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思想是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果。一般地，思想的形成首先要逐步完成思想的原始积累，然后在某一触发点、关键点或转折点实现飞跃，最终闪现思想的火花。在教学中，要让学生产生思想，必须经历由动到静、由外到内、由浅入深的“思变”和“思辨”过程。把握思想的突变、聚变、裂变、逆变、创变，有利于促进学生思想的形成。
一、思想的突变
思想的形成需要在某一方面或某一领域获得突破，从而进入上升通道，突飞猛进，顺利登上知识的高峰，领略高处的风景。
1．突破难点。思想的变化有时会出现“高原现象”，出现“欲罢不甘，欲进不能”的进退两难的局面；有时也会出现“滑坡现象”“浮于表面，流于形式”的似懂非懂的状态。一旦找到思想的突破口，就会出现茅塞顿开、豁然开朗的柳暗花明。在教学中，如果学生思想也处于这种“万事俱备，只欠东风”的关键处，对前一种情形，教师不妨助学生一臂之力，增强思想起飞的推动力；对后一种情形，教师也可给学生一定压力，增强思想起飞的弹跳力。
例如，在教学“长方形面积计算”时，一位教师给学生准备了太多的小正方形纸片学具，在操作时学生只关注数小正方形的个数，面积是“数”出来的，对计算公式的理解很肤浅。而另一位教师给学生的小正方形纸片的个数不够，学生无法通过简单的“数”来得出面积，不得不在操作基础上进行深层次的思考：怎么摆才能得出长方形的面积?摆不满的部分还可以摆几个小正方形?只摆出长边和宽边，能得出长方形的面积吗?学生在排除“小正方形数量不够”这一障碍的过程中，进一步理解了长方形面积公式的含义，发展了空间想象力。
2．突破常规。思想的变化有时体现在能突破常规，“想别人未尽之思”或“想别人未及之思”。在教学中，教师应能根据具体情况让学生的思想攀登上“高架桥”、驶上“高速路”，在高瞻远瞩中让思想异彩纷呈。
例如，在教学“三角形面积公式”的课堂练习时，一位教师让学生用自带的米尺测量、计算红领巾的面积。可有个学生没带米尺，只有20厘米长的短尺。教师灵机一动，要求学生改用短尺量，并鼓励学生：“就用你手中的短尺，你能想办法测量计算红领巾的面积吗?比一比哪组的方法多。”学生纷纷主动尝试，结果想出了很多解决问题的方法。在教学预设时，教师以为“量红领巾的长边，用米尺测量方便些”，所以要求学生每组准备一把米尺。但是，正是教师的这番“好心”，数学问题的思考空间大大缩小了，数学问题变得平淡无味，失去了思考的价值，冲淡、淹没了学生的个性化思维。好在那个学生把“麻烦”抖出来，教师因势利导，让学生尽情展示了独特的思维。
二、思想的聚变
思想的形成需要各种材料和观点的聚合，彼此映衬，彼此撞击，唯有如此相互作用，思想才能得到提升。
1.聚沙成塔。思想的变化有一个由少到多、从量变到质变的积累过程，有时需要在各种思想观点的相互碰撞中不断丰富、修正、明晰、深化。在教学中，教师应多提供让学生表述自己见解的机会，多组织讨论或辩论活动，让他们“论”出思想。
例如，一位教师在教学“24时计时法”时，先出示用24时计时法表示的时间——8：OO、14：00、22：00，又出示了12时计时法表示的时间——早上8：00、下午2：00、晚上10：00。然后问：“上面两种计时法你觉得哪一种好?”就是这么一个看似蹩脚的问题，让课堂热闹起来了，学生开始了激烈的争辩并领悟到：其实，12时计时法和24时计时法没有优劣之分，只不过它们适用于不同的环境而已。
