众所周知,我们通常所说的“距离”是非负的,像角的概念的推广一样,在高中阶段,当引入了正角、负角和零角以后,许多有关角的问题(含运算)就显得非常简单易行了,也避免了一些较繁杂的运算。在解析几何中,沿用了平面几何中的许多概念,“距离”就是其中一个,本文试图对我们通常所说的距离加以推广,即对“有向距离”作一描述,请同仁不吝赐教。
　　定义1:平面内一点P(x0,y0)到一条直线l:Ax+By+c=0的有向距离为:d=。
　　定义2:平面内两条平行直线l1:Ax+By+c1=0,l2:Ax+By+c2=0之间的有向距离为:d=。
　　事实上,这两个定义只是在传统点到直线、平行直线间的距离公式里去掉絕对值“||”符号而已,但在解决一些问题中起到了独特的作用,现举例说明如下。
　　例1 已知一正方形的中心为P(2,1),一边所在的直线方程为3x-4y+5=0,求这个正方形其他各边所在直线的方程。
　　解 依题意可设其他三边所在直线的方程为3x-4y+c1=0,4x+3y+c2=0,4x+3y+c3=0
　　由正方形性质可知:3×2-4×1+5+3×2-4×1+c1=0,∴c1=-9。
　　4×2+3×1+c2=3×2-4×1+5,∴c2=-4。
　　4×2+3×1+c2+4×2+3×1+c3=0,∴c3=-18。
　　∴所求的三条边所在直线方程为3x-4y-9=0,4x+3y-4=0,
　　4x+3y-18=0。
　　例2 已知在三角形ABC中,A(1,2),B(3,4),C(2,-1),求△ABC中∠A的内角平分线所在的直线方程。
　　解 ∵直线AB的方程为:=,即:x-y+1=0。
　　直线AC的方程为=,即:3x+y-5=0。
　　点C的坐标代入x-y+1得:2-(-1)+1>0。
　　点B的坐标代入3x+y-5得:3×3+4-5>0。
　　∴设∠A的内角线上一点的坐标为P(x,y),则点P到直线AB、AC的“有向距离”相等。
　　∴=即:(3-)x+(1+)y-5-=0。
　　这就是∠A的角平分线所在直线的方程。
　　例3 已知一直线l经过点P(1,2)且到点A(-2,1)、B(4,7)的距离相等,求直线l的方程。
　　解法一 若直线l的方程为x=1,则它到点A,B的距离为3,故符合题意。
　　若直线l的方程为y-2=k(x-1),则k=kAB==1。
　　∴直线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为x-y+1=0或x-1=0。
　　解法二 可设直线l的方程为y-2=k(x-1),
　　∴(-2-1)k-1+2=(4-1)k-7+2或(-2-1)k-1+2+(4-1)k-7+2=0。
　　∴k=1或-4=0。∴k=1或k不存在。
　　综上所述,所求直线l的方程为y-2=(x-1),即x-y+1=0或x-1=0。
　　由上述可知,利用点到直线、直线与直线间的“有向距离”公式去求解有关数学问题,会收到事半功倍的效果,这还可以拓展到三维或以上的坐标空间去分析、讨论与运用。◆(作者单位:江西省信丰县正平中学)
　　□ 责任编辑:周瑜芽