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概念是思维的细胞,数学学习离不开推理,推理离不开判断,而判断是以概念为基础的。所以,理解概念是一切数学活动的基础,概念不清就无法进一步开展其他数学活动。学生的概念理解和应用的水平也是衡量教学质量高低的最重要标准。因此,数学教师必须特别重视概念的教学。
函数不仅是一种重要的数学概念,而且是一种重要的数学思想,它是联系中学代数主要内容的一条纽带,因此,函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题。特别是初中阶段的函数概念的教学,具有承上启下的作用,对它学习的好坏,会直接影响到高中阶段函数概念的教学,乃至以后数学的学习。因此对函数概念教学的研究不仅是必要的,而且应是深入的。
一、概念引入简介
教师一上课就给出学生两张图片,同时结合图片请学生思考以下两个问题:
1 《名侦探柯南》中有这样一个情景:柯南根据案发现场的脚印,锁定疑犯的身高。你知道其中的道理吗?
2 我们班中同学A与职业相扑运动员,谁的饭量大?你能说明理由吗?
上述两个问题中都涉及两个量的关系,这一节课我们研究两个量的关系,研究怎样由一个量来确定另一个量。
二、概念引入分析
教师从学生熟悉的生活人手,创设丰富的情景,开门见山,在极短的时间内指明本节课的学习内容,但仔细研究引入内容的实质,会发现脚印与身高、体重与饭量之间是存在着相关关系,但不一定是函数关系,二者只有在特定范围内才可能是函数关系,而且这种函数关系中既包含一对一,也包含多对一。
三、概念引入反思
情景选择的反思。教学情境的创设不能为情境而情境,不能和教学内容脱节,不能只有“面子”没有“里子”。再说情景的选择必须与学生的实际水平相符合,而课例中的情景脚印与身高、体重与饭量之间关系的探究似乎也高出初学者的实际水平。
反例使用的反思。概念的引入与概念的形成实际上是需要给学生各种刺激,是需要学生辨别各种刺激的模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实,也可以是教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式,都必须通过比较,在知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。但在学生对概念认识的初级阶段或起始阶段,给学生提供的刺激模式应该是正例,而且数量要恰当。不然就会影响概念的形成。本节课引人中的例子,似乎与函数的概念的内涵有些偏离,可能会对函数概念的形成产生不利的影响。
四、借鉴概念的发展历史引入概念
概念的引入在遵循结构性原则,参与性原则,激发性原则等的前提下,可以从数学知识发展的需要引入,也可以从实际应用的需要引入,还可以通过类比引入以及复习旧课引入等。
我们根据学生的情况,借鉴函数的历史的发展,对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究。明线为两个变量,暗线为函数概念在历史上的几次演变过程。学生在探究函数概念的过程中,经历了三次函数概念的扩张,并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念。下面是这节课的教学设计:
(一)创设情景,引出课题
例1:汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行使时间为t小时先填下面的表,再试用t的式子表示s。
1 先填下面的表,再试用t的式子表示s,
2 事件中有几个数值发生改变的it?有几个数值不变的量?
3 变量与常量如何定义?
4 变量与常量在生活中的例子有哪些?
5 写出下列两式的表达式,并指出其中的变量与常量,(1)设圆的面积为s,半径为r,则s怎样用r来表示呢?
(2)已知圆柱体的底面积为9平方米,高为h,则体积V怎样用底面积与h表示呢?
【设计意图】通过探究常量和变量,为研究函数的概念做好铺垫。
(二)探索研究,形成概念
问题:结合上述几个例子,从两个变量联系的角度,你能试着给出函数的定义吗?
【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析,让学生从表达式的角度理解两个变量的关系,完成对函数概念内涵的第一次抽象认识。
例2:姚明职业生涯技术统计
问题:
1 表格中有变量吗?是什么?
2 赛季与场均得分这两个变量有关系吗?
3 随着赛季数值的变化,场均得分怎么样变化?
4 你能写出赛季n与场均得分p之间的表达式吗?
(三)归纳抽象,形成定义
1,回放前面四个例子,让学生讨论这四个例子的关键点,如例1,(1)在这个变化过程中,当t=l时,s=?当t=7时,s=?(2)每给定t的一个值时,s的值会怎样?
2,归纳、抽象出函数的定义:在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
3,强调函数概念中的两个关键词。让学生再次对照着前面的四个例子提炼出函数定义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词。
【设计意图】通过学生自己归纳总结,让学生经历批判和相互推翻的过程,最终由学生将关键点串联起来,形成与现行初中函数定义很接近的定义,完成对函数概念内涵的第四次完整认识。
(四)运用史料,促进理解
例3:寄信:
(1)一个信封上有两个地址“北京二中分校马岳老师收”以及“北京四中武红梅老师收”,此时邮递员还能把信发出去吗?
【设计意图】通过寄信这个实际问题,引出“一对一”与“多对一”的概念,从而让学生进一步理解函数的定义。
(2)讲述“函”字的古意,即为“信封”的意思。
(3)讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function”为“函数”的故事。
【设计意图】通过查看“函”字的古意以及聆听李善兰创用“函数”一词的故事,使学生在体验中获得对“函数”这—名词由来的认识。
(五)举例分析,深化定义
这样设计函数概念的教学,目的是让学生沿着数学家们曾经探索函数概念走过的路,经历一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究过程,让学生对概念的发展、内涵与外延认识地更加深刻。
函数不仅是一种重要的数学概念,而且是一种重要的数学思想,它是联系中学代数主要内容的一条纽带,因此,函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题。特别是初中阶段的函数概念的教学,具有承上启下的作用,对它学习的好坏,会直接影响到高中阶段函数概念的教学,乃至以后数学的学习。因此对函数概念教学的研究不仅是必要的,而且应是深入的。
一、概念引入简介
教师一上课就给出学生两张图片,同时结合图片请学生思考以下两个问题:
1 《名侦探柯南》中有这样一个情景:柯南根据案发现场的脚印,锁定疑犯的身高。你知道其中的道理吗?