2．聚精会神。思想的变化有一个由浅入深、从现象到本质的深化过程，有时需要在对思想材料进行去粗存精、去伪存真的不断抽象概括中长驱直入，探得问题的真相和核心。教学中，教师应为学生提供丰富的结构性材料，引导学生归纳、分析与比较，从而“比”出思想。
例如，当探索“画一条直线将一个长方形分成两个相等的图形”这一问题时，学生得出了下列方法：
教师看到学生心有余力、兴致高涨，于是引导学生进一步思考：“你们能画出所有的分法吗?有没有规律可循?”学生再接再厉，终于得出结论：只要直线通过长方形的中心，就能将长方形分成相等的两部分，所以有无数种分法。
三、思想的裂变
思想的形成需要一种引领作用，具有传染性，一是不同内容、不同形式、不同领域之间的知识实现联动，二是不同学生之间的思想实现互动。
1．交接思想。思想的变化有一个由此及彼、相互交流的输送过程。在思想的交接中，还有可能会衍生出新的思想，由此增加思想的厚度和拥有量。在教学中，教师应善于让不同观点的学生进行思想交流，让他们在领会对方思想中开阔视野、汲取营养，使思想更加饱满、更有色彩。
例如，教学“图形中的规律”时，教师先引导学生摆一摆、画一画，有的学生发现“每多1个三角形就多2根小棒”，有的学生发现“三角形的个数×2+1=小棒的根数”，还有的学生发现“小棒的根数都是奇数”……教师再组织学生解释各自的发现，学生与学生之间进行了思想的交流，形成了共识。
2．转接思想。思想的变化有一个由点到面、举一反三、触类旁通的拓展过程，经历了这个过程，学习者可以增加思想的宽度和适用面，提高思想的实用性。在教学中，教师应善于寻找同一思想的不同表现材料，让学生在合并“同类项”或“相似项”材料的转接过程中体会数学思想。
例如，义务教育课程标准实验教科书《数学》（苏教版）三年级下册教材上有这样一道题：用一根20厘米的线围出边长是整厘米数的长方形或正方形，你发现了什么？在课堂上，学生除了发现“周长不变，面积变了”“周长不变，长和宽越接近，面积就越大”，还发现了“长方形的长和宽越接近，它们的面积就越大。所以，周长相等的长方形和正方形，正方形面积最大。”“两个数的和不变，它们的差越接近，积也就越大。”此时，教师灵机一动，在黑板上出示题目：用5、6、7、8组成两个两位数，要使乘积最大，这两个数是()和()。提问：“你能利用刚才的发现解这道题吗?”一道难题轻而易举就被攻破了，学生甚至还能自己举例解答“用6、1、2、5、9、7组成两个三位数，并且使它们的积最小”这样的难题。上述案例中，课堂生成的一些问题看上去似乎与长方形的周长计算并无联系，但是教师善于引导学生积累解决类似问题的经验，并引导学生领悟解决同类问题的解题模型背后隐藏的数学思想和方法。
四、思想的逆变
思想的形成需要左右逢源，除了正面推进，也可以在知识上适时进行反面拓展或者在教法上进行反向操作，使思想实现殊途同归。
1．问题的反思。思想的变化有时需要“反其道而行之”，让学生反过来理解与巩固正面的成果，这样印象会更加深刻。在教学中，教师应善于利用“反面”教材反问学生，促使学生经常反思，加速学生的反应能力，提高思想的反作用力。
