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摘要数学思想方法是数学知识的精髓,是学生将知识转化为能力的重要桥梁。中学教科书中处处渗透着数学思想方法,本文从以下三个方面介绍数学思想方法在数学教学中的作用:一、数学思想方法在数学教学中的地位;二、几种常用数学思想方法;三、数学思想方法在数学教学中使用的主要方式——渗透。
关键词数形结合思想化归思想分类讨论思想函数与方程思想渗透
中图分类号:G633.6文献标识码:A
数学思想是对数学理论和内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。长期实践和研究已说明:数学思想和数学方法是人们获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的奠基性的成分,是知识转化为能力的桥梁。
1 数学思想方法在数学教学中的地位
从我国的中学数学教学大纲修订中可知,数学思想和数学方法在教学中地位是逐步提高的。特别是近年来,因为计算机、计算器的日益普及,社会对其成员不只进行实用的数学教育,更偏向数学思维,要求每个青年能运用数学思想方法服务于社会,所以越来越强调数学思想在数学教学中的作用。
2 几种常用数学思想方法
数学思想方法有很多种,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。针对中学生认知能力和中学数学教学内容,只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中,而对有些数学思想不宜要求过高。在此,仅就中学教材中常用的数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想做些讨论。
2.1 数形结合思想
数与形是数学中的两个基本要素,数缺形时少知觉,形少数时难刻画。在中学教学过程中常把问题中的数量关系和直观的几何图形结合起来相互联系和转化,去发现问题,进而解决问题。
例如:过P(0,a)的直线要与椭圆相交,求a的范围。
分析:如果按常规方法,设过点P(0,a)的直线方程,代入椭圆方程,要求判别式不小于0,得到一个a和直线斜率k的不等式,然后再由“恒不小于0”,再研究它的判别式小于0,经过两次使用判别式后,才能求出a的范围。
如果画出草图:
考虑点P的几何意义,不难看出点P必须在椭圆内,即在线段AB上,于是,只要求出椭圆在y轴上的截距。
∴≤ a ≤
像此例,充分利用数形结合思想,将能简化繁杂的运算,达到简捷运算目的。
2.2 化归思想
“化归思想”是最基本的数学思想方法,化归原则就是在解决问题过程中,通过对原问题的转换,实现数学问题由未知到已知,由难到易,由复杂到简单的转化。它在解决问题时一般模式是:
如上图所示,与原来的问题相比,经过化归后得到的问题1应当是已经解决,或是较为简单的问题。化归的目的是通过新问题的解的还原,获得原问题的解。我们在教学中充分发挥化归思想方法,将会培养学生实现未知和已知、局部和整体的转换,将会提高学生现代数学意识,提高数学创造能力。
2.3 分类讨论的思想
分类讨论的思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点将数学对象区分为不同种类的思想方法,使学生的思维更加全面和完善。如果给出的数学问题的条件或结论不确定,可有诸多可能,那么在解题时必须分类讨论。一般先对所讨论对象进行合理分类,再分别讨论,最后归纳总结,分类时要做到不重不漏。
2.4 函数与方程的思想
函数的思想就是用变化的观点,把所研究的数量关系用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。中学数学教学中,方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想方法得以解决。
所谓方程思想是把所研究的问题中的已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组等数学模型,利用方程或方程组解决问题,方程思想方法的典型应用就是列代数式解应用题。它内容丰富,形式多样。
例:设复数求函数的最大值以及对应的值。 (下转第83页)(上接第77页)
分析:有的考生对的数学符号语言理解不深,造成无从下手。,利用函数和方程思想,将的最值问题转化为求tgy或siny的值域问题。
中学数学教科书处处渗透着数学思想方法,除以上几种数学思想方法外,还有集合思想、对应思想、整体思想、抽样统计思想、极限思想等。在历年高考、中考试卷中,数学思想覆盖面逐年增大。
3 数学思想方法在数学教学中使用的主要方式——渗透
发挥数学思想方法在数学教学中的作用的主要方式是渗透。所谓渗透,就是有机地结合数学知识的教学,采用教者有意,学者无心的方式,反复向学生渗透数形结合思想,化归思想,分类讨论思想,对应思想等。使学生对这些数学思想由浅入深,由表及里的认识,从而自觉地运用数学思想去解决有关问题。本人认为至少要做到如下几点:
(1)提高渗透的自觉性。数学思想方法在教材中是“无形”的,并且不成体系地分散在各章节中,作为老师就应该自觉从思想上不断提高渗透数学思想方法的重要性。在备课时,根据教学内容,认真思考在教学过程中应该结合哪些数学思想方法,这些数学思想方法应怎样渗透,渗透到什么程度。
(2)掌握渗透的可行性。数学思想方法是在教学过程中才能得以体现。所以必须掌握好进行数学思想方法渗透的契机,如结论推导的过程。思路探索的过程,规律揭示的过程等。进行数学思想的渗透应注意有机结合,自然渗透,切勿生搬硬套,脱离实际。
(3)强调渗透的反复性。数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的,并非一朝一夕,而是一个过程。在教学过程中,对于数形结合思想、化归思想、对应思想等思想方法应结合具体内容反复强调,让学生反复训练,逐步掌握好数学思想方法。
参考文献
[1] 贾太珍.关于小学数学教学中渗透数学思想方法的思考.
[2] 孙晓霞.优化函数教学[J].中小学数学杂志社,2000(3):7~8.
[3] 邵东生.浅论高中数学化归思想方法的教学[J].福建中学教学,2000(6):41~43.
[4] 孙晓霞.优化函数教学[J].中小学数学杂志社,2000(3):7~8.
[5] 蔡上鹤.数学思想和数学方法.