2 我们班中同学A与职业相扑运动员,谁的饭量大?你能说明理由吗?
上述两个问题中都涉及两个量的关系,这一节课我们研究两个量的关系,研究怎样由一个量来确定另一个量。
二、概念引入分析
教师从学生熟悉的生活人手,创设丰富的情景,开门见山,在极短的时间内指明本节课的学习内容,但仔细研究引入内容的实质,会发现脚印与身高、体重与饭量之间是存在着相关关系,但不一定是函数关系,二者只有在特定范围内才可能是函数关系,而且这种函数关系中既包含一对一,也包含多对一。
三、概念引入反思
情景选择的反思。教学情境的创设不能为情境而情境,不能和教学内容脱节,不能只有“面子”没有“里子”。再说情景的选择必须与学生的实际水平相符合,而课例中的情景脚印与身高、体重与饭量之间关系的探究似乎也高出初学者的实际水平。
反例使用的反思。概念的引入与概念的形成实际上是需要给学生各种刺激,是需要学生辨别各种刺激的模式。这些刺激模式可以是学生自己在日常生活中的经验或事实,也可以是教师提供的有代表性的典型事例。但不管是哪种刺激模式,都必须通过比较,在知觉水平上进行分析、辨认,根据事物的外部特征进行概括。但在学生对概念认识的初级阶段或起始阶段,给学生提供的刺激模式应该是正例,而且数量要恰当。不然就会影响概念的形成。本节课引人中的例子,似乎与函数的概念的内涵有些偏离,可能会对函数概念的形成产生不利的影响。
四、借鉴概念的发展历史引入概念
概念的引入在遵循结构性原则,参与性原则,激发性原则等的前提下,可以从数学知识发展的需要引入,也可以从实际应用的需要引入,还可以通过类比引入以及复习旧课引入等。
我们根据学生的情况,借鉴函数的历史的发展,对函数概念围绕着一条明线和一条暗线展开探究。明线为两个变量,暗线为函数概念在历史上的几次演变过程。学生在探究函数概念的过程中,经历了三次函数概念的扩张,并最终归纳、总结、抽象、概括出现行初中课本中的函数概念。下面是这节课的教学设计:
(一)创设情景,引出课题
例1:汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶里程为s千米,行使时间为t小时先填下面的表,再试用t的式子表示s。
1 先填下面的表,再试用t的式子表示s,
2 事件中有几个数值发生改变的it?有几个数值不变的量?
3 变量与常量如何定义?
4 变量与常量在生活中的例子有哪些?
5 写出下列两式的表达式,并指出其中的变量与常量,(1)设圆的面积为s,半径为r,则s怎样用r来表示呢?
(2)已知圆柱体的底面积为9平方米,高为h,则体积V怎样用底面积与h表示呢?
【设计意图】通过探究常量和变量,为研究函数的概念做好铺垫。
(二)探索研究,形成概念
问题:结合上述几个例子,从两个变量联系的角度,你能试着给出函数的定义吗?
【设计意图】通过前面几个例子的思考与分析,让学生从表达式的角度理解两个变量的关系,完成对函数概念内涵的第一次抽象认识。
例2:姚明职业生涯技术统计
问题:
1 表格中有变量吗?是什么?
2 赛季与场均得分这两个变量有关系吗?
3 随着赛季数值的变化,场均得分怎么样变化?
4 你能写出赛季n与场均得分p之间的表达式吗?
(三)归纳抽象,形成定义
1,回放前面四个例子,让学生讨论这四个例子的关键点,如例1,(1)在这个变化过程中,当t=l时,s=?当t=7时,s=?(2)每给定t的一个值时,s的值会怎样?
2,归纳、抽象出函数的定义:在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数。
3,强调函数概念中的两个关键词。让学生再次对照着前面的四个例子提炼出函数定义中“确定”与“唯一确定”这两个关键词。
【设计意图】通过学生自己归纳总结,让学生经历批判和相互推翻的过程,最终由学生将关键点串联起来,形成与现行初中函数定义很接近的定义,完成对函数概念内涵的第四次完整认识。
(四)运用史料,促进理解
例3:寄信:
(1)一个信封上有两个地址“北京二中分校马岳老师收”以及“北京四中武红梅老师收”,此时邮递员还能把信发出去吗?
【设计意图】通过寄信这个实际问题,引出“一对一”与“多对一”的概念,从而让学生进一步理解函数的定义。
(2)讲述“函”字的古意,即为“信封”的意思。
(3)讲述李善兰借用“函”字古意翻译“function”为“函数”的故事。
【设计意图】通过查看“函”字的古意以及聆听李善兰创用“函数”一词的故事,使学生在体验中获得对“函数”这—名词由来的认识。
(五)举例分析,深化定义
这样设计函数概念的教学,目的是让学生沿着数学家们曾经探索函数概念走过的路,经历一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究过程,让学生对概念的发展、内涵与外延认识地更加深刻。