例如，在教学“游戏公平”时，教师出示两个转盘，让学生判断哪一个转盘是公平的。学生都毫无疑问地认为第一个转盘是公平的，教师又提出问题：“第二个转盘对于这个游戏规则来说是不公平的，但是我现在要用这个转盘，而且对游戏双方都要公平，你觉得该怎么办？”有一个学生小心地说：“老师，是不是可以修改规则呀？”于是教师鼓励学生：“那你修改一下试一试。”在这个教学片段中，教师提供“反面”素材，学生的思想就在解决问题中生成了。
2．教法的反用。思想的变化需要在一定的挑战中实现根本性跨越。在教学中，教师要设计具有挑战性的问题“为难”学生，让学生在“跳一跳”中摘取果子。其中，教师可以通过改变教学顺序，采用“倒叙”手法来达到这一目的。
例如，“探索与发现——有趣的算式”是在学生学会了计算器的使用方法之后，让学生利用计算器进行数学探索的一个内容。教材出示了下面的一组算式，并给出了前三题的答案：1×1=1，11×11=121，111×111=12321，1111×1111= ，11111×11111=。一位教师没有按部就班地教教材，而是对题目的呈现顺序作了如下调整：“这里有道题目‘11111111×11111111’，你们愿意接受挑战吗?”学生迫不及待地拿出计算器计算，结果有些学生的计算器因为型号不同导致显示结果不同，于是教师引导学生设法通过找规律来解决问题，这时，再按教材上编排的顺序完整呈现题目。
在上述教学中，教师先出示“11111111×11111111”的算式，学生通过计算器计算后，在汇报交流中形成矛盾冲突，并随之产生疑问：“计算器不同，屏幕上显示的位数不同，答案究竟是多少呢?用什么办法能找出结果呢?”看似不经意的顺序“微调”，唤起了学生更强烈的内在学习需要。
五、思想的创变
学生对概念的理解可以划分为三个水平层次：事实性水平、概念性水平、建构性水平，其中最高水平层次是建构性水平。学生经历了“模仿重复与辨别”的认知过程，可以达到“事实性水平”；而经历了“归纳整理与抽象”的认知过程，就可能会达到“概念性水平”；如果能经历“综合应用与创造”的认知过程，则可能会达到“建构性水平”。笔者通过教学调研发现，恰恰是教师在引领学生经历“综合应用与创造”时有着太多的忽视或不作为，影响了学生数学能力的整体提升。
1．创见隐藏的内容。
（1）在“看不见”中创造“看得清”。小学生对概念的把握与理解，往往容易被语言文字或符号形式的表面意象所影响，缺乏全面、深入和变通。
如在“分数初步认识”教学中，教师可发给学生图形 ，黑色部分占整个图形的，但没有像教材那样把平均分的现实明显表示出来。按照学生对分数意义的表面理解，没有把整个图形明显地平均分，是不能用分数表示的。如果学生回答能用表示，则表示学生连“事实性水平”也未达到。所以，这个活动的设计一方面是进一步引导学生把握分数的实质，另一方面是着重引导学生经历“综合应用与创造”的过程，把看似不可能完成的任务，通过分析猜想、折叠验证，变为表达的可能，进而达到对分数认识的建构性理解水平。
（2）在“看不见”中创造“看得远”。小学生对概念的把握与理解，往往在概念的本质属性上会顾此失彼，缺乏系统性和关联性。
2．创造独特的方法。教育能作出的最重要的一种贡献，就是发展学生追求创造性方法的本能和好奇心。
如在教学“4的乘法”时，一位教师出示了这样一道题：下图中一共有多少个心形?
