直观”到“抽象”的提升,作为数学教学的这一崇高目标,在小学数学教学中占据了重要地位,这不仅会推动学生分析问题与解决问题能力的发展,更是学生进行数学学习与从事数学研究的永恒追求。因此,在平时的教学实践中,我们一定要本着“扬弃”的原则,训练要保持,但手段要创新,要打破传统、机械、程式化的记忆方式,多留给学生思维的空间,对所要解决的问题进行不断地拓展与延伸。这样,学生的创新思维、逻辑思维才可能得到训练与提升。例如:一辆摩托车每小时行30千米,现在要加快速度,怎样才表示速度加快呢?这一数学问题能够促使学生的思维得到深度的拓展与开发。一方面,检测学生对“路程、速度及时间”三者数量关系的理解情况;另一方面,检测学生对乘除法之间“运算意义”的理解程度。学生根据自己的直观经验能很快想到的是:每小时行40千米、50千米、60千米……这样的“变速”学生是顺着“加速”的字面含义进行直观思维。所以,有必要对学生的思维进行有效的拓展与开发,教师需要再次引导:“除了像这样变换数量可以表示速度加快了,还可以怎样变换数量也表示速度加快了呢?”此时,学生的思维绝不会只停留在比30千米大的路程数据上,而是峰回路转,把思维集中在时间上。于是学生就会发现如果50分钟行30千米、40分钟行30千米、30分钟行30千米……(虽然有的数据可能不符合生活实际),也表示速度加快了。通过这样的拓展训练,学生对“路程、速度与时间”之间的关系有了较深刻的认识与理解,也加深理解了乘除法之间的“运算意义”,为后续正反比例的学习作了有效的铺垫,使学生在顺向与逆向思维活动中,大脑得到开发,思维得到提升。
综上所述,问题是数学的“心脏”,思维是数学的“拐杖”,二者支撑着数学的生命。在平时的教学实践中,课堂教学需要“二次引导”,不断揭示出数学问题,不断思考解决数学问题的方法,让学生的思维在比较、分析、判断、验证等思维过程中不断得到提升,让课堂教学在学生的数学思考过程中逐步实现有效,以至高效。
一、“二次引导”——实现“多样化”到“优化”的转变
数学方法的掌握只有在充分的观察和比较中,学生才会有所体验,有所感受,也才会有所收获。在学习了运算律后,学生最大的收获就是能灵活运用运算律进行简便计算,这是学生感触最深,收益最大的。但在实际运用过程中,学生并没有深刻掌握计算方法最优化与最简便,也就是对各种计算方法没有进行有效的数学甄别,没有彰显简便计算的数学价值。例如:教学25×28的简便计算。学生会呈现以下两种最常见的计算方法:
方法一:25×28方法二:25×28
=5×(5×28) =25×4×7
=5×140=100×7
=700=700
对于这样的计算情景,多数老师因受算法多样化的影响,认为这两种方法均可。因为这两种简算方法均体现了学生在计算过程中已运用了乘法的相关运算律进行简便计算,说明学生已经养成运用运算律进行数学计算的意识,运算律在计算中的简算作用也已被运用。于是老师就说:“这两种方法都可以,你喜欢用哪种方法就用哪种方法。”诚然,这两种方法是对的,也都是简便的,可是教学到这里还不够深入,还不能就此止步,因为学生还没有体会到简便计算的真正价值,需要进行进一步的甄别与引导。所以,教师不要轻易说:“你这样做也行。”要继续引导学生进行深入思考,进行观察比较。虽然在第一步未甄别出最优化与最简便,因为一个是“5×28”,一个是“4×25”,均是两位数乘一位数的进位乘法,但到了第二步学生一定能够比较出“5×140”没有“100×7”计算简便。相信,通过这样深入的观察比较,学生一定会在计算方法上作出新的选择,学生的思维也一定会向更远更深的方向迈进。
二、“二次引导”——实现“感知”到“感悟”的转变
数学知识的延续与发展涵盖数学知识的“来龙”与“去脉”,这就需要我们在平时的教学实践中,不断地追问数学知识的“源头”,追寻数学知识的“根”。
例如:利用商不变的性质教学除法竖式的简便计算。例题的情境为:
