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《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)将内容目标分为四个部分：数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用．在“实践与综合应用”部分的7～9年级以“课题学习”的方式来进行．“课题学习”是《标准》中最富特色的新增内容，它反映了数学课程与教学改革的要求，也为学生提供了进行实践性、探索性和研究性学习的课程渠道．数学“课题学习”领域的设置，标志着教师的教学方式和学生的学习方式需要发生重大的转变．如何搞好数学“课题学习”的教学是摆在数学教师面前的新任务．本文结合宁波市2006
年初中毕业生学业考试数学试卷中的一道压轴题，谈一下这方面的体会．
1数学“课题学习”的初始问题及分析
(2) 请用这副七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出2种边数不同的凸多边形，画在下面格点图3中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中，上下、左右相邻两点距离都为1，注意不能拼成与图1、图2全等的多边形)．
(3) 某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”，你认为这个结论正确吗?请说明理由．
分析：此问题具有一定的新颖性，密切联系学生的现实，具有可实践性的特点，能引起学生的兴趣和解决问题的强烈动机；此问题还具有一定的弹性和开放性，便于所有的学生都能参与；此外，此问题具有一定的探索性和研究性，能让学生经历一个实践、探索和研究的历程．体现了《标准》中的基本理念“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求．有效的数学学习不能单纯地依赖
模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”
2数学课题学习的教学设计
19世纪初，七巧板流传到西方，引起人们广泛的兴趣，并迅速传播开来，他们称之为唐人图(tangram)．李约瑟(J．Needham)曾指出：“另一种几何玩具是一套有多种排列的木板(一块正方形，一块菱形和五块大小不同的三角形)，据说它是‘东方最古老的消遣品’之一．中国人称之为‘七巧图’．欧洲人称为‘唐人图’．这与几何割分、静态对策、变位镶嵌等学科有关，也与多少世纪以来中国建筑师用在窗格上的丰富的几何图案有关．”苏联趣味数学专著也一再介绍这种游戏，直至20世纪80年代还有人对它的数学原理、性质进行探讨，得出了许多结论．例如“一副七巧板只能拼出13种不同的凸多边形”等．
(1)作出如图10所示正方形ABCD；
(2) 将△ADE(即1)做成可以自由移动的拼板：作任意△KLM，填充△KLM的内部；增加移动按钮：选定点K、点
A、点L、点D、点M和点E，点击菜单命令“变换|移动”；
(3)重复类似操作(2)，可将标有2～7的部分制成可以自由移动的拼板；
(4)同时选定所有“移动”按钮，增加一个序列按钮；
(5)除7块可自由移动的拼板和序列按钮外，隐藏其他所有对象．
这样七巧板就做好了，将鼠标指向某一块板，按下鼠标并拖动即可平移它双击即可将它旋转45°．可利用制作好的七巧板进行以下的探究活动．
2．3引导学生开展以下探究活动
探究活动1发挥你的想像力，你能用七巧板拼出一些特定的图案吗(如模拟人、动物或其他实物)?
探究活动2你能用七巧板的2块部件组成一个三角形吗?3块呢?4块、5块、6块、7块呢?
探究活动3你能用2块部件组成正方形吗?3块呢?
探究活动4你能用哪些部件组成长方形?还能组成什么样的多边形?
探究活动5你能用一副七巧板拼成等腰三角形、长方形、平行四边形、直角梯形、等腰梯形、五边形、六边形吗?一共能拼出多少种不同的凸多边形呢?
经过以上探究活动后，引导学生讨论结论“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”是否正确，其实七巧板7块部件的内角度数只有45°、90°、135°，
用它们拼成的最大内角是135°．设七巧板能拼成n边形，则(n-2)×180°≤n×135°，所以n≤8．因此这个结论是正确的．
2．4课题引申拓展
我们还可以把此问题进行引申拓展，生活中还有一种曲线七巧板．
如图11(1)是曲线七巧板的形状．图11(2)示作法，作OA的中垂线MN交圆O于点H．以点H为圆心、OH为半径作弧OA，类似地作出弧OD、OC、OB，取弧AB的中点E，以同样半径作出弧OE、F、G是弧CD、DA的中点．
作出与原圆周对称的弧CF、DG，于是圆O被分成1～7曲边形，图12是用这种曲线七巧板搭成的动物图形，马、蝴蝶、鱼、鸟等．利用曲线七巧板你还能拼出其他的图案吗?
我国民间还流传着一种立体七巧板，它是由图13所示的七块立体图形组成．用立体七巧板也能拼成各种立体图形，例如图14就是用立体七巧板拼成的一个3×3×3的正方体．你还有不同的拼法吗?