学生很快就得出了三种解法：(1)4+4+4+3，(2)4×3+3，(3)4×4-1。本来解法(3)就有点另类的味道了，没想到有个学生提出了解法(4)：3×5。这就有点怪了，5从何而来?其实只要把第4行的3个移作第5列(或将第4列的3个移作第5行)，这样就变成了5列(或5行)，每列(行)3个。
另类的解法是相对于常规解法而言的，是指学生通过另类思维得出奇特的、与常规解法不同的解题方法。这种解法的思维常常高出常规解法一大截，超越教材、超越教学甚至会超越教师。在这里，另类成了优秀的代名词。（作者单位：江苏省无锡市锡山区教师进修学校） ?茺
作者简介：中学高级教师，江苏省小学数学特级教师，无锡市有突出贡献中青年专家，无锡市学科带头人。在《人民教育》等国家级刊物上发表、获奖的教育教学文章达200多篇；参加国标本苏教版小学数学教材编写；出版教育教学专著11本；主持了江苏省教研室立项课题《小学数学开放教学研究》《新课程下教师生存状态研究》。
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
一、思想的突变
思想的形成需要在某一方面或某一领域获得突破，从而进入上升通道，突飞猛进，顺利登上知识的高峰，领略高处的风景。
1．突破难点。思想的变化有时会出现“高原现象”，出现“欲罢不甘，欲进不能”的进退两难的局面；有时也会出现“滑坡现象”“浮于表面，流于形式”的似懂非懂的状态。一旦找到思想的突破口，就会出现茅塞顿开、豁然开朗的柳暗花明。在教学中，如果学生思想也处于这种“万事俱备，只欠东风”的关键处，对前一种情形，教师不妨助学生一臂之力，增强思想起飞的推动力；对后一种情形，教师也可给学生一定压力，增强思想起飞的弹跳力。
例如，在教学“长方形面积计算”时，一位教师给学生准备了太多的小正方形纸片学具，在操作时学生只关注数小正方形的个数，面积是“数”出来的，对计算公式的理解很肤浅。而另一位教师给学生的小正方形纸片的个数不够，学生无法通过简单的“数”来得出面积，不得不在操作基础上进行深层次的思考：怎么摆才能得出长方形的面积?摆不满的部分还可以摆几个小正方形?只摆出长边和宽边，能得出长方形的面积吗?学生在排除“小正方形数量不够”这一障碍的过程中，进一步理解了长方形面积公式的含义，发展了空间想象力。
2．突破常规。思想的变化有时体现在能突破常规，“想别人未尽之思”或“想别人未及之思”。在教学中，教师应能根据具体情况让学生的思想攀登上“高架桥”、驶上“高速路”，在高瞻远瞩中让思想异彩纷呈。
例如，在教学“三角形面积公式”的课堂练习时，一位教师让学生用自带的米尺测量、计算红领巾的面积。可有个学生没带米尺，只有20厘米长的短尺。教师灵机一动，要求学生改用短尺量，并鼓励学生：“就用你手中的短尺，你能想办法测量计算红领巾的面积吗?比一比哪组的方法多。”学生纷纷主动尝试，结果想出了很多解决问题的方法。在教学预设时，教师以为“量红领巾的长边，用米尺测量方便些”，所以要求学生每组准备一把米尺。但是，正是教师的这番“好心”，数学问题的思考空间大大缩小了，数学问题变得平淡无味，失去了思考的价值，冲淡、淹没了学生的个性化思维。好在那个学生把“麻烦”抖出来，教师因势利导，让学生尽情展示了独特的思维。
二、思想的聚变
思想的形成需要各种材料和观点的聚合，彼此映衬，彼此撞击，唯有如此相互作用，思想才能得到提升。
1.聚沙成塔。思想的变化有一个由少到多、从量变到质变的积累过程，有时需要在各种思想观点的相互碰撞中不断丰富、修正、明晰、深化。在教学中，教师应多提供让学生表述自己见解的机会，多组织讨论或辩论活动，让他们“论”出思想。
例如，一位教师在教学“24时计时法”时，先出示用24时计时法表示的时间——8：OO、14：00、22：00，又出示了12时计时法表示的时间——早上8：00、下午2：00、晚上10：00。然后问：“上面两种计时法你觉得哪一种好?”就是这么一个看似蹩脚的问题，让课堂热闹起来了，学生开始了激烈的争辩并领悟到：其实，12时计时法和24时计时法没有优劣之分，只不过它们适用于不同的环境而已。
