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课题名称：1.1.2余弦定理
设计教师：史宁 学科：数学 年级：高一
一、教学模式简介
1.理论依据
“基于核心素养教学目标引领，提升课堂质量”中“基于学科素养”是宏观目标，“教学目标引领”是中坚具体操作指南、是提升学科核心素养的抓手，“提升课堂质量”是在这种教学理念下的必然结果。
学生在学习上通过课前——课上——课后三个环节，进行自主性、合作性和探究性的学习。这样的学习方式以弘扬人的主题性为宗旨，以促进人的可持续发展帷幕的，有许多具体的方式形成的多维度、具有不同层次结构的开放系统。“313”教学模式推进核心素养教育，使核心素养在科学的教学模式中生根、发芽、开花、结下丰硕果实。教师在教学过程中与学生积极互动，共同发展，注重培养学生的独立性和自主性，促进学生在教师引导下主动地富有个性地学习。
2.“313”教学模式中的“一”，就是一个核心，即目标。围绕目标这一核心，先要确定目标，后要落实目标。第一个“三”，基于学科核心素养而展开，就是要研究课标、研究教材、研究学情。第二个“三”围绕落实目标而展开，就是要充实课前、课中、课后，即课前自主学习、课上合作互动、课后检验落实。
3.数学学科素养下的三维目标
数学核心素养，是数学学习者，在学习数学某一领域时所应达到的综合能力，数学核心素养，不是指具体的知识与技能，而是只能够反映数学本质与数学思想，在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性、持久性的一种数学能力。
情感价值观侧重于教育心理，核心素养则是教育的DNA。数学核心素养是通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物所具备的品质，是人与自然相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。
二、课例呈现
1.课题名称：余弦定理
2.教学目标：
（1）通过具体的问题情境，学生对三角形边角关系进行探究，发现要解决“两边及夹角”类型的问题，正弦定理不能完全胜任，引发认知冲突;通过对2015年期中考试题目的复习，“温故而知新”很快得出三角形中边长与角度之间的新的数量关系——余弦定理。这一过程中，学生逐步培养数学抽象、直观想象和逻辑推理这三方面的核心素养。
（2）学生在“向量法“证明余弦定理之后，积极探索“作高法”、“坐标法”、“相交弦定理”等方法证明余弦定理，加深对余弦定理和平面几何之间关系的理解，体会定理的“来龙”。这一过程充分调动学生的思考积极性，培养逻辑推理、证明、培养探索精神和创新意识的核心素养。
（3）在探究学习的过程中，学生认识到余弦定理可以解决一些测量和几何计算有关的实际问题，提高运用有关知识解决实际问题的能力、培养实事求是、扎实严谨的数学态度。这一过程数学建模、数学运算和数据分析这三方面的核心素养。
3.教学重、难点：
教学重点：余弦定理的证明及应用;
教学难点：运用平面知识证明余弦定理。
4.教学过程
1.1.2余弦定理
一、知识回顾
1.正弦定理
2.正弦定理主要解决哪几类的解三角形问题？
生：①已知三角形两角及一边，求其它边角;
②已知三角形两边及一边的对角，求另一边的对角，进而求其它边角。
学情分析与设计意图：回顾旧知，防止遗忘，为“温故知新”做准备。
二、情境引入
问题：正弦定理能解决“已知三角形两边及夹角，求第三边”的问题吗？比如，有两人分别站在教室外墙角的两侧，互相看不到，我们想知道两人之间的距离，怎么做？
学生很快利用正弦定理解决题目中的问题。
学情分析与设计意图：学生分析具体问题，决定用正弦定理解决问题。这一过程培養学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析五个核心素养。
三、提出问题，引发认识冲突
问题：如果ΔABC中，，a边是多少？
四、温故知新、探究定理
教师展示：太原市期中试卷20题
如图，在ΔABC中，，求的值.
学生黑板板演：
提问：在ΔABC中，已知角C，求边c.