3数学课题学习的教学反思
数学课题学习是将研究性学习的思想和方法体现在数学学科教学中，使教学过程变成一种“科研”或“微科研”的过程，让学生在获得数学知识的同时，参与体验研究性学习过程，从而提高学生独立提出研究课题和解决问题的能力．
数学课题学习的具体目标为：使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程；体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
数学课题学习的形式是丰富多彩的，可以根据教学内容和培养目标的不同，灵活地在数学教学中运用．常见的数学课题学习的形式有：数学建模、数学实验、数学探究、数学主题阅读等．从逻辑上说，并没有试图把它们做一个严格的无交分类，只是强调了它们的特点．事实上，它们之间是可以互相渗透的，比如可以用数学实验的方法做数学建模，也可以用数学实验的方法做数学探究，建模的过程可以插入数学主题阅读，阅读的结果可以通过解决一个数学实际问题来表现等等．本课题首先采用了主题阅读的形式，阅读七巧板的有关背景知识，激起学生的好奇心、探索欲，然后引导学生进行一系列的探究活动．正如《标准》中指出：“教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识．“教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展历史中的作用，激发学生学习数学的兴趣．”“在空间与图形部分，可以介绍七巧板的有关史料，特别是古人给出的七巧板构图，使学生感受几何构图的优美和我们祖先的智慧．”
数学课题学习使学生有更多的实践与探索的机会，通过对有挑战性和综合性课题的解决，或者经历数学化的过程，或者体验数学知识的内在联系，学生的思维能力、自主探索与合作交流的意识和能力可以从中得到发展，问题解决后的成功体验也将增强学生学习数学的信心；数学课题学习的结果以科研报告的形式得出，使学生在中小学就能感受到以前只能在大学才能接触到的“科研”的概念，对学生科研意识的培养起到启迪作用；数学课题学习使学生的学习由过去的被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题变为做自己设计的问题，有利于发挥
学生的积极性及培养学生独立思考的习惯和锻炼解决问题的能力，使学生在创新意识的培养过程中提高数学能力；此外，由于数学课题学习使学生对数学充满了兴趣，乐于这种探究和实践性的学习，由此会形成对科学、对社会、对自己的积极情感，所以数学课题学习还可以培养学生的责任心、使命感，在合作交流的过程中，还可以培养团队意识等人文精神．因此，数学课题学习对促进学生的全面发展有着重大的意义．
参考文献
1中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［M］．北京：北京师范大学出版社，2001
2张维忠．文化视野中的数学与数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2005
3张思明，白永潇．数学课题学习的实践与探索［M］．北京：高等教育出版社，2003
4刘兼，黄翔，张丹．数学课程设计［M］．北京：高等教育出版社，2003
年初中毕业生学业考试数学试卷中的一道压轴题，谈一下这方面的体会．
1数学“课题学习”的初始问题及分析
(2) 请用这副七巧板，既不留下一丝空白，又不相互重叠，拼出2种边数不同的凸多边形，画在下面格点图3中，并使凸多边形的顶点落在格点图的小黑点上(格点图中，上下、左右相邻两点距离都为1，注意不能拼成与图1、图2全等的多边形)．
(3) 某合作学习小组在玩七巧板时发现：“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”，你认为这个结论正确吗?请说明理由．
分析：此问题具有一定的新颖性，密切联系学生的现实，具有可实践性的特点，能引起学生的兴趣和解决问题的强烈动机；此问题还具有一定的弹性和开放性，便于所有的学生都能参与；此外，此问题具有一定的探索性和研究性，能让学生经历一个实践、探索和研究的历程．体现了《标准》中的基本理念“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动．内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求．有效的数学学习不能单纯地依赖
模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式．”
2数学课题学习的教学设计
19世纪初，七巧板流传到西方，引起人们广泛的兴趣，并迅速传播开来，他们称之为唐人图(tangram)．李约瑟(J．Needham)曾指出：“另一种几何玩具是一套有多种排列的木板(一块正方形，一块菱形和五块大小不同的三角形)，据说它是‘东方最古老的消遣品’之一．中国人称之为‘七巧图’．欧洲人称为‘唐人图’．这与几何割分、静态对策、变位镶嵌等学科有关，也与多少世纪以来中国建筑师用在窗格上的丰富的几何图案有关．”苏联趣味数学专著也一再介绍这种游戏，直至20世纪80年代还有人对它的数学原理、性质进行探讨，得出了许多结论．例如“一副七巧板只能拼出13种不同的凸多边形”等．
(1)作出如图10所示正方形ABCD；
(2) 将△ADE(即1)做成可以自由移动的拼板：作任意△KLM，填充△KLM的内部；增加移动按钮：选定点K、点
A、点L、点D、点M和点E，点击菜单命令“变换|移动”；
(3)重复类似操作(2)，可将标有2～7的部分制成可以自由移动的拼板；
(4)同时选定所有“移动”按钮，增加一个序列按钮；
(5)除7块可自由移动的拼板和序列按钮外，隐藏其他所有对象．
这样七巧板就做好了，将鼠标指向某一块板，按下鼠标并拖动即可平移它双击即可将它旋转45°．可利用制作好的七巧板进行以下的探究活动．
2．3引导学生开展以下探究活动
探究活动1发挥你的想像力，你能用七巧板拼出一些特定的图案吗(如模拟人、动物或其他实物)?