关键词数形结合思想化归思想分类讨论思想函数与方程思想渗透
中图分类号:G633.6文献标识码:A
数学思想是对数学理论和内容的本质认识,它直接支配着数学的实践活动。长期实践和研究已说明:数学思想和数学方法是人们获得概念、法则、性质、公式、公理、定理等所必不可少的奠基性的成分,是知识转化为能力的桥梁。
1 数学思想方法在数学教学中的地位
从我国的中学数学教学大纲修订中可知,数学思想和数学方法在教学中地位是逐步提高的。特别是近年来,因为计算机、计算器的日益普及,社会对其成员不只进行实用的数学教育,更偏向数学思维,要求每个青年能运用数学思想方法服务于社会,所以越来越强调数学思想在数学教学中的作用。
2 几种常用数学思想方法
数学思想方法有很多种,每一种数学思想方法都闪烁着人类智慧的火花。针对中学生认知能力和中学数学教学内容,只能将部分重要的数学思想方法落实到数学教学过程中,而对有些数学思想不宜要求过高。在此,仅就中学教材中常用的数形结合思想、化归思想、分类讨论思想、函数与方程思想做些讨论。
2.1 数形结合思想
数与形是数学中的两个基本要素,数缺形时少知觉,形少数时难刻画。在中学教学过程中常把问题中的数量关系和直观的几何图形结合起来相互联系和转化,去发现问题,进而解决问题。
例如:过P(0,a)的直线要与椭圆相交,求a的范围。
分析:如果按常规方法,设过点P(0,a)的直线方程,代入椭圆方程,要求判别式不小于0,得到一个a和直线斜率k的不等式,然后再由“恒不小于0”,再研究它的判别式小于0,经过两次使用判别式后,才能求出a的范围。
如果画出草图:
考虑点P的几何意义,不难看出点P必须在椭圆内,即在线段AB上,于是,只要求出椭圆在y轴上的截距。
∴≤ a ≤
像此例,充分利用数形结合思想,将能简化繁杂的运算,达到简捷运算目的。
2.2 化归思想
“化归思想”是最基本的数学思想方法,化归原则就是在解决问题过程中,通过对原问题的转换,实现数学问题由未知到已知,由难到易,由复杂到简单的转化。它在解决问题时一般模式是:
如上图所示,与原来的问题相比,经过化归后得到的问题1应当是已经解决,或是较为简单的问题。化归的目的是通过新问题的解的还原,获得原问题的解。我们在教学中充分发挥化归思想方法,将会培养学生实现未知和已知、局部和整体的转换,将会提高学生现代数学意识,提高数学创造能力。
2.3 分类讨论的思想
分类讨论的思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点将数学对象区分为不同种类的思想方法,使学生的思维更加全面和完善。如果给出的数学问题的条件或结论不确定,可有诸多可能,那么在解题时必须分类讨论。一般先对所讨论对象进行合理分类,再分别讨论,最后归纳总结,分类时要做到不重不漏。
2.4 函数与方程的思想
函数的思想就是用变化的观点,把所研究的数量关系用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。中学数学教学中,方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想方法得以解决。
所谓方程思想是把所研究的问题中的已知量和未知量之间的数量关系转化为方程或方程组等数学模型,利用方程或方程组解决问题,方程思想方法的典型应用就是列代数式解应用题。它内容丰富,形式多样。
例:设复数求函数的最大值以及对应的值。 (下转第83页)(上接第77页)
分析:有的考生对的数学符号语言理解不深,造成无从下手。,利用函数和方程思想,将的最值问题转化为求tgy或siny的值域问题。
中学数学教科书处处渗透着数学思想方法,除以上几种数学思想方法外,还有集合思想、对应思想、整体思想、抽样统计思想、极限思想等。在历年高考、中考试卷中,数学思想覆盖面逐年增大。
3 数学思想方法在数学教学中使用的主要方式——渗透
发挥数学思想方法在数学教学中的作用的主要方式是渗透。所谓渗透,就是有机地结合数学知识的教学,采用教者有意,学者无心的方式,反复向学生渗透数形结合思想,化归思想,分类讨论思想,对应思想等。使学生对这些数学思想由浅入深,由表及里的认识,从而自觉地运用数学思想去解决有关问题。本人认为至少要做到如下几点:
(1)提高渗透的自觉性。数学思想方法在教材中是“无形”的,并且不成体系地分散在各章节中,作为老师就应该自觉从思想上不断提高渗透数学思想方法的重要性。在备课时,根据教学内容,认真思考在教学过程中应该结合哪些数学思想方法,这些数学思想方法应怎样渗透,渗透到什么程度。
(2)掌握渗透的可行性。数学思想方法是在教学过程中才能得以体现。所以必须掌握好进行数学思想方法渗透的契机,如结论推导的过程。思路探索的过程,规律揭示的过程等。进行数学思想的渗透应注意有机结合,自然渗透,切勿生搬硬套,脱离实际。
(3)强调渗透的反复性。数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的,并非一朝一夕,而是一个过程。在教学过程中,对于数形结合思想、化归思想、对应思想等思想方法应结合具体内容反复强调,让学生反复训练,逐步掌握好数学思想方法。
参考文献
[1] 贾太珍.关于小学数学教学中渗透数学思想方法的思考.
[2] 孙晓霞.优化函数教学[J].中小学数学杂志社,2000(3):7~8.
[3] 邵东生.浅论高中数学化归思想方法的教学[J].福建中学教学,2000(6):41~43.
[4] 孙晓霞.优化函数教学[J].中小学数学杂志社,2000(3):7~8.
[5] 蔡上鹤.数学思想和数学方法.