学生发现：只要换掉上面题目的数字为字母就可以了。
教师提示：其实我们在上半学期已经不经意地证明过余弦定理了。
学情分析与设计意图：学生通过对以前做过的题目的再解决，“温故知新”，得出余弦定理，体会定理证明的过程。在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
五、归纳概括
余弦定理的内容：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
师：从式子的结构来看，余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
生：已知三角形两边及夹角，求第三边。
师：已知三角形三边，求三角呢？
生：也可以，用余弦定理的变形公式就可以。
学情分析与设计意图：对探究的知识进行归纳总结，发现特征，明确知识间的联系，得出推论。
在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
六、合作探究、小组展示
余项定理还有其它证明方法吗？
小组展示：余弦定理的其他证明方法。
学情分析与设计意图：多角度看问题，打开思路、开阔眼界，进一步理解余弦定理的“来龙”。 在这一过程中培养学生数学推理证明核心素养。
七、知识应用
学生展示：
学情分析与设计意图：运用所学知识解决实际问题，体会余弦定理的“去脉”。
在这一过程中培养学生数学建模、数学运算和数据分析三方面的核心素养。
八、知识深化
学生总结发现：
通过例2，余弦定理也可以判断三角形的形状。
通过例3，“已知三角形两边及一边的对角，求其它边角”问题，既可以用正弦定理解决，也可以用余弦定理通过解方程解决。
学情分析与设计意图：深化理解正、余弦定理。
在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
九、课堂小结
问题1：正、余弦定理各能解决哪些类型的解三角形问题？各有什么特点？
问题2：本节课你学到了哪些知识与方法？
学情分析与设计意图：形成本节课的知识结构。
在这一过程中培养学生抽象概括的核心素养。
三、反思与评价
1.课型分析：张建跃《数学教育心理学》中将数学课分为概念课、规则课、习题课、复习课、策略课。根据课标、教材及教参所述，本节课属于规则课。本节课，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探究、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题，应用知识的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了創造的苦于乐。知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实。为今后的定理教学提供了一些有用的借鉴。
2.教学设计依据
（1）理解学生
在教学过程中，313教学环节是基础环节。教师必须对学生的身心特点，知识水平教学内容教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情景。从应用需要出发，创设认知冲突型教学情境，是创设情境的常用方法之一。余弦定理具有广泛的应用价值。故本课从应用需要出发，创设了教学中所使用的数学情境。
教学中要关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程;关注学生学习数学学的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度;关注是否给学生创设一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程，把培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
（2）理解数学
实践证明，将习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入细致全面的研究便不难发现，教材中有不少可用的素材。选题不仅要定势还要破势，教师要善于举例。
（3）理解教学
教师提问要有艺术，问题既要有针对性不能泛化，又要有启发性不能太精确;教师的角色定位要准确，教师不代替，学生不等待;教师的作用在设计、调控，督促学生落实，发展学生的数学核心素养，做智慧型的教师。
策略课的功能是什么？从培养学生的学习兴趣着手，变被动学习为主动学习、自主学习、合作学习、研究性学习、探究性学习。根本改变旧有的教法、学法，使学生真正做到不但知其然，而且知其所以然，教师不仅要授之于鱼，更应该受之于渔。把本来应该让学生分析总结归纳解决的问题，由学生自己来解决，发展他们的数学才能，培养学生的数学核心素养。
设计教师：史宁 学科：数学 年级：高一
一、教学模式简介
1.理论依据
“基于核心素养教学目标引领，提升课堂质量”中“基于学科素养”是宏观目标，“教学目标引领”是中坚具体操作指南、是提升学科核心素养的抓手，“提升课堂质量”是在这种教学理念下的必然结果。
学生在学习上通过课前——课上——课后三个环节，进行自主性、合作性和探究性的学习。这样的学习方式以弘扬人的主题性为宗旨，以促进人的可持续发展帷幕的，有许多具体的方式形成的多维度、具有不同层次结构的开放系统。“313”教学模式推进核心素养教育，使核心素养在科学的教学模式中生根、发芽、开花、结下丰硕果实。教师在教学过程中与学生积极互动，共同发展，注重培养学生的独立性和自主性，促进学生在教师引导下主动地富有个性地学习。
2.“313”教学模式中的“一”，就是一个核心，即目标。围绕目标这一核心，先要确定目标，后要落实目标。第一个“三”，基于学科核心素养而展开，就是要研究课标、研究教材、研究学情。第二个“三”围绕落实目标而展开，就是要充实课前、课中、课后，即课前自主学习、课上合作互动、课后检验落实。
3.数学学科素养下的三维目标
数学核心素养，是数学学习者，在学习数学某一领域时所应达到的综合能力，数学核心素养，不是指具体的知识与技能，而是只能够反映数学本质与数学思想，在数学学习过程中形成的，具有综合性、阶段性、持久性的一种数学能力。
情感价值观侧重于教育心理，核心素养则是教育的DNA。数学核心素养是通过数学学习建立起来的认识、理解和处理周围事物所具备的品质，是人与自然相互作用时所表现出来的思考方式和解决问题的策略。
二、课例呈现
1.课题名称：余弦定理
2.教学目标：
（1）通过具体的问题情境，学生对三角形边角关系进行探究，发现要解决“两边及夹角”类型的问题，正弦定理不能完全胜任，引发认知冲突;通过对2015年期中考试题目的复习，“温故而知新”很快得出三角形中边长与角度之间的新的数量关系——余弦定理。这一过程中，学生逐步培养数学抽象、直观想象和逻辑推理这三方面的核心素养。
（2）学生在“向量法“证明余弦定理之后，积极探索“作高法”、“坐标法”、“相交弦定理”等方法证明余弦定理，加深对余弦定理和平面几何之间关系的理解，体会定理的“来龙”。这一过程充分调动学生的思考积极性，培养逻辑推理、证明、培养探索精神和创新意识的核心素养。
（3）在探究学习的过程中，学生认识到余弦定理可以解决一些测量和几何计算有关的实际问题，提高运用有关知识解决实际问题的能力、培养实事求是、扎实严谨的数学态度。这一过程数学建模、数学运算和数据分析这三方面的核心素养。
3.教学重、难点：
教学重点：余弦定理的证明及应用;
教学难点：运用平面知识证明余弦定理。
4.教学过程
1.1.2余弦定理
一、知识回顾
1.正弦定理
2.正弦定理主要解决哪几类的解三角形问题？
生：①已知三角形两角及一边，求其它边角;
②已知三角形两边及一边的对角，求另一边的对角，进而求其它边角。
学情分析与设计意图：回顾旧知，防止遗忘，为“温故知新”做准备。
二、情境引入
问题：正弦定理能解决“已知三角形两边及夹角，求第三边”的问题吗？比如，有两人分别站在教室外墙角的两侧，互相看不到，我们想知道两人之间的距离，怎么做？
学生很快利用正弦定理解决题目中的问题。
学情分析与设计意图：学生分析具体问题，决定用正弦定理解决问题。这一过程培養学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析五个核心素养。
三、提出问题，引发认识冲突
问题：如果ΔABC中，，a边是多少？
四、温故知新、探究定理
教师展示：太原市期中试卷20题
如图，在ΔABC中，，求的值.
