极限思维在物理问题中的应用

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  高中物理问题的过程较为复杂,若将这个复杂的物理全过程分解成几个小过程,且在这些小过程中物理变化是单调的,研究问题时,选取全过程的两个端点及中间的突变点来分析,得出的结果必然包含所要讨论的物理问题,从而能使问题求解简洁、直观。这种分析问题的方法,就是所谓的极限思维方法。
  在使用极限思维方法分析物理问题时,应注意所选取的物理过程中的物理量的变化应是单调的,若所选的过程既有增函数,又有减函数,这种情况下不能应用极限思维方法来处理的。
  极限思维是一种较为直观、简捷的思维方法,在分析物理问题中常常应用到这种方法,特别涉及到选择题的处理时,更能体现它的优越性。
  例1 如图1所示电路中,当可变电阻R的值增大时,则()。
  A.A、B两点间的电压U增大
  B.A、B两点间的电压U减小
  C.通过R的电流I减小
  D.通过R的电流I增大
  解析 将R的变化范围认为是自0→∞,当R→0(极限)时,可认为A、B间是一根导线短接,电流只从R通过,此时UAB=0,当R→∞时(极限),A、B间断开,电流为零,A、B间电阻增大,分压作用增大,故UAB增大,故应选A、C。
  例2 平行玻璃砖的厚度为d,折射率为n,一束光线以入射角α射到玻璃砖上,出射光线相对于入射光线的侧移距离为x,如图2所示,则x决定于下列哪个表达式?()
  解析 α变化范围0~90°,当α→0(极限)时,x=0;d→0时,x→0;n=1时,x=0,符合要求的只有C,从而避免了繁琐的运算。
  例3 将质量为2M的长木板静止地放在光滑水平面上,如图3所示,一质量为m的小铅块(可视为质点),以水平速度v0由木板左端恰能滑至木板的右端与木板相对静止,铅块运动中所受的摩擦力恒定不变。现将木板分成长度、质量均相等的两块后紧挨着仍放在此水平面上,让小铅块仍以相同的初速度v0由木板1的左端开始滑动,如图3(2)所示,下列判断正确的是()。
  
  A.小铅块仍滑到木板2的右端保持相对静止
  B.小铅块滑过木板2的右端飞离木板
  C.小铅块滑到木板2的右端前就与之保持相对静止
  D.(2)过程中产生的热量少于(1)过程中产生的热量
  解析 小铅块在木板上滑动时,由于水平面是光滑的,小铅块和木板组成的系统在水平方向上动量守恒,木板的质量越大,小铅块在木板上滑行的距离越长,若M→无穷大,则v0最终减为零,其动能完全转化为热,无机械能转移到长木板上,说明质量越大,长木板获得的动能越小,质量越小,获得的动能越大。在(2)图中小铅块在左侧木板运动时的情况与(1)的情况完全相同,滑到右侧木板上时木板质量小,动能转移到木板2上多于(1)中的情况,那么小铅块与右侧木板相对静止时的速度比(1)中的大,系统损失的动能小于(1)中损失的动能。这一过程中损失的动能全部转化为热,故铅块在滑至木板右端前与右侧木板保持相对静止,(2)过程中产生的热量少于(1)过程中产生的热量。故选C、D。
  例4 两个光滑的斜面的高度相同,斜面总长也相同,但图4(2)斜面是由两部分接成的,如图4所示,将两个相同的小球从斜面的顶端同时释放,不计转弯处的能量损失,问哪一个先到达底端。
  分析 此题运用常规理论,推导很难得出结果,但是可以把(1)斜面看作(2)斜面的特例,也就是将(2)斜面两部分交界处的夹角β看成在180°与90°之间变化,当β=180°时,就是(1)斜面,当β=90°时,就是图5所示的情形了,由图4(1)可知:
  
  比较(a)、(b)两表达式,由于L>h,故有t甲>t,由此可知t甲>t乙。
  本题运用常规的解法很难比较时间长短,但是对于乙斜面中两部分交界处的夹角β看成在180°与90°之间变化,取其极端情况进行比较,结果就出来了,显示极限思维在分析问题中的优越性。
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