2．聚精会神。思想的变化有一个由浅入深、从现象到本质的深化过程，有时需要在对思想材料进行去粗存精、去伪存真的不断抽象概括中长驱直入，探得问题的真相和核心。教学中，教师应为学生提供丰富的结构性材料，引导学生归纳、分析与比较，从而“比”出思想。
例如，当探索“画一条直线将一个长方形分成两个相等的图形”这一问题时，学生得出了下列方法：
教师看到学生心有余力、兴致高涨，于是引导学生进一步思考：“你们能画出所有的分法吗?有没有规律可循?”学生再接再厉，终于得出结论：只要直线通过长方形的中心，就能将长方形分成相等的两部分，所以有无数种分法。
三、思想的裂变
思想的形成需要一种引领作用，具有传染性，一是不同内容、不同形式、不同领域之间的知识实现联动，二是不同学生之间的思想实现互动。
1．交接思想。思想的变化有一个由此及彼、相互交流的输送过程。在思想的交接中，还有可能会衍生出新的思想，由此增加思想的厚度和拥有量。在教学中，教师应善于让不同观点的学生进行思想交流，让他们在领会对方思想中开阔视野、汲取营养，使思想更加饱满、更有色彩。
例如，教学“图形中的规律”时，教师先引导学生摆一摆、画一画，有的学生发现“每多1个三角形就多2根小棒”，有的学生发现“三角形的个数×2+1=小棒的根数”，还有的学生发现“小棒的根数都是奇数”……教师再组织学生解释各自的发现，学生与学生之间进行了思想的交流，形成了共识。
2．转接思想。思想的变化有一个由点到面、举一反三、触类旁通的拓展过程，经历了这个过程，学习者可以增加思想的宽度和适用面，提高思想的实用性。在教学中，教师应善于寻找同一思想的不同表现材料，让学生在合并“同类项”或“相似项”材料的转接过程中体会数学思想。
例如，义务教育课程标准实验教科书《数学》（苏教版）三年级下册教材上有这样一道题：用一根20厘米的线围出边长是整厘米数的长方形或正方形，你发现了什么？在课堂上，学生除了发现“周长不变，面积变了”“周长不变，长和宽越接近，面积就越大”，还发现了“长方形的长和宽越接近，它们的面积就越大。所以，周长相等的长方形和正方形，正方形面积最大。”“两个数的和不变，它们的差越接近，积也就越大。”此时，教师灵机一动，在黑板上出示题目：用5、6、7、8组成两个两位数，要使乘积最大，这两个数是()和()。提问：“你能利用刚才的发现解这道题吗?”一道难题轻而易举就被攻破了，学生甚至还能自己举例解答“用6、1、2、5、9、7组成两个三位数，并且使它们的积最小”这样的难题。上述案例中，课堂生成的一些问题看上去似乎与长方形的周长计算并无联系，但是教师善于引导学生积累解决类似问题的经验，并引导学生领悟解决同类问题的解题模型背后隐藏的数学思想和方法。
四、思想的逆变
思想的形成需要左右逢源，除了正面推进，也可以在知识上适时进行反面拓展或者在教法上进行反向操作，使思想实现殊途同归。
1．问题的反思。思想的变化有时需要“反其道而行之”，让学生反过来理解与巩固正面的成果，这样印象会更加深刻。在教学中，教师应善于利用“反面”教材反问学生，促使学生经常反思，加速学生的反应能力，提高思想的反作用力。
例如，在教学“游戏公平”时，教师出示两个转盘，让学生判断哪一个转盘是公平的。学生都毫无疑问地认为第一个转盘是公平的，教师又提出问题：“第二个转盘对于这个游戏规则来说是不公平的，但是我现在要用这个转盘，而且对游戏双方都要公平，你觉得该怎么办？”有一个学生小心地说：“老师，是不是可以修改规则呀？”于是教师鼓励学生：“那你修改一下试一试。”在这个教学片段中，教师提供“反面”素材，学生的思想就在解决问题中生成了。