学生黑板板演：
提问：在ΔABC中，已知角C，求边c.
学生发现：只要换掉上面题目的数字为字母就可以了。
教师提示：其实我们在上半学期已经不经意地证明过余弦定理了。
学情分析与设计意图：学生通过对以前做过的题目的再解决，“温故知新”，得出余弦定理，体会定理证明的过程。在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
五、归纳概括
余弦定理的内容：
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
师：从式子的结构来看，余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
生：已知三角形两边及夹角，求第三边。
师：已知三角形三边，求三角呢？
生：也可以，用余弦定理的变形公式就可以。
学情分析与设计意图：对探究的知识进行归纳总结，发现特征，明确知识间的联系，得出推论。
在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
六、合作探究、小组展示
余项定理还有其它证明方法吗？
小组展示：余弦定理的其他证明方法。
学情分析与设计意图：多角度看问题，打开思路、开阔眼界，进一步理解余弦定理的“来龙”。 在这一过程中培养学生数学推理证明核心素养。
七、知识应用
学生展示：
学情分析与设计意图：运用所学知识解决实际问题，体会余弦定理的“去脉”。
在这一过程中培养学生数学建模、数学运算和数据分析三方面的核心素养。
八、知识深化
学生总结发现：
通过例2，余弦定理也可以判断三角形的形状。
通过例3，“已知三角形两边及一边的对角，求其它边角”问题，既可以用正弦定理解决，也可以用余弦定理通过解方程解决。
学情分析与设计意图：深化理解正、余弦定理。
在这一过程中培养学生数学抽象概括、逻辑推理核心素养。
九、课堂小结
问题1：正、余弦定理各能解决哪些类型的解三角形问题？各有什么特点？
问题2：本节课你学到了哪些知识与方法？
学情分析与设计意图：形成本节课的知识结构。
在这一过程中培养学生抽象概括的核心素养。
三、反思与评价
1.课型分析：张建跃《数学教育心理学》中将数学课分为概念课、规则课、习题课、复习课、策略课。根据课标、教材及教参所述，本节课属于规则课。本节课，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探究、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题，应用知识的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了創造的苦于乐。知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实。为今后的定理教学提供了一些有用的借鉴。
2.教学设计依据
（1）理解学生
在教学过程中，313教学环节是基础环节。教师必须对学生的身心特点，知识水平教学内容教学目标等因素进行综合考虑，对可用的情境进行比较，选择具有较好的教育功能的情景。从应用需要出发，创设认知冲突型教学情境，是创设情境的常用方法之一。余弦定理具有广泛的应用价值。故本课从应用需要出发，创设了教学中所使用的数学情境。
教学中要关注学生学习的结果，更关注学生学习的过程;关注学生学习数学学的水平，更关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度;关注是否给学生创设一种情境，使学生亲身经历了数学活动过程，把培养学生的数学问题意识，提高学生提出数学问题的能力作为教与学活动的起点与归宿。
（2）理解数学
实践证明，将习题作为素材改造加工成情境，是创设情境的一条有效途径。只要教师能对教材进行深入细致全面的研究便不难发现，教材中有不少可用的素材。选题不仅要定势还要破势，教师要善于举例。
（3）理解教学
教师提问要有艺术，问题既要有针对性不能泛化，又要有启发性不能太精确;教师的角色定位要准确，教师不代替，学生不等待;教师的作用在设计、调控，督促学生落实，发展学生的数学核心素养，做智慧型的教师。
策略课的功能是什么？从培养学生的学习兴趣着手，变被动学习为主动学习、自主学习、合作学习、研究性学习、探究性学习。根本改变旧有的教法、学法，使学生真正做到不但知其然，而且知其所以然，教师不仅要授之于鱼，更应该受之于渔。把本来应该让学生分析总结归纳解决的问题，由学生自己来解决，发展他们的数学才能，培养学生的数学核心素养。