探究活动2你能用七巧板的2块部件组成一个三角形吗?3块呢?4块、5块、6块、7块呢?
探究活动3你能用2块部件组成正方形吗?3块呢?
探究活动4你能用哪些部件组成长方形?还能组成什么样的多边形?
探究活动5你能用一副七巧板拼成等腰三角形、长方形、平行四边形、直角梯形、等腰梯形、五边形、六边形吗?一共能拼出多少种不同的凸多边形呢?
经过以上探究活动后，引导学生讨论结论“七巧板拼成的多边形，其边数不能超过8”是否正确，其实七巧板7块部件的内角度数只有45°、90°、135°，
用它们拼成的最大内角是135°．设七巧板能拼成n边形，则(n-2)×180°≤n×135°，所以n≤8．因此这个结论是正确的．
2．4课题引申拓展
我们还可以把此问题进行引申拓展，生活中还有一种曲线七巧板．
如图11(1)是曲线七巧板的形状．图11(2)示作法，作OA的中垂线MN交圆O于点H．以点H为圆心、OH为半径作弧OA，类似地作出弧OD、OC、OB，取弧AB的中点E，以同样半径作出弧OE、F、G是弧CD、DA的中点．
作出与原圆周对称的弧CF、DG，于是圆O被分成1～7曲边形，图12是用这种曲线七巧板搭成的动物图形，马、蝴蝶、鱼、鸟等．利用曲线七巧板你还能拼出其他的图案吗?
我国民间还流传着一种立体七巧板，它是由图13所示的七块立体图形组成．用立体七巧板也能拼成各种立体图形，例如图14就是用立体七巧板拼成的一个3×3×3的正方体．你还有不同的拼法吗?
3数学课题学习的教学反思
数学课题学习是将研究性学习的思想和方法体现在数学学科教学中，使教学过程变成一种“科研”或“微科研”的过程，让学生在获得数学知识的同时，参与体验研究性学习过程，从而提高学生独立提出研究课题和解决问题的能力．
数学课题学习的具体目标为：使学生经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的基本过程；体验数学知识之间的内在联系，初步形成对数学整体性的认识；获得一些研究问题的方法和经验，发展思维能力，加深理解相关的数学知识；通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心．
数学课题学习的形式是丰富多彩的，可以根据教学内容和培养目标的不同，灵活地在数学教学中运用．常见的数学课题学习的形式有：数学建模、数学实验、数学探究、数学主题阅读等．从逻辑上说，并没有试图把它们做一个严格的无交分类，只是强调了它们的特点．事实上，它们之间是可以互相渗透的，比如可以用数学实验的方法做数学建模，也可以用数学实验的方法做数学探究，建模的过程可以插入数学主题阅读，阅读的结果可以通过解决一个数学实际问题来表现等等．本课题首先采用了主题阅读的形式，阅读七巧板的有关背景知识，激起学生的好奇心、探索欲，然后引导学生进行一系列的探究活动．正如《标准》中指出：“教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学教学活动，如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识．“教材可以在适当的地方介绍一些有关数学家的故事、数学趣闻与数学史料，使学生了解数学知识的产生与发展首先源于人类生活的需要，体会数学在人类发展历史中的作用，激发学生学习数学的兴趣．”“在空间与图形部分，可以介绍七巧板的有关史料，特别是古人给出的七巧板构图，使学生感受几何构图的优美和我们祖先的智慧．”
数学课题学习使学生有更多的实践与探索的机会，通过对有挑战性和综合性课题的解决，或者经历数学化的过程，或者体验数学知识的内在联系，学生的思维能力、自主探索与合作交流的意识和能力可以从中得到发展，问题解决后的成功体验也将增强学生学习数学的信心；数学课题学习的结果以科研报告的形式得出，使学生在中小学就能感受到以前只能在大学才能接触到的“科研”的概念，对学生科研意识的培养起到启迪作用；数学课题学习使学生的学习由过去的被动接受转为主动参与，由以前做书本中的习题变为做自己设计的问题，有利于发挥
学生的积极性及培养学生独立思考的习惯和锻炼解决问题的能力，使学生在创新意识的培养过程中提高数学能力；此外，由于数学课题学习使学生对数学充满了兴趣，乐于这种探究和实践性的学习，由此会形成对科学、对社会、对自己的积极情感，所以数学课题学习还可以培养学生的责任心、使命感，在合作交流的过程中，还可以培养团队意识等人文精神．因此，数学课题学习对促进学生的全面发展有着重大的意义．
参考文献
1中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿)［M］．北京：北京师范大学出版社，2001
2张维忠．文化视野中的数学与数学教育［M］．北京：人民教育出版社，2005
3张思明，白永潇．数学课题学习的实践与探索［M］．北京：高等教育出版社，2003
4刘兼，黄翔，张丹．数学课程设计［M］．北京：高等教育出版社，2003