2．教法的反用。思想的变化需要在一定的挑战中实现根本性跨越。在教学中，教师要设计具有挑战性的问题“为难”学生，让学生在“跳一跳”中摘取果子。其中，教师可以通过改变教学顺序，采用“倒叙”手法来达到这一目的。
例如，“探索与发现——有趣的算式”是在学生学会了计算器的使用方法之后，让学生利用计算器进行数学探索的一个内容。教材出示了下面的一组算式，并给出了前三题的答案：1×1=1，11×11=121，111×111=12321，1111×1111= ，11111×11111=。一位教师没有按部就班地教教材，而是对题目的呈现顺序作了如下调整：“这里有道题目‘11111111×11111111’，你们愿意接受挑战吗?”学生迫不及待地拿出计算器计算，结果有些学生的计算器因为型号不同导致显示结果不同，于是教师引导学生设法通过找规律来解决问题，这时，再按教材上编排的顺序完整呈现题目。
在上述教学中，教师先出示“11111111×11111111”的算式，学生通过计算器计算后，在汇报交流中形成矛盾冲突，并随之产生疑问：“计算器不同，屏幕上显示的位数不同，答案究竟是多少呢?用什么办法能找出结果呢?”看似不经意的顺序“微调”，唤起了学生更强烈的内在学习需要。
五、思想的创变
学生对概念的理解可以划分为三个水平层次：事实性水平、概念性水平、建构性水平，其中最高水平层次是建构性水平。学生经历了“模仿重复与辨别”的认知过程，可以达到“事实性水平”；而经历了“归纳整理与抽象”的认知过程，就可能会达到“概念性水平”；如果能经历“综合应用与创造”的认知过程，则可能会达到“建构性水平”。笔者通过教学调研发现，恰恰是教师在引领学生经历“综合应用与创造”时有着太多的忽视或不作为，影响了学生数学能力的整体提升。
1．创见隐藏的内容。
（1）在“看不见”中创造“看得清”。小学生对概念的把握与理解，往往容易被语言文字或符号形式的表面意象所影响，缺乏全面、深入和变通。
如在“分数初步认识”教学中，教师可发给学生图形 ，黑色部分占整个图形的，但没有像教材那样把平均分的现实明显表示出来。按照学生对分数意义的表面理解，没有把整个图形明显地平均分，是不能用分数表示的。如果学生回答能用表示，则表示学生连“事实性水平”也未达到。所以，这个活动的设计一方面是进一步引导学生把握分数的实质，另一方面是着重引导学生经历“综合应用与创造”的过程，把看似不可能完成的任务，通过分析猜想、折叠验证，变为表达的可能，进而达到对分数认识的建构性理解水平。
（2）在“看不见”中创造“看得远”。小学生对概念的把握与理解，往往在概念的本质属性上会顾此失彼，缺乏系统性和关联性。
2．创造独特的方法。教育能作出的最重要的一种贡献，就是发展学生追求创造性方法的本能和好奇心。
如在教学“4的乘法”时，一位教师出示了这样一道题：下图中一共有多少个心形?
学生很快就得出了三种解法：(1)4+4+4+3，(2)4×3+3，(3)4×4-1。本来解法(3)就有点另类的味道了，没想到有个学生提出了解法(4)：3×5。这就有点怪了，5从何而来?其实只要把第4行的3个移作第5列(或将第4列的3个移作第5行)，这样就变成了5列(或5行)，每列(行)3个。
另类的解法是相对于常规解法而言的，是指学生通过另类思维得出奇特的、与常规解法不同的解题方法。这种解法的思维常常高出常规解法一大截，超越教材、超越教学甚至会超越教师。在这里，另类成了优秀的代名词。（作者单位：江苏省无锡市锡山区教师进修学校） ?茺
作者简介：中学高级教师，江苏省小学数学特级教师，无锡市有突出贡献中青年专家，无锡市学科带头人。在《人民教育》等国家级刊物上发表、获奖的教育教学文章达200多篇；参加国标本苏教版小学数学教材编写；出版教育教学专著11本；主持了江苏省教研室立项课题《小学数学开放教学研究》《新课程下教师生存状态研究》。
□责任编辑 邓园生
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