例谈优化解题方法,回避繁琐讨论

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  在高中数学教学中,经常要用到的分类讨论的思想成为数学教学的热门话题,也是高考命题的热点问题。高中生虽然了解分类讨论思想,但缺乏灵活运用能力。事实上,有不少含有分类因素的数学试题,如果我们事先对问题深入研究,挖掘其潜在的信息,并能灵活地采用恰当的解题方法,则往往可以避免繁琐讨论步骤。下面我们通过几个例题来谈优化解题方法,从而巧妙回避繁琐讨论。
  一、“反客为主”,变换主元法
  数学中有的多元参数问题,若按常规思路确定主元,会导致问题复杂化,若能针对题目的结构特征,改变思考的角度,选择某参变量为主元,反客为主,往往可使问题化难为易,迅速获解。
  例1.已知 ,若不等式 对上述 都成立,解此不等式。
  解析:此题是关于 的一元二次不等式,通常对参数 进行讨论求解,显然繁琐,不如将 看做主元,化归成关于 的一元一次不等式,构造函数 。问题转化成:当 恒成立。
  故只要满足 ,解得
  所以原不等式的解集为
  二、分离参数,利用函数性质求解
  已知方程或不等式的解的特点,求参数的取值范围,是高中数学的一个重点、难点,也是高考的热点问题.此类题解法灵活多样,其中将参数与变量分离于等式或不等式两端,通过求变量函数的值域(最值)求参数的范围,是一种不错的方法。
  例2.已知 是实数,函数 ,若函数 在区间 上有零点,求 的取值范围。
  解析: 在区间 上有零点
  在区间 上有解
  在区间 上有解
  在区间 上有解
  于是问题转化为求函数 在 上的值域
  设 则 ,函数
  当且仅当 时,等号成立。
  , ,
  的取值范围是
  通过分离参数,转化为求函数值域问题,巧妙回避讨论,省时省力。
  例3.奇函数 是R上的增函数,若对任意的 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
  解析:当 时,
  是R上的奇函数、增函数
  恒成立
  = , , 的取值范围是
  解决此类题型时,一般先分离参数,化成 、 等恒成立问题,再利用 、 求出参数范围,巧妙简化解题过程。
  三、挖掘内涵,有效回避讨论
  例4.已知函数 ,是否存在实数 使得函数 的定义域、值域都是 ?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由。
  解析:常规的思维是对 和 (函数 的对称轴是 )的大小进行繁琐的讨论,惟其如此,才能确定函数的值域。但如果我们先看看函数 的值域, ,即函数值没有小于 的,即 ,从而函数 在区间 上是增函数,所以
  解得 又因为 ,所以 的值不存在。
  此题依据“函数在整体区间上的最小值不大于在局部区间上的最小值”这一事实,挖掘出 ,从而避免讨论函数在所给区间上的单调性。
  四、“正难则反”,利用补集思想
  解题一般总是从正面入手,习惯正向思维,但有些数学问题如果从正面入手,求解繁琐、难度较大。在解题时,可调整思路,从问题的反面入手,探求已知与未知的关系,这样就能化难为易,化隐为显,这就是“正难则反”的解题策略。即考虑问题的相反方面,结合补集思想,利用“对立事件”,往往能开拓解题思路、简化运算过程,下面举例说明。
  例5.已知集合A和集合B各含9个元素。 含有2个元素。求同时满足下面条件的集合C的个数。① ,且 中含有三个元素。②
  解析:因为 较为抽象,如果直接法解此题,要找到分类标准,依次进行分类分步求解。而 容易掌握,故从条件的反面入手,显得简捷。
  的元素个数16个,故满足条件①的集合 的个数共 个,不满足条件
  ②,即 的集合 的元素,只能从属于B但不属于A
  的7个元素中取得,有 个,因此所有集合 的个数是 - =525(个)
  例6.随机抽取的9个同学中,至少有2个同学在同一月份出生的概率是多少?(默认每个月的天数相同,结果精确到0.001).
  解析:正面解答过程繁琐,所以我们从对立面入手。设事件 为“至少有2位同学在同一月出生”,则 的对立事件 为“所有人出生的月份“所有人出生的月份均不相同”,则
  五、数形结合,“以形助数”
  华罗庚先生说:“ 数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好 ”。数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多問题能迎刃而解。在高中数学解题过程中,“数”与“形”是相互依赖、相互渗透的。因此,在解题过程中要将二者结合起来,才能更好地提高解题的正确性和效率。数形结合在中学数学中主要应用于以下几 个方面:集合运算问题、方程根的个数问题、三角函数问题、最值问题、线性规划问题、复数问题和不等式证明等。这里我们就方程根的个数问题给予举例说明。
  例7.关于 的方程 只有一个实根,求 的取值范围。
  解析:本例转化为两个函数 和 的图像只有一个交点的问题。由于函数 过定点(0,1)且绕定点(0,1)转动的直线,借助于图像可直观看出与半圆一个交点时斜率 的范围。
  如图所示,可以直观看出 的取值范围为:
  数学在漫长的发展过程中不仅建立起严密的知识体系,而且形成一套行之有效的思想方法。巴甫洛夫有一段名言:“科学是依赖于方法的进步为前提的”,这句话很有哲理。方法每前进一步,和每上一个台阶一样,它会为我们展开更为广阔的视野,因而看到前所未有的现象。当前高考命题中层出不穷的新颖题型对思维模式、思维容量、思维层次的要求较高。因此,运用数学思想,优化解题方法,势在必行。这也要求教师在教学过程中,注意对数学思想方法的引导和渗透,让学生在潜移默化中接受。
  参考文献:
  [1]李正兴.高中数学实战秘笈[M].上海科学普及出版社,2012,6.
  [2]郝世富,张振华.避免或简化分类讨论的方法和技巧[J].数学教学通讯,2004(12):95-97
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