情境中“余数为什么是20而不是2”?带着这样的疑问,学生在思维困惑时,最能想到的办法就是运用已有的验算方法进行验证,从而判断出余数究竟是20还是2。在得到正确答案后,学生只是从直观上验证感知,并没有理解感悟这一数学原理。所以,学生的思维步伐并没有戛然而止,仍在不停地追问:“余数为什么是20而不是2?”此时教师需再次引导:你们知道余数是怎么产生的?什么时候会有余数?引导学生思考余数的“由来”。然后再根据商不变的性质再度思考:例题的竖式计算过程实际上是表示多少个十除以多少个十?从而引导学生体会到:(900)个十里面有(22)个(4)个十,还余(2)个十。通过这样的二次引导,学生就会领悟余数的“来龙”与“去脉”,理解余数的“根”,从而帮助学生很好地解决了本题的余数为什么是20而不是2的问题,既知其然,又知其所以然。
三、“二次引导”——实现“浅表”到“深度”的转变
学生思维水平的深浅度反映了一个学生运用已有知识与经验进行观察、猜想、分析、归纳等方面的综合能力,不断提高学生的思维水平对数学学习能力的提升起着至关重要的促进作用。例如:在教学“公平游戏规则的设计”时,出示1～10这10张牌,请学生设计一个两组公平竞争的游戏规则。学生通过独立思考后,汇报出诸如:(1)摸到1～5为红队胜,摸到6～10为蓝队胜;(2)摸到1～4为红队胜,摸到7～10为蓝队胜,摸到5、6平局;(3)摸到2～5红队胜,摸到6～9蓝队胜,摸到1、10平局等设计方案。应该说这样的描述,学生是经过大脑积极思考后得出的,但从这些描述中也可以看出学生的思维仍然停留在浅表层次。为了进一步培养学生的思维能力,教师还应再次引导,激励学生深度思考:在设计一项游戏规则时,人们总是希望规则越简单越明了越好,越容易被人接受。比一比,赛一赛,看看谁设计的游戏规则既符合要求,又受人欢迎。此时对学生敏锐的观察力和判断力的要求就提高了,这不仅要求学生对于数的大小、个数进行判断,还要对数的特征进行分类、整理与判断。在交流时,学生很敏锐地判断出:如果设计出像“大于5小于5”的游戏规则是不公平的,而设计出像“单数、双数”这样的游戏规则是公平的。课堂上经常引领学生进行此类数学判断与思考,学生的数学思维一定会由“浅表”向“深度”不断提升。
四、“二次引导”——实现“直观”到“抽象”的转变
在数学活动中,实现学生的思维由“直观”到“抽象”的提升,作为数学教学的这一崇高目标,在小学数学教学中占据了重要地位,这不仅会推动学生分析问题与解决问题能力的发展,更是学生进行数学学习与从事数学研究的永恒追求。因此,在平时的教学实践中,我们一定要本着“扬弃”的原则,训练要保持,但手段要创新,要打破传统、机械、程式化的记忆方式,多留给学生思维的空间,对所要解决的问题进行不断地拓展与延伸。这样,学生的创新思维、逻辑思维才可能得到训练与提升。例如:一辆摩托车每小时行30千米,现在要加快速度,怎样才表示速度加快呢?这一数学问题能够促使学生的思维得到深度的拓展与开发。一方面,检测学生对“路程、速度及时间”三者数量关系的理解情况;另一方面,检测学生对乘除法之间“运算意义”的理解程度。学生根据自己的直观经验能很快想到的是:每小时行40千米、50千米、60千米……这样的“变速”学生是顺着“加速”的字面含义进行直观思维。所以,有必要对学生的思维进行有效的拓展与开发,教师需要再次引导:“除了像这样变换数量可以表示速度加快了,还可以怎样变换数量也表示速度加快了呢?”此时,学生的思维绝不会只停留在比30千米大的路程数据上,而是峰回路转,把思维集中在时间上。于是学生就会发现如果50分钟行30千米、40分钟行30千米、30分钟行30千米……(虽然有的数据可能不符合生活实际),也表示速度加快了。通过这样的拓展训练,学生对“路程、速度与时间”之间的关系有了较深刻的认识与理解,也加深理解了乘除法之间的“运算意义”,为后续正反比例的学习作了有效的铺垫,使学生在顺向与逆向思维活动中,大脑得到开发,思维得到提升。
综上所述,问题是数学的“心脏”,思维是数学的“拐杖”,二者支撑着数学的生命。在平时的教学实践中,课堂教学需要“二次引导”,不断揭示出数学问题,不断思考解决数学问题的方法,让学生的思维在比较、分析、判断、验证等思维过程中不断得到提升,让课堂教学在学生的数学思考过程中逐步实现有效,以至高效。